郭民環(huán),王 鵬,周志龍

（蘇州市職業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院, 江蘇 蘇州 215104）

隨著集成芯片等相關(guān)技術(shù)的發(fā)展，兩輪平衡車的成本和功耗越來越低，運動性能越來越好，而且還具備體積小、轉(zhuǎn)彎靈活等優(yōu)點。因此，兩輪平衡車正越來越多地走進普通人的日常生活。

從控制算法的角度來講，兩輪平衡車本質(zhì)上可以看成是一個三維空間中的倒立擺，其非線性和欠驅(qū)動的特性，使得該倒立擺常常用于驗證和對比各類控制算法，如PID[1]、LQR[2]等。從硬件設(shè)計的角度來講，根據(jù)功能的定位和作業(yè)任務(wù)的不同，兩輪平衡車一般會涉及控制器設(shè)計、運動驅(qū)動器設(shè)計等[3]。

本研究立足“控制工程基礎(chǔ)”課程實踐教學(xué)的需求，以兩輪平衡車為控制對象，在Simulink環(huán)境下設(shè)計可視化仿真平臺。一方面，該仿真平臺有助于學(xué)生通過直觀的仿真動畫理解課程中的一些基本概念；另一方面，該仿真平臺可以為以后的進一步開發(fā)提供基礎(chǔ)。

1 兩輪平衡車的動力學(xué)模型

本研究采用歐拉-拉格朗日建模方法對兩輪平衡車進行動力學(xué)建模。

1.1 簡化模型與坐標(biāo)系

兩輪平衡車可以簡化成左輪(L)、右輪(R)和車身(B)三個部分，當(dāng)兩輪平衡車保持平衡時，車身可以看成是質(zhì)心位于左、右兩個車輪中心點正上方的一個理想倒立擺。兩輪平衡車簡化模型如圖1所示[4]。

圖1 兩輪平衡車簡化模型

在圖1中，｛N｝代表地面坐標(biāo)系；｛C｝代表底盤坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系原點位于小車底盤中心，并與底盤連接；｛B｝代表車身坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系原點位于車身質(zhì)心，并與車身連接。其中，地面坐標(biāo)系｛N｝經(jīng)過轉(zhuǎn)向角ψ得到底盤坐標(biāo)系｛C｝，對應(yīng)的變換矩陣記作NRC(ψ)，底盤坐標(biāo)系｛C｝則通過傾角θ得到車身坐標(biāo)系｛B｝，對應(yīng)的變換矩陣記作CRB(ψ)。

1.2 模型參數(shù)

兩輪平衡車的模型參數(shù)分成兩部分：固有物理模型參數(shù)和運動狀態(tài)模型參數(shù)。兩輪平衡車固有物理模型參數(shù)及定義如表1所示。

表1 兩輪平衡車固有物理模型參數(shù)及定義

兩輪平衡車的運動狀態(tài)模型參數(shù)包括車輪的驅(qū)動力矩TL、TR和轉(zhuǎn)角γL、γR，兩輪平衡車底盤中心的前進速度、車身的傾斜角速度θ˙和轉(zhuǎn)向角速度ψ˙?？紤]車輪、車軸之間的摩擦力和車輪相對車軸的轉(zhuǎn)速成正比，即，其中cα為給定的摩擦系數(shù)。

1.3 非線性動力學(xué)模型

根據(jù)兩輪平衡車的模型參數(shù)，結(jié)合相關(guān)幾何約束和運動約束方程，利用歐拉-拉格朗日方程建立完整的動力學(xué)模型，即3自由度動力學(xué)模型，其形式為

2 Simulink仿真控制系統(tǒng)搭建

根據(jù)設(shè)計的動力學(xué)模型，在Simulink環(huán)境中搭建兩輪平衡車仿真控制系統(tǒng)，并對實時的仿真數(shù)據(jù)進行可視化顯示。

2.1 串級式控制結(jié)構(gòu)

