許現(xiàn)新

【摘? ?要】圓的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”如何更易于被學(xué)生理解？通過厘清圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)，分析圓的生活現(xiàn)象，調(diào)查學(xué)生圓的前概念水平進行教學(xué)設(shè)計，力求將圓的“生活現(xiàn)象”與圓的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”加以融合。在教學(xué)中，充分利用圓的“生活現(xiàn)象”，通過想象、交流、觀察、操作、思辨、對比、解釋、拓展等教學(xué)策略去叩問圓的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”，從而讓學(xué)生在體驗、感知、感悟、內(nèi)化、深化中，理解圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】融合;生活現(xiàn)象;叩問;數(shù)學(xué)本質(zhì)

《圓的認(rèn)識》是人教版教材六年級上冊的教學(xué)內(nèi)容，屬于一節(jié)數(shù)學(xué)概念課，作為“圓”這個單元的起始課，它起著至關(guān)重要的作用。那么《圓的認(rèn)識》該怎樣教學(xué)，才能使學(xué)生易于理解和掌握呢？筆者認(rèn)為，圓的認(rèn)識教學(xué)應(yīng)從融合生活現(xiàn)象中叩問圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

一、課前思考

在學(xué)習(xí)圓之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長方形、正方形、平行四邊形、梯形、三角形等平面圖形，圓這一平面圖形與學(xué)生以往所學(xué)習(xí)的這些平面圖形有很大的區(qū)別，圓是曲線圖形?！秷A的認(rèn)識》是學(xué)生學(xué)習(xí)圓周長、面積、圓環(huán)、扇形等知識的基礎(chǔ)。因而，作為“圓”單元的第一課時，在學(xué)習(xí)《圓的認(rèn)識》前無特別能借鑒的前知和經(jīng)驗，但在學(xué)習(xí)后，它卻是很多知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

（一）圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？

什么是圓呢？在學(xué)生的認(rèn)知里，圓是平面內(nèi)的那條封閉曲線（如圖1），還是那個圍成的圓面？（如圖2）

我們知道，早在戰(zhàn)國時期，《墨子》中就已經(jīng)為圓寫下了一個定義：“圓，一中同長也。”意思就是說“圓這種圖形，有一個中心，從這個中心到圓上各點都一樣長”，這說明圓的本質(zhì)就是與一個定點的距離等于定長的點的集合，顯然圓就是平面內(nèi)的那條封閉曲線。

（二）圓的生活現(xiàn)象何其多？

古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾說“一切平面圖形中最美的是圓”。圓是幾何圖形中很普通又很美的圖形，在我們的日常生活中普遍有圓的存在，如硬幣、瓶蓋、鐘面、圓桌、光盤、井蓋、輪胎、草原上的蒙古包、操場上的圓，有些游戲活動必須是圍成圓形的圈，等等。難道圓的存在只是因為美嗎？顯然圓的存在既體現(xiàn)了圓的美，又有其廣泛的實用價值，而圓的美與實用價值都來源于它的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（三）學(xué)生對圓認(rèn)識知多少？

學(xué)生在從小到大的成長過程中，經(jīng)常會看到圓、用到圓、想到圓。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中從低年級起就已經(jīng)接觸圓了。雖然圓的出現(xiàn)一般用在不同圖形的直觀分類，或是看圖列式作為直觀符號形式，或是學(xué)生在解決問題的過程中作為圖式分析的直觀模型（如維恩圖）幫助理解問題，但是在正式學(xué)習(xí)圓的知識之前，學(xué)生對圓的認(rèn)識，只是在生活中、學(xué)習(xí)中比較粗淺的表面化的認(rèn)知，對圓的本質(zhì)概念并未觸及。

于是我們做了一個課前調(diào)查。調(diào)查內(nèi)容如下：

經(jīng)過匯總整理，我們發(fā)現(xiàn)被調(diào)查的一百余名學(xué)生中，有52%的學(xué)生認(rèn)為圓既是平面內(nèi)的那條封閉曲線，又是那個圍成的圓面;有36%的學(xué)生認(rèn)為圓是那個圍成的圓面;只有12%的學(xué)生認(rèn)為圓是平面內(nèi)的那條封閉曲線?？梢姡瑢W(xué)生在未學(xué)習(xí)《圓的認(rèn)識》一課前，對圓的本質(zhì)的認(rèn)識是模糊的，絕大多數(shù)學(xué)生對圓的認(rèn)識的前概念與圓的本質(zhì)存在很大的偏差。

