□ 嚴(yán)亞波

(江南大學(xué) 商學(xué)院,江蘇 無錫 214122)

1 引言

灰色系統(tǒng)理論[1]自1982年問世以來，就因在研究“小數(shù)據(jù)”“貧信息”等不確定性問題時(shí)具有優(yōu)勢(shì)而廣受關(guān)注?；疑A(yù)測(cè)模型理論是研究最活躍、應(yīng)用最廣泛的灰色系統(tǒng)模型之一，灰色預(yù)測(cè)是一種時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法，該方法的優(yōu)勢(shì)在于建模數(shù)據(jù)量小，建模過程簡(jiǎn)單，因而被廣泛研究。其中，GM(1,1)模型是灰色預(yù)測(cè)理論中最核心的模型，是灰色模型中的基礎(chǔ)，也是被研究次數(shù)最多、應(yīng)用最廣泛的灰色預(yù)測(cè)模型，并衍生出諸多變種。學(xué)者們從應(yīng)用以及優(yōu)化等多個(gè)方向?qū)M(1,1)模型進(jìn)行了深入研究。

近年來，GM(1,1)模型在諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。盧捷、李峰將初始值和背景值看作變量，對(duì)經(jīng)典GM(1,1)模型背景值與初始值進(jìn)行改進(jìn),提出了一種初始值和背景值組合優(yōu)化的方法[1]；羅黨、王小雷在灰色預(yù)測(cè)模型中引入三角函數(shù)，由此提出了耦合結(jié)構(gòu)的灰色GM(1,1,T)模型，然后利用Levenberg-Marquardt算法求解模型結(jié)果[2]；劉震、謝玉梅、黨耀國(guó)建立脫貧攻堅(jiān)理論模型,分析政策性扶貧的外生性影響，而后依據(jù)脫貧規(guī)律對(duì)GM(1,1)模型進(jìn)行改進(jìn),構(gòu)建脫貧進(jìn)展預(yù)測(cè)模型[3]；亢玉曉、肖新平研究GM(1,1)多種不同衍生模型的缺陷，并對(duì)其差異性進(jìn)行分析[4]；呂海濤、程帥帥、吳利豐等基于殘差尾段的強(qiáng)(弱)化緩沖算子還原模型，拓展了模型的建模應(yīng)用范圍[5]；張福平、劉興凱、王凱建立研究生規(guī)模的灰色模型對(duì)畢業(yè)人數(shù)、招生數(shù)以及在校學(xué)生數(shù)規(guī)模進(jìn)行預(yù)測(cè)[6]；李翀、謝秀萍考慮系統(tǒng)時(shí)滯的動(dòng)態(tài)變化效應(yīng)，提出以灰色關(guān)聯(lián)理論為基礎(chǔ)的時(shí)變時(shí)滯函數(shù)的參數(shù)優(yōu)化方法[7]；李麗、李西燦定義了背景值系數(shù)序列，并推導(dǎo)了GM(1,1)灰微分方程的解的表達(dá)式，然后利用優(yōu)化算法求解準(zhǔn)光滑數(shù)列的最佳背景值系數(shù)，來提高GM(1,1)模型的精度[8]；丁松等通過對(duì)原始序列加權(quán)，在考慮新信息優(yōu)先的基礎(chǔ)上優(yōu)化初始條件，構(gòu)建了全信息初始條件優(yōu)化的非等間距GM(1,1)模型[9]；江藝羨、張岐山利用黎曼積分推導(dǎo)出了以不規(guī)則梯形面積取代傳統(tǒng)梯形面積構(gòu)造法，以此優(yōu)化了傳統(tǒng)GM(1,1)模型背景值[10]；Xiao