李江榮，喬田田，馬建為，劉佳蕊，朱際銘，張子菡

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

眾所周知，許多實(shí)際工程系統(tǒng)和其運(yùn)行過程都可以由非線性系統(tǒng)描述，例如：機(jī)器人定位系統(tǒng)、車輛定位系統(tǒng)和自動駕駛儀系統(tǒng)等。為了更好的研究非線性系統(tǒng)，多年來學(xué)者們提出了許多控制方法和控制理論［1］。模糊控制理論是基于美國學(xué)者ZADEH提出的以一種不精確方式處理不確定信息的思想發(fā)展而成的理論。模糊控制系統(tǒng)的出現(xiàn)，為研究非線性系統(tǒng)提供了有效方法。TAKAGI-SUGENO（T-S）模糊模型是諸多方法中應(yīng)用最廣泛模型，它可以將非線性系統(tǒng)建模成為多個線性子系統(tǒng)的加權(quán)和［2］。因此，近年來廣大學(xué)者對T-S 模糊系統(tǒng)的分析與綜合問題研究已得到了大量成果［3-9］。另一方面，非線性系統(tǒng)建模過程中會造成時滯現(xiàn)象，它們是系統(tǒng)不穩(wěn)定和性能變差的主要根源［10］。因此，針對帶有時滯的T-S模糊系統(tǒng)的進(jìn)行研究也是非常有意義的，研究的主要內(nèi)容包括：穩(wěn)定性分析法［3］、H∞/H2控制［4-5］、可達(dá)集估計(jì)［6］、濾波分析與控制［7-9］。處理時滯的方法主要有：自由加權(quán)矩陣法［10］、Jensen不等式方法［11］、互凸組合方法［6］以及Wirtinger 不等式［12］等。

奇異系統(tǒng)，又稱廣義系統(tǒng)或半狀態(tài)空間系統(tǒng)，是一類比正常系統(tǒng)更具有廣泛形式的動力系統(tǒng)，由描述慢變動態(tài)層子系統(tǒng)的微分方程（連續(xù)系統(tǒng)）或差分方程（離散系統(tǒng)）和描述快變靜態(tài)層子系統(tǒng)的代數(shù)方程構(gòu)成［13］。它更能自然地描述動態(tài)系統(tǒng)，并通過包含非動力學(xué)約束和脈沖元素更準(zhǔn)確地保持物理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，該系統(tǒng)已被廣泛應(yīng)用于航空、航天、能源、網(wǎng)絡(luò)、電力、石油化工和通信等領(lǐng)域中［14］。另一方面，奇異系統(tǒng)本質(zhì)上是與泛函方程耦合的微分方程。由于奇異系統(tǒng)具有脈沖或非因果行為，使其研究比正常系統(tǒng)更復(fù)雜、更困難。然而以上因素也為研究奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來了一定的挑戰(zhàn)性，因?yàn)樗粌H需要考慮穩(wěn)定性，而且還需要證明系統(tǒng)的正則性和無脈沖性（連續(xù)奇異系統(tǒng)）或因果關(guān)系（離散奇異系統(tǒng)）［13］。目前，對于奇異系統(tǒng)和非線性奇異系統(tǒng)的研究已取得了一些成果，比如：滑?？刂疲?5］、容許性分析［16］、可達(dá)集估計(jì)［17］和耗散控制性［18］等。

耗散性控制是檢驗(yàn)系統(tǒng)的抗干擾性能，在控制領(lǐng)域中發(fā)揮著重要作用，該理論為基于能量研究控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和分析提供了框架［19］。廣義耗散性問題是一類以更廣泛、更新穎的思維去研究系統(tǒng)的魯棒性，而且H∞性能、嚴(yán)格耗散性能等都可以看作廣義耗散性能的特殊形式，因此廣義耗散性能是多種魯棒性能問題的擴(kuò)展，已在許多控制系統(tǒng)中得到了研究，例如，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［20］、Markov 跳變系統(tǒng)［21］和T-S模糊奇異系統(tǒng)［22］。由于奇異系統(tǒng)的特殊結(jié)構(gòu)為研究奇異系統(tǒng)的廣義耗散性問題帶來挑戰(zhàn)，因此，目前針對離散時間T-S模糊奇異時滯系統(tǒng)的廣義耗散控制問題尚未得到研究。

