周永剛

數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。這種感悟可以幫助人們用靈活的方法做出數(shù)學(xué)判斷，并為解決復(fù)雜問(wèn)題提出有用的策略，也可以說(shuō)數(shù)感是一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。發(fā)展學(xué)生的數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》要求：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想?！薄敖?shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維?！毙抡n標(biāo)明確地把“數(shù)感”作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容提出來(lái)，并且把“數(shù)感”擺在核心概念中的首要位置，充分表明讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中建立數(shù)感，是新課標(biāo)十分強(qiáng)調(diào)和重視的問(wèn)題。那么，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)感呢？

一、認(rèn)識(shí)教育價(jià)值發(fā)展學(xué)生的數(shù)感

數(shù)感的涵義及其特征，決定了數(shù)感的教育價(jià)值。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也首次將數(shù)感安排為學(xué)習(xí)內(nèi)容，并列為“數(shù)學(xué)思考”中的重要目標(biāo)。數(shù)學(xué)課程中安排數(shù)感的教育價(jià)值，可以從如下四個(gè)方面理解。

（1）建立數(shù)感有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不只是用計(jì)算能力的強(qiáng)弱和解決書(shū)本問(wèn)題能力的大小來(lái)衡量。學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題，具有理解和解釋實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)敏感，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。即是說(shuō)，數(shù)感的建立是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。如，學(xué)生在學(xué)習(xí)了自然數(shù)的意義之后，懂得了自然數(shù)可以表示物體的個(gè)數(shù)，當(dāng)他看見(jiàn)盤(pán)子里的蘋(píng)果時(shí)，不再是注意蘋(píng)果的顏色，而是關(guān)注蘋(píng)果的個(gè)數(shù)，并且懂得比較兩個(gè)盤(pán)子中蘋(píng)果的多少。于是可以認(rèn)為這個(gè)小學(xué)生具有了自然數(shù)感，這可以認(rèn)為是他數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高的標(biāo)志。學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的關(guān)鍵是在具體的問(wèn)題情境中去探索、去發(fā)現(xiàn)，學(xué)會(huì)從現(xiàn)實(shí)情境中提出問(wèn)題，找出數(shù)學(xué)模型。從一個(gè)復(fù)雜的情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，就需要具備一定的數(shù)感。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，克服數(shù)學(xué)教育中過(guò)分地強(qiáng)調(diào)知識(shí)與技能訓(xùn)練、忽視數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系、忽視數(shù)學(xué)的實(shí)際運(yùn)用等傾向。

（2）建立數(shù)感有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的自我構(gòu)建。我們知道，數(shù)感是關(guān)于數(shù)概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)是接受數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)平臺(tái)。數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的形成和穩(wěn)定是數(shù)感建立的關(guān)鍵，數(shù)感的建立有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的自我建構(gòu)。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)的概念后，當(dāng)他購(gòu)物花去5元錢(qián)時(shí)，就會(huì)與負(fù)數(shù)建立聯(lián)系──用“-5”來(lái)表示支出的5元。又如，怎樣為參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的全體運(yùn)動(dòng)員編號(hào)？要求從號(hào)碼上就可以分辨出年級(jí)和班級(jí)，區(qū)分出男生和女生，表示出參加的項(xiàng)目類(lèi)別。這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，它沒(méi)有固定的編排方式，而且不同的編排方式在實(shí)用性上是不同的。學(xué)生對(duì)于這一問(wèn)題有效地解決，也要依托于數(shù)感的建立。

（3）建立數(shù)感有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。學(xué)生在數(shù)感建立的過(guò)程中，有很多機(jī)會(huì)接觸和體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，交流自己對(duì)有關(guān)數(shù)的問(wèn)題的個(gè)性化看法，用不同的方式思考和解決同一問(wèn)題，對(duì)原有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造。這無(wú)疑有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。例如，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯小時(shí)候?qū)τ凇?+2+3+…+100=？”問(wèn)題的解決，就是一個(gè)由數(shù)感促進(jìn)創(chuàng)新的典型案例。具有良好數(shù)感的人，就會(huì)憑借對(duì)數(shù)字（量）的本質(zhì)認(rèn)識(shí)建構(gòu)自身的數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)，有效地接納數(shù)學(xué)知識(shí)，形成良好的數(shù)學(xué)意識(shí)。在遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)，就會(huì)靈敏地鏈接數(shù)學(xué)思維，從而進(jìn)行數(shù)學(xué)地思考，創(chuàng)造性地解決實(shí)際問(wèn)題。