X P、Guo H、Mao S H運(yùn)用矩陣分析思想對(duì)GM(1,1)模型的建模機(jī)理進(jìn)行分析，提出了基于分?jǐn)?shù)階累積生成的GGM(1,1)模型的可拓形式，分析了其理論意義[11]；Ceylan Z、Bulkan S、Elevli S對(duì)自回歸綜合移動(dòng)平均法(ARIMA)、支持向量回歸法(SVR)、灰色建模法(1,1)和線性回歸法(LR)等各種數(shù)學(xué)建模方法在預(yù)測(cè)土耳其最大城市伊斯坦布爾醫(yī)療廢物產(chǎn)生方面的效果進(jìn)行評(píng)估[12]；Shen Q Q等基于新的信息優(yōu)先級(jí)原則和分?jǐn)?shù)累積生成算子的思想，提出了一種新的加權(quán)分?jǐn)?shù)GM(1,1) (WFGM(1,1))預(yù)測(cè)模型[13]；Wang Q、Song X提出NMGM (1,1,alpha)，通過有效地結(jié)合非線性預(yù)測(cè)技術(shù)和生物代謝思想，將非線性灰色模型(GM)從靜態(tài)模型升級(jí)為動(dòng)態(tài)模型，并預(yù)測(cè)中國(guó)石油消費(fèi)[14]；Zeng B、Li C提出了一種自適應(yīng)智能灰色預(yù)測(cè)模型，與傳統(tǒng)灰色模型結(jié)構(gòu)固定、適應(yīng)性差的缺點(diǎn)相比，該模型可以根據(jù)建模序列的真實(shí)數(shù)據(jù)特征自動(dòng)優(yōu)化模型參數(shù)[15]；Wang Y等通過對(duì)原始序列第一個(gè)分量和最后一個(gè)分量進(jìn)行加權(quán)來優(yōu)化初始條件以提高GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度的新方法，利用最小誤差平方和法求解組合中第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)作為初始條件的加權(quán)系數(shù)[16]；Lu Y、Xie N、Wei B等提出了一個(gè)統(tǒng)一的框架，從積分-微分方程的角度重建了統(tǒng)一的非線性灰色系統(tǒng)模型，并將該模型應(yīng)用于長(zhǎng)三角城市污水排放和用水量預(yù)測(cè)中[17]；Tong M Y從傳統(tǒng)GM(1,1)模型的背景值入手，采用外推法對(duì)模型進(jìn)行擴(kuò)展，提出了一種優(yōu)化的灰色預(yù)測(cè)模型，采用模擬退火算法求解模型[18]；Zeng Bo等對(duì)物理指標(biāo)的數(shù)據(jù)特征進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，應(yīng)用具有這些特征的數(shù)據(jù)專用的灰色系統(tǒng)模型，對(duì)人體指標(biāo)的變化趨勢(shì)進(jìn)行了模擬和預(yù)測(cè)[19]；丁松等按照信息充分利用以及新信息優(yōu)先等原理對(duì)模型初始條件進(jìn)行優(yōu)化，然后提出了一種初始條件和冪指數(shù)組合優(yōu)化的方法[20]。