兩輪平衡車采用經(jīng)典的串級式PID控制。其中，外環(huán)控制器1(位置環(huán))和內(nèi)環(huán)控制器(直立環(huán))共同實現(xiàn)小車跟蹤外部給定的前進指令，而外環(huán)控制器2(轉(zhuǎn)向環(huán))實現(xiàn)小車跟蹤給定的轉(zhuǎn)向指令。前進通道與轉(zhuǎn)向通道單獨完成，分別計算出小車需要的前進力矩和轉(zhuǎn)向力矩，再通過控制器耦合模塊得到小車左、右輪的實際控制輸入力矩。兩輪平衡車串級式控制結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 兩輪平衡車串級式控制結(jié)構(gòu)框圖

前進通道中的位置環(huán)和直立環(huán)構(gòu)成串級式PID控制結(jié)構(gòu)，其中位置環(huán)為外環(huán)，直立環(huán)為內(nèi)環(huán)。外環(huán)控制器的作用是利用位置跟蹤誤差產(chǎn)生期望的傾角，其控制律為

直立環(huán)控制器的作用是借助測量到的俯仰角和俯仰角速率，實現(xiàn)車身傾角的控制(直立狀態(tài)時傾角為0°)，其控制律為

轉(zhuǎn)向環(huán)為PID控制器，通過偏航角和偏航角速率實現(xiàn)轉(zhuǎn)向控制，其控制律為

前進通道和轉(zhuǎn)向通道的控制器最終力矩輸出需要進行耦合才能作為左、右車輪的驅(qū)動力矩，其關(guān)系式為

綜上分析，兩輪平衡車的動力學(xué)模型采用s-f unct i on模塊來描述，位置環(huán)、直立環(huán)和轉(zhuǎn)向環(huán)均采用PID控制結(jié)構(gòu)。兩輪平衡車Simulink仿真控制系統(tǒng)如圖3所示。

圖3 兩輪平衡車Simulink仿真控制系統(tǒng)

2.2 數(shù)據(jù)可視化

為直觀顯示仿真過程中兩輪平衡車姿態(tài)和位置的運動狀態(tài)，在圖3所示的Si mul ink仿真控制模型中，利用Stateflow的Chart模塊進行仿真數(shù)據(jù)的實時可視化顯示，如圖4所示。

圖4 仿真數(shù)據(jù)實時可視化原理圖

由圖4可知，該Chart模塊內(nèi)部由兩部分組成，分別用entry和du標(biāo)簽來區(qū)分。其中entry標(biāo)簽中的內(nèi)容用于初始化繪圖句柄，du標(biāo)簽中的內(nèi)容用于刷新繪圖句柄中的數(shù)值，從而實現(xiàn)三維坐標(biāo)系中兩輪平衡車姿態(tài)和位置的實時更新。

仿真過程中，根據(jù)計算機的實際運行性能，調(diào)節(jié)Rate Transition模塊的參數(shù)，利用繪圖模塊中的繪圖函數(shù)，實時修改繪圖句柄中的數(shù)值，得到三維可視化運行仿真結(jié)果。兩輪平衡車運動數(shù)據(jù)的可視化效果如圖5所示。

圖5 兩輪平衡車運動數(shù)據(jù)的可視化效果

3 仿真結(jié)果與分析

在經(jīng)典控制理論中，常常通過階躍信號的跟蹤效果來分析被控系統(tǒng)的控制性能，如穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差、上升時間、超調(diào)量、振蕩特性等。下面利用幾組仿真測試對小車的控制效果進行分析。

3.1 穩(wěn)定性測試

設(shè)計的控制器首先需要保證兩輪平衡車的穩(wěn)定性，為此設(shè)置兩輪平衡車初始位置xQ＝0 m，初始俯仰角θ＝30°，初始航向角ψ＝0°，跟蹤目標(biāo)均為零，即目標(biāo)位置rQx ＝0 m，目標(biāo)航向角ψr＝0°。通過仿真測試小車從非平衡狀態(tài)恢復(fù)到平衡狀態(tài)的結(jié)果如圖6所示。

