上海市嶺南中學 劉華為 （郵編：200435）

新一輪中考復習即將展開，在研究往年中考題時不少同仁和當年的考生與任課教師感覺一樣，認為2021 年上海中考數(shù)學部分試題與往年試題相比有點“怪”，且不易入手. 筆者對此有幾點不成熟的思考，愿與廣大同仁探討.

1 “怪”在哪里？

1.1 “怪”在個別考點比較“陌生”

例1（2021 年上海第18 題）定義：我們把同一平面內(nèi)一個點與一個圖形上的所有點中最短的距離叫做這個點到這個圖形的距離. 如圖1，平面內(nèi)，正方形ABCD的邊長為2，中心O與正方形外一點P的距離也為2，則在正方形ABCD繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，點P到正方形ABCD的距離d 的取值范圍是 .

圖1

顯然，本題考查了平面幾何最值問題，而這一考點倍受往年上海中考命題者的冷落，從未出現(xiàn)類似題目. 鑒于中考的導向性，教師在中考復習時難免會忽視同類問題的選材，導致學生對處理幾何最值問題缺乏基本經(jīng)驗與常規(guī)技能，故而感到有點“怪”.

其實本題求解并不難，易知當正方形ABCD繞點O旋轉(zhuǎn)時，其上各點所生成的軌跡是以點O為圓心、該點到點O的距離為半徑的圓，故而在正方形ABCD旋轉(zhuǎn)過程中，點P與正方形ABCD上各點距離的最小值就是線段OP的長與對應點軌跡圓的半徑之差. 顯然，正方形ABCD上各點到點O的距離最大值和最小值分別為 2 與1，所以d的取值范圍是2－ 2 ≤d≤1.

1.2 “怪”在個別題型意外“錯位”

例2（2021 年上海中考第23 題）如圖2，在⊙O中，點E、F分別為弦AB、CD中點，AB=CD，且AB與CD相交于點P，聯(lián) 結(jié)OP、EF.

圖2

（1）求 證：OP⊥EF；

（2）聯(lián)結(jié)AF、AC、CE，若AF∥OP，求證：四邊形AFEC為矩形.

一般地，上海中考以圓為背景所命制的題常常放在壓軸題的位置，重點考查“垂徑定理”“直線與圓的位置關系”和“圓與圓的位置關系”等知識，注重能力區(qū)分的選拔性，綜合性強；或放在21題位置，重點考查“圓心角、弦和弦心距的關系”“垂徑定理及其推論”和“正多邊形”等知識，注重學業(yè)考的界定性，難度稍易. 而今年中考卻一反常態(tài)地在第23 題位置以圓為背景命制了一道綜合題，這不僅是位置的變化，更有難度系數(shù)的調(diào)整和知識考點的輪動，跳出了考生復習時形成的解決此類問題的思維定勢，感到不適在所難免.“平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦”和“同圓或等圓中相等弦的弦心距相等”可知OE⊥AB、OF⊥CD且OE=OF，再由“HL定理”得△OPE≌△OPF，得PE=PF，所以OP垂直平分EF，第（1）小題得證；至于第（2）題，由AF∥OP和OP⊥EF易想到AF⊥EF，故問題轉(zhuǎn)化為證明四邊形AFEC為平行四邊形. 眾所周知，證明一個四邊形是平行四邊形的方法較多，常為解題帶來一定的便捷. 不過就本題而言，較寬入口反倒成為眾多考生走不出的心結(jié)，因為似乎每種判定方法都可以走得通，但又無法走到底，導致部分心理脆弱的考生未能及時調(diào)整思考方向，遺憾入坑. 而基于第（1）小題的證明過程可知∠PAF=∠EPO=∠FPO=∠PFA，得PA=PF=PE，又AE=CF，所以AE與CF互相平分，問題迎刃而解.

例3（2021 年上海中考第25 題）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是對角線AC的中點，聯(lián)結(jié)BO并延長交邊CD或邊AD于點E.

圖3

（1）當點E在CD上，

①求證：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值；

（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的長.

易知△DAC與△OBC均為等腰三角形，又易證∠DCA=∠DAC=∠OCB，故而兩三角形相似；至于求兩線段比值問題，常規(guī)的處理策略是利用比例轉(zhuǎn)化，又比例的來源主要有“平行線分線段成比例（即通常的A型圖與X型圖）”和“相似三角形對應邊成比例”，于是不少考生想到延長BE交AD的延長線于點F（圖略），構(gòu)造X型圖求解. 易知AF=BC，所以問題轉(zhuǎn)化為求即的值. 但如何求后兩條線段的比值，學生又束手無策，或陷入比例轉(zhuǎn)化的循環(huán)求解中，只得放棄. 其實求兩線段的比值除了比例轉(zhuǎn)化外，還可通過計算的方法處理（也就是兩線段比的定義）. 考慮到條件沒有給出任意一條線段的長度，所以應選擇適當?shù)年P聯(lián)線段并設為參數(shù)t，然后用t 表示出AD與BC，代入求值即可. 而由①知∠ECO=∠BCO=∠CBE，又BE⊥CD，所以這三個角均為30°，故可設OE為t，則OC=2t、CE=得當點E在AD上時，當點E在CD上時，過程略.