通過對(duì)以往文獻(xiàn)的分析研究，可以發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)GM(1,1)模型的初始條件為序列的第一個(gè)分量x(1)(1)[21]，但是初始序列距離系統(tǒng)較遠(yuǎn)，影響有限，而對(duì)系統(tǒng)影響較大的新信息的作用卻常常被忽略，因此存在一定誤差；此外，也有專家學(xué)者基于新信息有限選擇最后一個(gè)分量x(1)(n)作為初始條件[22]，雖然在一定程度上利用了新信息，但只考慮新信息對(duì)系統(tǒng)的影響而忽略舊信息的作用，同樣會(huì)影響模型精度；還有部分學(xué)者選擇以二者線性組合來優(yōu)化初始條件，然后利用算法等進(jìn)行求解[20]，該方法雖然由舊信息和新信息組合來優(yōu)化，但沒有充分考慮不同信息對(duì)系統(tǒng)的影響程度不同，對(duì)于“數(shù)據(jù)量小”的灰色預(yù)測(cè)模型來說，勢(shì)必不能夠?qū)τ行畔⑦M(jìn)行充分提取，造成信息的浪費(fèi)，從而影響GM(1,1)模型建模效果。本文對(duì)模型的改進(jìn)也將從這個(gè)角度展開。

文獻(xiàn)[20]根據(jù)新信息優(yōu)先原理，對(duì)原始數(shù)據(jù)的每一個(gè)量進(jìn)行加權(quán)優(yōu)化初始條件，通過設(shè)置權(quán)重系數(shù)來表現(xiàn)新舊信息在初始條件構(gòu)建中作用大小的變化規(guī)律，以充分提取原始序列中對(duì)系統(tǒng)發(fā)展預(yù)測(cè)有效的信息，充分利用舊數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)和新數(shù)據(jù)的趨勢(shì)信息，綜合考慮新舊信息間的權(quán)重分配關(guān)系，來構(gòu)建新的初始條件。本文在文獻(xiàn)[20]的基礎(chǔ)上，將該初值優(yōu)化方法引入到GM(1,1)模型優(yōu)化中，構(gòu)建了基于初始條件優(yōu)化的GM(1,1)模型，并利用該模型對(duì)我國(guó)物流行業(yè)發(fā)展規(guī)模進(jìn)行預(yù)測(cè)。

2 GM(1,1)模型的基本形式

GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)中最基礎(chǔ)的模型，同時(shí)也是最重要且應(yīng)用范圍最廣的模型。GM(1,1)模型中第一個(gè)“1”意為一階方程，第二個(gè)“1”意為單變量。本節(jié)將重點(diǎn)介紹傳統(tǒng)GM(1,1)模型的建模機(jī)理。

設(shè)非負(fù)原始序列為X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，對(duì)原始序列X(0)作一階累加生成(1-AGO),得到序列：

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))

對(duì)序列X(1)作緊鄰均值生成，得到序列：

Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n))

其中，z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1)),k=2,3,…,n。

定義2.1：設(shè)X(0)為非負(fù)原始數(shù)據(jù)序列，X(1)為X(0)的1-AGO序列，Z(1)為X(1)緊鄰均值生成序列，則有稱

x(0)(k)+ax(1)(k)=b

(1)

為原始GM(1,1)模型，

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(2)

為具有背景值的GM(1,1)模型。

定義2.2：設(shè)a為發(fā)展系數(shù)，b為灰作用量，則稱

(3)

為GM(1,1)模型的白化方程。

(1)白化方程的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)表達(dá)式為

(4)

(2)在初始條件x(1)(t)|t=1=x(1)(1)時(shí)的時(shí)間響應(yīng)式為

(5)

(3)還原值為

(6)

上述為傳統(tǒng)GM(1,1)模型的建模機(jī)理，由于該模型應(yīng)用十分廣泛，由此可以演化出多種不同的GM(1,1)模型，如EGM(1,1)模型、DGM(1,1)模型、SGM(1,1)模型等。傳統(tǒng)模型雖然應(yīng)用廣泛，但仍有較大改進(jìn)空間。

3 優(yōu)化的GM(1,1)模型構(gòu)建及參數(shù)求解

為了對(duì)系統(tǒng)有效信息進(jìn)行充分提取，提高建模精確度，本節(jié)將采用全新的方法對(duì)GM(1,1)模型初始條件進(jìn)行優(yōu)化，并研究相關(guān)參數(shù)的求解路徑。

3.1 基于全信息初值優(yōu)化的GM(1,1)模型

在實(shí)際建模過程中，GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)精度不該只和原始序列的第一個(gè)分量x(1)(1)或者最后一個(gè)分量x(1)(n)有關(guān)，而是與X(1)的每一個(gè)分量都存在一定的關(guān)系。新信息優(yōu)先原理提出，新信息對(duì)系統(tǒng)發(fā)展趨勢(shì)變化的影響更大，因而在建模過程中對(duì)系統(tǒng)未來發(fā)展的預(yù)測(cè)作用遠(yuǎn)大于離系統(tǒng)較遠(yuǎn)的舊信息，所以在初值構(gòu)建過程中新信息應(yīng)當(dāng)被賦予更大的權(quán)重。但這并不意味著舊信息就應(yīng)當(dāng)被摒棄，盡管舊信息的預(yù)測(cè)效用較低，但依據(jù)信息充分利用原理，舊信息也不應(yīng)被摒棄，而是充分利用其中殘存的有用信息來進(jìn)一步提高模型精度。因此，在建模過程中要對(duì)新舊信息進(jìn)行權(quán)重分配使得權(quán)重能夠準(zhǔn)確反映信息對(duì)初始條件的實(shí)際影響大小，能夠有效地提高灰色預(yù)測(cè)模型的建模精度。因此，在充分考慮新舊信息的預(yù)測(cè)效用的情況下，引入一個(gè)權(quán)重系數(shù)λn+1-k(0<λ<1)，k=1,2,…,n，以X(1)的所有分量的加權(quán)組合來構(gòu)建初始條件，從而對(duì)灰色GM(1,1)模型進(jìn)行優(yōu)化，即以