（4）建立數(shù)感有助于提高學(xué)生的文化修養(yǎng)。從數(shù)學(xué)文化學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，數(shù)學(xué)是一種具有獨(dú)特價(jià)值的人類(lèi)文化。數(shù)學(xué)文化的獨(dú)特價(jià)值，一是體現(xiàn)在它的兼容性上，即它支撐著科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，包容著人文精神的方方面面。正如數(shù)學(xué)家克萊因所說(shuō)：“音樂(lè)激發(fā)或撫慰情懷，繪畫(huà)使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善生活，但數(shù)學(xué)卻能提供以上的一切。”數(shù)學(xué)家在贊美數(shù)學(xué)時(shí)，即使是不同的流派，在這一點(diǎn)上也是異口同聲的。二是體現(xiàn)在它的先進(jìn)性上。這是由功利和非功利兩個(gè)方面的先進(jìn)性所決定的。當(dāng)數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)相結(jié)合時(shí)，就能轉(zhuǎn)化為強(qiáng)大的物質(zhì)力量，創(chuàng)造出新的、先進(jìn)的社會(huì)生產(chǎn)力，這是數(shù)學(xué)文化價(jià)值的功利方面;抽象而具有神秘魅力的數(shù)學(xué)，同時(shí)還蘊(yùn)涵了高深莫測(cè)的哲學(xué)、美學(xué)、語(yǔ)言學(xué)等人文精神，抽象數(shù)學(xué)中許多沒(méi)有直接“用處”的成果，可以提高人的文化修養(yǎng)和文化品格，是人類(lèi)文化中的無(wú)價(jià)瑰寶，這是數(shù)學(xué)文化價(jià)值的非功利方面。數(shù)感是數(shù)學(xué)文化的一個(gè)重要成分。建立數(shù)感有助于提高學(xué)生的文化修養(yǎng)，主要表現(xiàn)為三個(gè)方面：第一，數(shù)感是人們對(duì)數(shù)學(xué)的一種敏感與理解，是數(shù)學(xué)（理性）精神形成的基礎(chǔ);第二，數(shù)感是數(shù)學(xué)思考的催化劑，是思維發(fā)展的階段性（精神）成果;第三，數(shù)感是一種認(rèn)知的直覺(jué)，是創(chuàng)新精神培養(yǎng)的關(guān)鍵。具有良好數(shù)感的人，在遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)，就會(huì)憑借對(duì)問(wèn)題的直覺(jué)，觸發(fā)創(chuàng)新思維的按鈕，探究問(wèn)題解決的創(chuàng)造性策略。