二、融合“生活現(xiàn)象”的教學(xué)設(shè)計

通過厘清圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)，分析圓的生活現(xiàn)象，調(diào)查了學(xué)生對圓的認(rèn)識的前概念。在教學(xué)設(shè)計時，力求將圓的“生活現(xiàn)象”與圓的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”加以融合，從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗出發(fā)，理解圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（一）以生活情境導(dǎo)入，激發(fā)探究數(shù)學(xué)本質(zhì)的欲望

在教師準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活的情境，激活學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)本質(zhì)的欲望。

【片段1】從“尋寶物”游戲?qū)胄抡n

出示“尋寶物”游戲情境：小明參加了一個尋寶游戲，寶物距離小明左腳3米，寶物可能在哪里？

（二）從生活現(xiàn)象中探究， 架起建構(gòu)數(shù)學(xué)本質(zhì)的橋梁

把學(xué)生置于知識發(fā)現(xiàn)的真實“場景”當(dāng)中，從生活現(xiàn)象中探究，架起建構(gòu)數(shù)學(xué)本質(zhì)的橋梁，更易于學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗探究知識。

【片段2】從“寶物位置”感知“圓”的本質(zhì)

師：請同學(xué)們拿出練習(xí)紙，我們用紙上面的小黑點表示小明左腳的位置，用圖上距離1厘米表示實際距離1米，請你在紙上表示出你的想法。

【片段3】從“轉(zhuǎn)繩子”體驗“圓”的本質(zhì)

師：老師這里有一根繩子，繩上有一個掛件，請你想象一下，當(dāng)老師讓這個掛件快速旋轉(zhuǎn)起來，這個掛件留下的運動軌跡是什么樣子的？

【片段4】從“操場上畫圓”感悟“圓”的本質(zhì)

師：圓在我們生活中很常見，籃球場上、操場上的大圓見過嗎？體育老師要在操場上畫一個大圓，怎樣才能把它畫出來？想象一下。

【片段5】從“圓規(guī)為什么能畫圓”內(nèi)化“圓”的本質(zhì)

教師出示圓規(guī)，介紹圓規(guī)畫圖的方法。

師：為什么圓規(guī)能畫出圓呢？請同學(xué)們利用圓規(guī)，在紙上空白地方畫一個半徑為2厘米的圓。

師：再畫一個直徑是6厘米的圓。

（三）在生活問題中應(yīng)用，創(chuàng)設(shè)深化數(shù)學(xué)本質(zhì)的機會

數(shù)學(xué)從生活中來，又回到生活中去，架起數(shù)學(xué)與生活的橋梁，感受數(shù)學(xué)就在身邊，生活離不開數(shù)學(xué)。通過生活現(xiàn)象中數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，給學(xué)生提供深化數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的機會。

【片段6】從“車輪為什么是圓的”深化“圓”的本質(zhì)

師：在我們生活中有很多物品都是利用了圓的特性來設(shè)計的，你想到了嗎？

師：為什么車輪是圓形的呢？

師：當(dāng)路是平的時，為什么圓形滾動起來比較平穩(wěn)呢？

師：請你想象一下，用圓、正方形、正三角形做輪，讓這樣的輪子轉(zhuǎn)起來。圓的圓心和正方形、正三角形的中心點是如何變化的？

【片段7】從“寶物位置”升華“圓”的本質(zhì)

師：老師還有最后一個問題，小明在你們說的圓上找了一圈，發(fā)現(xiàn)寶物并沒有在這個圓上，是怎么回事呢？

三、叩問“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的教學(xué)策略

在教學(xué)設(shè)計中融合了圓的“生活現(xiàn)象”，那么如何利用這些“生活現(xiàn)象”去叩問圓的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”呢？我們嘗試提出以下教學(xué)策略。

（一）想象與交流相穿插，體驗數(shù)學(xué)本質(zhì)