(7)

為初始條件。權(quán)重λn+1-k(0<λ<1),k=1,2,…,n將隨著時(shí)間的推移而遞減，分量越靠后則權(quán)重越大，且其遞減速度與λ取值相關(guān)，λ取值越小，遞減越快，反之越慢，如圖1所示，圖中橫坐標(biāo)表示λn+1-k隨著冪指數(shù)增加而變化，在λ的不同取值下，λn+1-k變化情況如圖所示。λn+1-k一定程度上揭示了原始序列的每個(gè)分量作用隨著時(shí)間的推移在不斷增加。權(quán)重系數(shù)的選擇主要由數(shù)據(jù)序列的實(shí)際意義所決定，而非人為設(shè)定。從圖1可以看出，λk-1<λk-2<…<λk+1-n滿足序列的權(quán)重隨著信息的新舊程度由舊到新不斷增加，且序列的所有分量對(duì)系統(tǒng)的影響實(shí)際效用均被考慮到，構(gòu)建的新初值既滿足新信息優(yōu)先原理又滿足信息充分利用原理。

圖1 不同λ取值對(duì)應(yīng)權(quán)重系數(shù)變化趨勢(shì)

(8)

(9)

(2)還原值為

(10)

如此便得到基于全信息初值優(yōu)化的GM(1,1)模型，記為PIGM(1,1,λ)。

3.2 基于全信息初值優(yōu)化的模型參數(shù)求解

通過基于初值優(yōu)化的GM(1,1)模型的建模機(jī)理可知，我們只要確定了初值參數(shù)φ，便可實(shí)現(xiàn)基于初值優(yōu)化的GM(1,1)模型模擬和預(yù)測(cè)，因此，對(duì)于初值參數(shù)φ的求解是至關(guān)重要的一步。本節(jié)將通過建立非線性優(yōu)化模型，借助matlab軟件，求解模型的最優(yōu)初值參數(shù)。

為了統(tǒng)一參數(shù)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)與預(yù)測(cè)結(jié)果檢驗(yàn)準(zhǔn)則，本文選擇平均相對(duì)誤差最小化為目標(biāo)，將初值、系統(tǒng)參數(shù)a和b、背景值等表達(dá)式作為約束條件，建立式(11)的非線性優(yōu)化模型：

(11)

通過智能軟件matlab可以很方便地求解出初值參數(shù)φ以及參數(shù)a和b，將求得的初值x(1)(φ)代入式(10)中，便可求得權(quán)重系數(shù)λ的取值。所有參數(shù)均求解出來后，便可根據(jù)定義3.1.1進(jìn)行模型的模擬和預(yù)測(cè)，最后實(shí)現(xiàn)基于全信息初值優(yōu)化的GM(1,1)模型構(gòu)建與應(yīng)用。

4 實(shí)例分析

物流是指通過運(yùn)輸工具實(shí)現(xiàn)物品在不同區(qū)域流動(dòng)的過程，是將包裝、裝卸、搬運(yùn)、儲(chǔ)存、流通加工、運(yùn)輸、配送等基本功能有機(jī)結(jié)合以實(shí)現(xiàn)資源的合理配置及優(yōu)化。隨著電子商務(wù)的發(fā)展，國(guó)內(nèi)物流基礎(chǔ)設(shè)施布局也已完善，物流與電子商務(wù)密不可分，已經(jīng)成為國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一，連接社會(huì)經(jīng)濟(jì)的各個(gè)部分并使之成為一個(gè)有機(jī)整體，是國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展的重要組成部分。我國(guó)物流行業(yè)經(jīng)過多年的快速發(fā)展，目前已步入高質(zhì)量發(fā)展的階段，擴(kuò)張速度逐漸放緩。