圖6 兩輪平衡車恢復(fù)平衡測試

在圖6中，兩輪平衡車初始傾角為30°，此時直立環(huán)控制器計算產(chǎn)生一個正向轉(zhuǎn)矩Tx，使得兩輪平衡車朝著正前方加速運動。隨著小車的加速前進，其傾角在t=0.2 s左右減小到0°，并隨之反向增大。此時，控制器又產(chǎn)生一個反向轉(zhuǎn)矩Tx，使小車減速，該力矩在0.5 s左右達到反向最大，此時小車也達到最大的前進距離，隨后開始向起點(xQ＝0 m)運動，在t=1 s時到達起始點，并最終在2 s左右完全恢復(fù)位置和傾角的平衡狀態(tài)。

3.2 跟蹤階躍位置指令

首先，測試前進/后退通道的階躍跟蹤性能，仿真時長為4 s，其中0～1 s時小車處于自平衡狀態(tài)，此時前進力矩Tx，位置xQ和俯仰角θ均為0。在t=1 s時，xQ的位置指令由0突變到1，表示兩輪平衡車要跟蹤一個階躍位置信號。由于位置誤差此時已經(jīng)不為零，所以位置環(huán)控制器將立即開始工作，該控制器的輸出將作為直立環(huán)控制器的輸入指令，此時，直立環(huán)控制器開始起作用，其輸出為前進力矩Tx。位置跟蹤過程中，兩輪平衡車在t=1 s時先開始反向移動，隨后開始正向移動，這與兩輪平衡車的非最小相位特性相吻合。兩輪平衡車跟蹤階躍位置信號如圖7所示。

小車跟蹤階躍位置指令過程中，運動數(shù)據(jù)包括跟蹤之前處于原點的平衡狀態(tài)、跟蹤之后的平衡狀態(tài)、跟蹤過程中質(zhì)心的軌跡和車身姿態(tài)的軌跡。兩輪平衡車跟蹤階躍位置信號的數(shù)據(jù)可視化結(jié)果如圖8所示。

圖7 兩輪平衡車跟蹤階躍位置信號

圖8 兩輪平衡車跟蹤階躍位置信號的數(shù)據(jù)可視化結(jié)果

由圖8可知，仿真過程中，數(shù)據(jù)可視化平臺可以直觀地描繪出小車的運動狀態(tài)，便于分析其動態(tài)特性。

3.3 跟蹤階躍轉(zhuǎn)向指令

測試兩輪平衡車轉(zhuǎn)向通道的控制性能，仿真時長為4 s，其中0～1 s小車處于平衡狀態(tài)，在t=1 s時給出一個階躍轉(zhuǎn)向指令，此時控制器瞬間產(chǎn)生一個轉(zhuǎn)向力矩使得小車在t=2 s時完成轉(zhuǎn)向。兩輪平衡車跟蹤階躍轉(zhuǎn)向指令信號如圖9所示。

3.4 跟蹤手動搖桿控制指令

為綜合測試前進通道和轉(zhuǎn)向通道的控制效果，本研究采用Simulink中的joystick模塊接收搖桿數(shù)據(jù)信號，并將其轉(zhuǎn)換為小車的前進速度指令和轉(zhuǎn)向角度指令，可以實時手動控制小車，并借助數(shù)據(jù)可視化仿真平臺實現(xiàn)實時監(jiān)控。兩輪平衡車跟蹤手動搖桿指令的數(shù)據(jù)可視化結(jié)果如圖10所示。

圖10 兩輪平衡車跟蹤手動搖桿指令的數(shù)據(jù)可視化結(jié)果

4 結(jié)論

本研究分析兩輪平衡車的工作原理，建立動力學(xué)微分方程，設(shè)計串級式PID控制器，實現(xiàn)前進通道和轉(zhuǎn)向通道的解耦控制，并在Si mul ink環(huán)境下搭建可視化仿真系統(tǒng)。設(shè)計了跟蹤階躍位置、階躍轉(zhuǎn)向和手動搖桿三組實驗來驗證控制系統(tǒng)是可行的。本研究設(shè)計的可視化仿真平臺能夠使學(xué)生更加直觀地觀察實驗結(jié)果，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也為后續(xù)開發(fā)高級控制器提供參考。