在學(xué)生探究生活現(xiàn)象中的數(shù)學(xué)本質(zhì)時，給予學(xué)生想象與交流的機會，讓學(xué)生在想象與交流中展現(xiàn)其個性思考，從而初步體驗圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

通過“寶物距離小明左腳3米”這一游戲條件，讓學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗和知識去思考、去畫一畫。展示學(xué)生作品（如圖3）。

教師啟發(fā)引導(dǎo)：“這些點都距離小明左腳3米，那么像這樣的寶物的位置，你還能找到嗎？想象一下，如果不斷地找下去，寶物所在的位置到底在哪里？”

給予學(xué)生充分想象的時間后，教師又提問：“你覺得是什么？”多名學(xué)生交流后都認(rèn)為是“圓”。這時，教師借助課件向?qū)W生展示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)與自己的想象是一樣的，能找到無數(shù)個點，組成了圓（如圖4）。

在學(xué)生發(fā)現(xiàn)是由無數(shù)個點組成了圓之后，教師不能讓學(xué)生的認(rèn)識停留在這一膚淺的層面上。教師繼續(xù)追問：“那么，你們說的這個圓是什么呢？”有的學(xué)生說：“它是由無數(shù)個點組成的一條線?！庇械膶W(xué)生說：“是一條曲線?！睂W(xué)生的回答僅停留在圓比較直觀的形上，并未回答到本質(zhì)上。這時教師進一步深入提問：“這條曲線有什么特點？”學(xué)生通過小組內(nèi)的討論以及班級內(nèi)的交流，最終發(fā)現(xiàn)：線上的每一個點到中心點的距離都是一樣的，所以才形成了這樣一條封閉曲線。

（二）想象與觀察相融合，感知數(shù)學(xué)本質(zhì)

在對生活現(xiàn)象的探究中，將想象與觀察相結(jié)合，動中有靜，靜中有動，虛實相融，動靜結(jié)合，形象感知圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

在“轉(zhuǎn)繩子”中感知“圓”的本質(zhì)環(huán)節(jié)中，教師提出問題：“老師這里有根繩子，繩上有一個掛件，請你想象一下，當(dāng)老師讓這個掛件快速旋轉(zhuǎn)起來，這個掛件留下的運動軌跡是什么樣的？”

給予學(xué)生想象的時間后，教師加以演示旋轉(zhuǎn)，學(xué)生想象和觀察后得出“掛件運動的軌跡是個圓”（如圖5）。

教師追問：“為什么掛件旋轉(zhuǎn)留下的軌跡是個圓呢？”

學(xué)生在討論中得出：“掛件到手指的距離是一樣的，轉(zhuǎn)動就會形成圓。”

（三）想象與思辨相結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)

在想象中思考，在思考中思辨，使學(xué)生逐步清晰理解圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

在“操場上畫圓”這個教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師提出問題：“體育老師要在操場上畫一個大圓，怎樣才能把它畫出來？”

學(xué)生有的說：“做個大圓模型。”有的說：“做個大圓規(guī)。”有的說：“人站在中間，旋轉(zhuǎn)著用一支長長的筆來畫?！庇械恼f：“找一根繩子，一端固定在操場上，在另一端系一支粉筆，人拉緊繩子繞著固定點畫一圈?！?/p>

在學(xué)生充分想象后，讓他們各抒己見，并讓學(xué)生進行思辨，最后明確，這么大的圓，要想畫好，主要還是要借助“圓上的點到中心的距離是一樣的”這個概念，然后根據(jù)實際情況選擇合適的方法。

又如，在“圓規(guī)為什么能畫圓”這個環(huán)節(jié)中，教師出示圓規(guī)，提問：“為什么圓規(guī)能畫出圓呢？想象一下圓規(guī)是怎樣畫圓的？”學(xué)生根據(jù)想象與思辨得出：圓規(guī)兩腳間距離不變，相當(dāng)于圓上的點到圓心距離不變。

（四）操作與對比相滲透，內(nèi)化數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)，需要學(xué)生的多種感官參與，動手操作能讓學(xué)生手腦并用，多種感官協(xié)同參與，促進知識內(nèi)化，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