2020年，全國(guó)社會(huì)物流總額約為300.1萬億元，但增速相較于2019年回落2.4個(gè)百分點(diǎn)，增速逐漸放緩。而從構(gòu)成看，工業(yè)品物流占比接近90%，總額約269.9萬億元，按可比價(jià)格計(jì)算，同比增長(zhǎng)2.8%。除工業(yè)品物流外，農(nóng)產(chǎn)品物流、單位與居民物品物流、進(jìn)口貨物物流以及再生資源物流約占10%。其中，農(nóng)產(chǎn)品物流總額4.6萬億元、單位與居民物品物流總額9.8萬億元、進(jìn)口貨物物流總額14.2萬億元、再生資源物流總額1.6萬億元。本文選取我國(guó)2011-2017年的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，然后選擇移動(dòng)平均法以及指數(shù)平滑法作為對(duì)照組來驗(yàn)證本文所優(yōu)化的模型的準(zhǔn)確度，如圖2所示。

圖2 2011-2020年我國(guó)社會(huì)物流總額變化圖

具體建模過程如下：

原始數(shù)據(jù)為

X(0)={158.4,177.3,179.8,213.5,219.2,229.7,252.8}，

一階累減生成序列為

X(-1)={158.4,335.7,515.5,729,948.2,1177.9,1430.7}，

均值生成序列

Z(1)={247.05,425.6,622.25,838.6,1063.05,1304.3}

各模型結(jié)果如表1和圖3所示。

表1 三種模型的預(yù)測(cè)對(duì)比

圖3 三種模型預(yù)測(cè)對(duì)比圖

可以看出，本文所構(gòu)建的模型無論是擬合精度還是預(yù)測(cè)精度都遠(yuǎn)高于對(duì)照組模型，模型的擬合精確度高達(dá)97.56%，預(yù)測(cè)精度高達(dá)96.33%，適合用于我國(guó)社會(huì)物流總額的預(yù)測(cè)。

5 結(jié)論

自灰色系統(tǒng)理論被提出以來，灰色預(yù)測(cè)模型作為灰色預(yù)測(cè)理論的核心和基礎(chǔ)之一，在廣大學(xué)者的不斷研究與探索中變得越來越完善，也在實(shí)踐檢驗(yàn)的過程中逐漸得到了認(rèn)可和廣泛應(yīng)用。在現(xiàn)有研究中，關(guān)于GM(1,1)模型的建模優(yōu)化的研究已有不少，對(duì)于GM(1,1)模型優(yōu)化的研究大都聚焦于初值的選擇、背景值的構(gòu)造、灰導(dǎo)數(shù)的構(gòu)造、模型計(jì)算方法的改進(jìn)等方向，但是對(duì)于全信息初值的構(gòu)造卻不多見。

本文在前人研究基礎(chǔ)之上，基于初值方向，對(duì)GM(1,1)進(jìn)行了優(yōu)化。在初值的選擇上，構(gòu)建了全信息初值，充分提取了系統(tǒng)的有效信息，從而有效地提高了模型的預(yù)測(cè)精度。此外，我們將就全信息初值優(yōu)化的GM(1,1)模型成功地應(yīng)用于我國(guó)社會(huì)物流總額的預(yù)測(cè)中，分析了我國(guó)社會(huì)物流總額由慢速增長(zhǎng)到快速增長(zhǎng)，然后再到慢速增長(zhǎng)的發(fā)展趨勢(shì)，并對(duì)我國(guó)社會(huì)物流總額后續(xù)發(fā)展情況進(jìn)行了預(yù)測(cè)，為相關(guān)部門制定發(fā)展規(guī)劃提供政策決策依據(jù)。

相較于傳統(tǒng)GM(1,1)模型以及前人基于單個(gè)方向?qū)τ贕M(1,1)模型的優(yōu)化，本文提出的全信息優(yōu)化方法有效地提高了灰色GM(1,1)模型的精度，但是本文所構(gòu)建的模型仍然只適用于短期預(yù)測(cè)，而不適用于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。此外，對(duì)于GM(1,1)模型的優(yōu)化，除了全信息初值以外，還有其他優(yōu)化方法以及組合方式，這些都是本文今后可以展開研究的方向。