二、聯(lián)系學(xué)生生活發(fā)展學(xué)生的數(shù)感

聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，組織進(jìn)行觀察想象活動(dòng)能加深學(xué)生對(duì)相對(duì)應(yīng)的數(shù)的理解，更重要的是通過(guò)這些活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生建立數(shù)感。在教學(xué)中采取“重視引導(dǎo)觀察，進(jìn)行聯(lián)系對(duì)比”的過(guò)程，促使學(xué)生建立起相應(yīng)的數(shù)感，讓學(xué)生經(jīng)歷更多的實(shí)例，在現(xiàn)實(shí)背景下感受和體驗(yàn)數(shù)的含義。以學(xué)生對(duì)數(shù)概念的認(rèn)知為載體，通過(guò)數(shù)概念的教學(xué)活動(dòng)使學(xué)生逐步建立數(shù)感。?一些數(shù)概念比較抽象，學(xué)生不能很好地在頭腦中建立表象，不能真正理解概念的本質(zhì)屬性。這就需要教師善于結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，引領(lǐng)學(xué)生接觸和經(jīng)歷有關(guān)的情境和實(shí)例，經(jīng)歷理解和體驗(yàn)數(shù)概念的過(guò)程。使學(xué)生更具體更深刻地把握數(shù)的概念，建立數(shù)感。例如，在一年級(jí)上冊(cè)中，在教學(xué)“0的認(rèn)識(shí)”時(shí)，學(xué)生體會(huì)到“0”表示什么也沒(méi)有后，教師啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際說(shuō)出在哪些地方見(jiàn)過(guò)“0”。這方面，學(xué)生有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，可能說(shuō)出在電話(huà)機(jī)、溫度表、尺子、車(chē)牌上等地方都能見(jiàn)到“0”。這時(shí)教師必須適時(shí)組織學(xué)生進(jìn)行探討交流，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比，體會(huì)“0”這個(gè)數(shù)字表示的其他意義。如：在電話(huà)、車(chē)牌上與其他數(shù)字一起組成號(hào)碼;在溫度表上表示分界點(diǎn);在尺子上表示起點(diǎn)……通過(guò)學(xué)習(xí)，學(xué)生能具體、形象、直觀在感受和理解相關(guān)數(shù)概念，學(xué)生對(duì)“0”的意義有了體驗(yàn)與把握，在現(xiàn)實(shí)生活中可以根據(jù)“0”所表示的意義進(jìn)行運(yùn)用，從而更直接地把握有關(guān)的數(shù)概念，數(shù)感獲得了啟蒙。

三、重視調(diào)查實(shí)踐發(fā)展學(xué)生的數(shù)感

學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的價(jià)值和意義，繼而確立應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心，是形成良好數(shù)感的重要條件。鑒于此，數(shù)學(xué)就應(yīng)打破從概念到概念、從課堂到課堂的數(shù)學(xué)應(yīng)用僵局，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思想、方法，去分析、理解、解決生活問(wèn)題，通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)感的體驗(yàn)。例如，對(duì)全班同學(xué)的身高進(jìn)行調(diào)查分析。教學(xué)中設(shè)計(jì)如下：

（1）指導(dǎo)學(xué)生將全班同學(xué)的身高進(jìn)行匯總。

（2）從匯總后的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)信息。比如最高（最大值）、最矮（最小值）、相差多少（極差），大部分同學(xué)的身高是多少（眾數(shù)），自己的身高位于全班身高的哪個(gè)位置（順序）等。在討論的過(guò)程中，括號(hào)中的有些名詞并不需要出現(xiàn)，但是希望學(xué)生體會(huì)數(shù)據(jù)所代表的意義。

（3）在整理中，可以讓學(xué)生嘗試創(chuàng)造靈活的方法。例如尋找最高，可以直接比較尋找，當(dāng)學(xué)生人數(shù)比較多時(shí)，也可以分組尋找組內(nèi)最高，然后在每組的最高中尋找最高。通過(guò)這樣的活動(dòng)，把數(shù)感的培養(yǎng)落實(shí)到具體的活動(dòng)中，與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，在一個(gè)個(gè)完整的統(tǒng)計(jì)過(guò)程中學(xué)習(xí)知識(shí)，一次又一次的經(jīng)歷或了解數(shù)據(jù)處理的全過(guò)程，使學(xué)生深刻體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想，領(lǐng)悟了統(tǒng)計(jì)方法，也在調(diào)查實(shí)踐中發(fā)展了學(xué)生的數(shù)感。