如在“圓規(guī)為什么能畫圓”這個環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生用圓規(guī)畫一畫圓。

教師提出要求：“請同學(xué)們利用圓規(guī)，在紙上空白地方畫一個半徑為2厘米的圓?！?/p>

學(xué)生畫好后，展示作品，在展示的過程中讓學(xué)生明白只有“圓心到圓上的點的距離都相等”，才能畫出完整、美觀的圓（如圖6）。

教師又提出要求：“畫一個直徑是6厘米的圓?！睂W(xué)生在動手實踐中發(fā)現(xiàn)，畫直徑6厘米的圓，實質(zhì)上就是圓規(guī)兩腳間距離取3厘米，也就是圓心和圓上點之間的距離是3厘米（如圖7）。

動手操作是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的一種方法，在比較中畫圓，使學(xué)生認(rèn)識圓的基本結(jié)構(gòu)，并清晰地理解圓的各部分之間的關(guān)系，比如同圓或等圓中半徑是直徑的一半，有無數(shù)條半徑、無數(shù)條直徑、半徑?jīng)Q定圓的大小等等。學(xué)生在層層的探究活動中，實現(xiàn)了對概念本質(zhì)由表及里、由淺入深逐步內(nèi)化的過程。同時畫圓的操作活動也是對數(shù)學(xué)本質(zhì)理解后的外顯過程。

（五）解釋與拓展夯應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)本質(zhì)

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解釋、拓展生活現(xiàn)象。這一應(yīng)用過程，既是對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)深層次的理解，形成對知識的活學(xué)活用，又加強了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

如在“車輪為什么是圓的”這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師提問：“為什么車輪是圓形的呢？”學(xué)生認(rèn)為圓形平穩(wěn)。

教師追問：“為什么圓形滾動起來比較平穩(wěn)呢？”學(xué)生四人小組討論后交流。

教師啟發(fā)思考：“請你想象一下，圓的圓心和正方形、三角形的中心點是如何變化的？”（如圖8）

學(xué)生想象后通過觀察課件，演示圓形、正方形、正三角形車輪中心點與著地點之間距離的運動變化，得出：輪胎為圓形時，它的圓心到地面的距離都是一樣的，就是半徑，所以行駛起來比較平穩(wěn)。

對源自于生活中“車輪為什么用圓形”現(xiàn)實問題的探討，呈現(xiàn)車輪實物圖，聯(lián)系生活實際，引發(fā)學(xué)生的思考，讓學(xué)生結(jié)合課堂探究成果，在想象與思辨中逐步體會與領(lǐng)悟，樸實揭密“車輪做成圓形”的原理，探尋其本質(zhì)，在理解與解釋中進一步深化對圓概念本質(zhì)的理解。

又如在“寶物位置”的拓展應(yīng)用環(huán)節(jié)中，教師拋出問題：“小明在你們說的圓上找了一圈，發(fā)現(xiàn)寶物并沒有在這個圓上，這是怎么回事呢？”

這個問題一下子又激起了學(xué)生的思索，通過前面學(xué)習(xí)的積累，學(xué)生在想象與思辨中腦洞大開：寶物可能在地下，也可能在地上。

學(xué)生在層層的問題引領(lǐng)和想象、思辨下，發(fā)現(xiàn)寶物可能在一個球面上，教師順勢用課件展現(xiàn)（如圖9），強化學(xué)生的想象與思辨認(rèn)知。

如此，通過對“寶物位置”的其他可能性判斷，想象與思辨相結(jié)合，升華對“圓”的概念本質(zhì)的認(rèn)知，拓展學(xué)生思維。

在《圓的認(rèn)識》教學(xué)中，我們淡化了對“圓”概念字面的記憶，抓住“圓”概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，激活學(xué)生的生活經(jīng)驗，在融合“生活現(xiàn)象”中叩問圓的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”，將想象、交流、觀察、思辨、操作、應(yīng)用等貫穿于“圓”概念的學(xué)習(xí)過程中，凸顯“圓”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，幫助學(xué)生深度建構(gòu)“圓”概念，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（浙江省嘉興市嘉善縣實驗小學(xué)? ?314100）