黃建棟 張淼

《一類(lèi)平面幾何最值探秘》（發(fā)表于《數(shù)理天地》（初中版）2022年5月上）已就a+kb類(lèi)平面幾何最值問(wèn)題中k=0的情況作了探究，本文繼續(xù)探求當(dāng)k=1，01和k<0（k=-1）時(shí)的最值.

1.當(dāng)k=1時(shí)，為a+b型，及由此推廣的a+b+…型，是求一點(diǎn)到兩點(diǎn)（或多于兩點(diǎn)）距離之和的最值問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題往往要通過(guò)變換（較多的是軸對(duì)稱(chēng)變換，也有旋轉(zhuǎn)變換）轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短.

例1如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（0，5），B（3，0），過(guò)點(diǎn)B作直線/∥y軸，點(diǎn)P（3，b）是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊在AP右側(cè)作等腰Rt△APQ，∠APQ=90°.當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之運(yùn)動(dòng).當(dāng)b為何值時(shí)，AQ+BQ有最小值，并求出最小值.

分析由題意，點(diǎn)P在直線x=3上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)Q也必在某一直線上運(yùn)動(dòng).顯然此直線過(guò)點(diǎn)（3，8）和點(diǎn)（6，5），即點(diǎn)Q在直線y=-x+11上.由此，只要作點(diǎn)B關(guān)于直線y=-x+11的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′，它與直線y=-x+11的交點(diǎn)即為AQ+BQ最小時(shí)的點(diǎn)Q的位置.

例2已知，如圖4，邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD，E是AD上一點(diǎn).

（1）求作正方形的內(nèi)接平行四邊形EFGH，使點(diǎn)F，G，H分別在AB，BC，CD上，且它的周長(zhǎng)最小;

（2）求此最小周長(zhǎng)，它是何種平行四邊形？

分析（1）本題表面上看，是求4條線段之和的最值，但實(shí)際上，由于平行四邊形對(duì)邊相等，故只須它的一組鄰邊之和取最值即可，故為a+b型.又由于正方形與其內(nèi)接平行四邊形組成中心對(duì)稱(chēng)圖形.所以由點(diǎn)E位置的確定，BC上一點(diǎn)G的位置也隨之確定，即在AB上求點(diǎn)F，使EF+FG最小.如此，只要作點(diǎn)E關(guān)于AB所在直線的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，問(wèn)題就迎刃而解了;

顯然，此時(shí)△FEE′是等腰直角三角形，從而平行四邊形EFGH是矩形.

例3如圖5，△ABC中，∠A=60°，BC=5，△ABC的面積為10，試作出它的內(nèi)接△EFG，使點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在BC，CA，AB上，且使其周長(zhǎng)最小，并求最小周長(zhǎng).

分析本例為a+b+c型，涉及三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但最終仍要?dú)w結(jié)為兩點(diǎn)間線段最短.當(dāng)a，b，c三線段呈封閉狀時(shí)，應(yīng)通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換拆封閉線段成首尾順連的一條折線段.為此，不妨假設(shè)點(diǎn)E已定，則點(diǎn)E關(guān)于AB和AC所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，E″也定，連接E′E″，分別交AB，AC于G，F(xiàn)，連接EF，EG，則△EFG的周長(zhǎng)即為E′E″.故要使周長(zhǎng)最小，只須E′E″最小.

在△AE′E″中，

∠E′AE″=120°，

AE′=AE″=AE，

則當(dāng)AE最小時(shí)，E′E″最小，

分析類(lèi)似于例2.假設(shè)點(diǎn)P已定，則E，F(xiàn)易求，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求AP的最值，顯然連接AO交弧BC于一點(diǎn)，即為所求之點(diǎn)P，

例5如圖7，已知△ABC，其中∠A、∠B、∠C均小于120°，求作點(diǎn)P，使PA+PB+PC最小.

分析本題亦為a+b+c型.當(dāng)a，b，c三線段共點(diǎn)呈放射形時(shí)，應(yīng)利用旋轉(zhuǎn)變換拆放射三線段成首尾順連的一條折線段.據(jù)此，假設(shè)點(diǎn)P已作出，連接PA，PB，PC.不妨令BP不動(dòng)，延長(zhǎng)BP，并在其上取PP′=PA，P′B′=PC.連接AB′，若此時(shí)AP′=PA（從而△APP′是正三角形），AB′=AC（只須△ACB′是正三角形），則有△APC≌△AP′B′，從而有∠APC=∠AP′B′=120°.

這說(shuō)明所求點(diǎn)P是對(duì)BC，CA的張角都是120°的圓弧的交點(diǎn).（顯然，這時(shí)點(diǎn)P也在對(duì)AB的張角為120°弧上，這三圓弧共點(diǎn)）.其實(shí)，點(diǎn)P還可通過(guò)以下方法作出：在△ABC外作正三角形A′CB和正三角形ACB′，連接AA′，BB′，交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P;或者只作正三角形A′CB，連接AA′，它和對(duì)BC張角為120°的圓弧的交點(diǎn)亦可.

本題實(shí)為求作費(fèi)馬點(diǎn).本例所作費(fèi)馬點(diǎn)位于三角形內(nèi)，這是因?yàn)榇巳切蔚娜齼?nèi)角中的最大角小于120。，若大于或等于120°，則費(fèi)馬點(diǎn)位于這個(gè)最大角的頂點(diǎn).

2.當(dāng)0

分析千萬(wàn)不要誤認(rèn)為

3.當(dāng)k>1時(shí)，這類(lèi)最值問(wèn)題的求解，往往要利用位似（相似）變換轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短.

例8如圖10，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，過(guò)AO的中點(diǎn)。作CD⊥AB，CD交⊙O于點(diǎn)D，作直徑DE，點(diǎn)P為⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PE+2PC的最小值.

4.當(dāng)k<0時(shí)，這在平面幾何最值中較少出現(xiàn)，并且通常也只有k=-1的問(wèn)題，這時(shí)的動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)距離之差的最值，又分動(dòng)點(diǎn)在定直線和在定圓上兩種情況：

（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定直線上時(shí)，①兩定點(diǎn)在定直線同側(cè)時(shí)，過(guò)兩定點(diǎn)的直線與定直線的交點(diǎn)即是取最值時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置，其最值即為兩定點(diǎn)間線段的長(zhǎng).

②兩定點(diǎn)在定直線兩側(cè)時(shí)，要通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換把異側(cè)兩定點(diǎn)轉(zhuǎn)化成同側(cè)兩定點(diǎn)，再按①的情況解決;

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定圓上時(shí)，則需借助相似三角形，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值.

例10如圖12，直線l與半徑為4的⊙O相切于點(diǎn)A，P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過(guò)點(diǎn)P作PB⊥l，垂足為B，連接PA.求PA-PB的最大值.

分析本題屬于情況（2），須通過(guò)相似，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求之.作直徑AC，連接CP，則∠CPA=90°，

因?yàn)锳B是切線，

所以CA⊥AB，又PB⊥l，

所以AC∥PB，

所以∠CAP=∠APB，

所以△APC∽△PBA，

設(shè)PA=x，PB=y.

因?yàn)椤袿半徑為4，

當(dāng)x=4時(shí)，所以x-y有最大值是2，即PA-PB的最大值是2.