四、強(qiáng)化科學(xué)訓(xùn)練發(fā)展學(xué)生的數(shù)感

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是為了解決問(wèn)題。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感要讓學(xué)生更多地接觸和理解現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，有意識(shí)地將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題與數(shù)量關(guān)系建立起聯(lián)系。使學(xué)生學(xué)會(huì)從一個(gè)復(fù)雜的情境中提出問(wèn)題，并能選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題，并對(duì)運(yùn)算結(jié)果作出合理的解釋。這就需要具備一定的數(shù)感，同時(shí)也使已具備的數(shù)感得到強(qiáng)化。在計(jì)算教學(xué)中加強(qiáng)估算和提倡算法多樣化，引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題的實(shí)際背景中，通過(guò)不同的方法找到答案，不同的方式確定結(jié)果，增強(qiáng)對(duì)實(shí)際意義的理解。例如：春、秋季節(jié)適宜組織學(xué)生郊游，這其中就蘊(yùn)涵著購(gòu)物、租車(chē)、買(mǎi)票等許多數(shù)學(xué)問(wèn)題?？勺寣W(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并想辦法解決。這些問(wèn)題都是開(kāi)放的，學(xué)生可以從各個(gè)角度想出解決方法。低年級(jí)進(jìn)行100以?xún)?nèi)的加法訓(xùn)練，可以創(chuàng)設(shè)一個(gè)學(xué)做小主人的情境：父母交給孩子100元，要他到超市購(gòu)物，用來(lái)招待客人，并要求100元錢(qián)盡可能用完。學(xué)生根據(jù)超市商品的標(biāo)價(jià)及來(lái)客的需要，自己設(shè)定購(gòu)物方案，并估算、調(diào)整所購(gòu)商品的總價(jià)，通過(guò)反復(fù)訓(xùn)練，最終確定購(gòu)物方案。這樣的訓(xùn)練方式，既是運(yùn)算技能的訓(xùn)練，又是實(shí)踐能力的訓(xùn)練。學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，完善了自己對(duì)原有知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí)，并不斷建構(gòu)社會(huì)生活及知識(shí)本身新的意義，使學(xué)習(xí)者與真實(shí)的實(shí)踐有效地聯(lián)系起來(lái)，強(qiáng)化數(shù)感。又如：在教學(xué)“萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，要求學(xué)生能認(rèn)、讀、寫(xiě)萬(wàn)以?xún)?nèi)的數(shù)，并知道這些數(shù)是由幾個(gè)千、幾個(gè)百、幾個(gè)十和幾個(gè)一組成;能說(shuō)出各數(shù)位的名稱(chēng)，識(shí)別各數(shù)位上數(shù)字的意義。如果讓學(xué)生枯燥機(jī)械地去記憶或背誦對(duì)學(xué)生理解、掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有太高的效率。此時(shí)，我們可以模仿電視節(jié)目中的商品價(jià)格數(shù)字競(jìng)猜的游戲。老師現(xiàn)場(chǎng)用硬紙板寫(xiě)數(shù)讓學(xué)生來(lái)猜，教師先給出一個(gè)大概的范圍，也可以直接讓學(xué)生來(lái)猜，然后教師結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行提示，在教師不斷的提示中，學(xué)生積極思維，踴躍發(fā)言。這雖然是個(gè)非常簡(jiǎn)單的游戲，但引入游戲之后，學(xué)生的興趣會(huì)陡增不少，并真正參與到學(xué)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程。如此猜數(shù)訓(xùn)練，雖然簡(jiǎn)單，但是使課堂氣氛活躍，更重要的是，使學(xué)生從計(jì)數(shù)單位、數(shù)的組成等各個(gè)方面全面認(rèn)識(shí)了萬(wàn)以?xún)?nèi)的數(shù)，在無(wú)形中滲透了用“區(qū)間套”逐步逼近的思想，這樣的訓(xùn)練活動(dòng)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)感具有十分重要的作用。

總之，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的過(guò)程是循序漸進(jìn)的，也是一個(gè)潛移默化的過(guò)程。教師必須在實(shí)際教學(xué)中進(jìn)一步深入鉆研教材，結(jié)合具體內(nèi)容有意識(shí)地設(shè)計(jì)具體目標(biāo)，提供有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的情景，探索與之相適應(yīng)的教學(xué)方法，把培養(yǎng)數(shù)感的任務(wù)落實(shí)到具體的教學(xué)過(guò)程。這樣培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，不僅可以使學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)接觸社會(huì)，體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)，表達(dá)自己對(duì)問(wèn)題的看法，用不同的方式思考和解決問(wèn)題，而且這也會(huì)有助于學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)。我想，隨著數(shù)感的建立、發(fā)展、形成和強(qiáng)化，學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)也會(huì)有所提高。