綜上所述，本文研究離散時間T-S 模糊奇異時滯系統(tǒng)的廣義耗散問題?；诶钛牌罩Z夫穩(wěn)定性理論，通過設(shè)計(jì)新的李雅普諾夫泛函，利用改進(jìn)的互凸組合方法和最先進(jìn)的矩陣不等式，得到了保守性較小的離散時間T-S模糊奇異時滯系統(tǒng)的廣義耗散容許性充分條件，并給出定理的條件的平方和形式。最后，給出數(shù)值仿真算例驗(yàn)證了所提方法和定理的正確性和有效性。

1 問題描述

考慮一類非線性系統(tǒng)建模成如下形式的離散時間T-S模糊奇異時滯系統(tǒng)：

第i 條 規(guī) 則(i ∈S →{1，2，…，r})：若θ1(t) 是Wi1，…，θp(t)是Wip，則

基于平均取模糊化、乘積單模糊化規(guī)則，則T-S模糊奇異系統(tǒng)（1）等價為以下系統(tǒng)：

引理2［6］給定任意常矩陣，整數(shù)a1≤a2≤a3，狀態(tài)向量x(t)，η(t) = x(t + 1) - x(t)，則下列不等式成立：

2 主要結(jié)果

下面基于SOS 算法給出系統(tǒng)（3）的廣義耗散容許性條件。

定理1 定給整數(shù)dm≤d(t) ≤dM，矩陣Φ1，Φ2，Φ3，Φ4為實(shí)的對角線矩陣且滿足假設(shè)1，若存在正定對稱矩陣P，Qi(i = 1，2，3)，Zj(j = 1，2)和任意矩陣R，X，則有以下SOS條件成立：

已知rank(Eˉ) = rank(E) = r ≤n，由奇異系統(tǒng)性質(zhì)可知一定存在2個非奇異矩陣F和G，使得

把（22）~（23）式與（21）式相加，可得

綜上所述，由定義2 可得系統(tǒng)（3）是廣義耗散的。

3 數(shù)值仿真

下面通過數(shù)值仿真例子，可以驗(yàn)證本文所得結(jié)論和所提方法的有效性和正確性。

例1 考慮以下T-S模糊奇異時滯系統(tǒng)：

其中系統(tǒng)的系數(shù)矩陣取值為

考慮以下2條模糊隸屬度函數(shù)：

并基于初始值分別給出系統(tǒng)運(yùn)行的狀態(tài)的時間響應(yīng)圖和輸出時間響應(yīng)圖，由圖1 可以看出系統(tǒng)的狀態(tài)是廣義耗散容許的，由圖2 可以看出系統(tǒng)的輸出變量是可控的。

圖1 系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)圖

圖2 系統(tǒng)的輸出響應(yīng)圖

4 結(jié)論

本文針對離散時間T-S模糊奇異時滯系統(tǒng)的廣義耗散控制問題進(jìn)行了研究。基于Lyapunov 穩(wěn)定性定理，得到了保守性較小的新的離散時間T-S 模糊奇異時滯系統(tǒng)的廣義耗散容許性充分條件。在證明過程中考慮常被忽略的三重、二重差分求和項(xiàng)，并利用改進(jìn)的互凸組合方法和新的矩陣不等式，降低了所得結(jié)論的保守性。為了克服LMI 條件的局限性，本文給出了定理?xiàng)l件的平方和形式。通過數(shù)值仿真例子，驗(yàn)證了所得結(jié)論和方法的正確性和有效性。