2 “怪”因何在？

追根溯源，造成考生普遍對中考題感覺“怪”的主要原因無外乎有兩種：一是命題走偏，考了不該考的點，或命了不該命的題（即偏題怪題）；二是復習帶偏，教師依賴僥幸心里或憑借個人經(jīng)驗而人為劃分非考點或弱考點，導致知識遺漏或理解不透. 從上述分析可以看出，三道例題所涉及的知識點都是教學大綱所規(guī)定內(nèi)容，也未超出大綱要求，而求解策略也屬通性通法，所以把怪因歸罪于命題者既不科學也欠公平. 事實上，教師在復習時存在的三點“想當然”操作才是學生感到“怪”的根本原因之所在.

2.1 想當然地放大往年中考試卷的導向性

在一次校際間的中考復習專題研討活動中，某開課教師就選了一道最近網(wǎng)上較為熱門的“將軍飲馬”最值問題（源于課本中的一道例題）引導學生探究變式問題的求解策略，卻遭到某資深專家的強烈質(zhì)疑，并反復強調(diào)根據(jù)他長年的研究經(jīng)驗，上海中考從來不考平面幾何最值問題，一再建議大家要加強對中考試卷的考點梳理與題型研究，以防在中考不考的問題上浪費時間影響復習效果. 不過該觀點顯然過于極端，過分夸大了中考試卷的導向性，其實，從來不考不等于今年不考，今年還不考不等于以后仍不考，只要是教學大綱規(guī)定的知識點都是必掌握內(nèi)容. 換言之，以往年中考考點為復習范圍和以往年中考重點考查的內(nèi)容作為復習重點，都是沒有規(guī)律性依據(jù)和缺乏科學性的操作，一旦考到復習范圍外的知識點（如例1），考生中了“怪”招也就不足為奇了.

2.2 想當然地夸大往年中考試卷的穩(wěn)定性

毋庸諱言，中考試題確具有一定的穩(wěn)定性，但這種穩(wěn)定是指題型題量（6 道選擇題、12 道填空題和7 道綜合題）與總體難度系數(shù)比（基礎題、中檔題與能力題的占比為8∶1∶1，近年來有調(diào)整為7∶2∶1 的趨勢）的穩(wěn)定，而不是考點及其考查要求一成不變的穩(wěn)定. 遺憾的是，不少教師喜歡根據(jù)往年中考題考點所在的位置、題型與難度來設計中考知識點的復習策略，堅持復習知識點與往年相應考點基本一致的穩(wěn)定原則，并加大針對性地訓練強度，以提升學生處理問題的應試能力. 殊不知如此操作卻導致學生對處理此類問題的思維形成了固化模式，缺乏應有的應變能力，一旦遇到考點在題型與難度甚至位置上的調(diào)整（如例2 與例3），都會引起心理不適，造成題“怪”的認知感與緊迫感，影響了水平發(fā)揮.

2.3 想當然地擴大往年中考試卷的模擬性

中考前不少教師喜歡用往年的中考卷作為模擬卷，逐一把近幾年甚至十幾年的中考卷讓學生在規(guī)定時間內(nèi)當堂完成，以引導學生把握中考節(jié)奏，以便在考試時間分配、策略調(diào)整（如遇卡題如何調(diào)整心態(tài)，如何棄難做易等）與思維調(diào)控（即處理綜合題的思維方向切換的技巧）等方面積累實戰(zhàn)經(jīng)驗，也希望能適時發(fā)現(xiàn)問題并及時糾正.可惜的是，每年中考中有價值的考題學生早已通過各種渠道做過（有的題甚至做過數(shù)遍），因此以往年中考卷作為中考模擬不僅很難達到預期效果，而且虛假的高分還盲目增加師生的自信，掩蓋了復習中存在的瑕疵，反而為學生在中考實戰(zhàn)中埋下了遇挫急躁的隱患，或許有得不償失之感.

總之，以舊定新是一種缺乏規(guī)律的押寶式復習策略，若遇當年中考題稍稍創(chuàng)新（無論是形式還是內(nèi)容），都會突破教師強加給學生的中考認知框架，考生出現(xiàn)不適的“怪”感也在所難免.

3 以“透”化“怪”

其實，穩(wěn)中求新是每年中考命題的基本策略，即在保持基本題型、試題總量與三類題分配比不變的前提下，會在考點切換、位置調(diào)整和能力題編擬上大膽創(chuàng)新與尋求突破，故而創(chuàng)新是中考命題的常態(tài)化行為. 如果老師不能很好地認識與把握這種創(chuàng)新的導向意義與應對策略，必然會引發(fā)學生考場上的遇“新”不適的“怪”感，甚至出現(xiàn)思維空白，嚴重影響真實水平的發(fā)揮. 當然，要想杜絕這一現(xiàn)象發(fā)生，唯有中考復習時重點突出三個“吃透”.

3.1 回歸教材，吃透基本知識

可喜的是，近年來興起的一種思維導圖可有效地將教材所涉及的知識點進行網(wǎng)絡化梳理，既有利于學生理清知識間的深層聯(lián)系，又有利于中考復習時對知識點進行全方向位覆蓋. 但基本知識不僅僅是源于教材的概念、公式、法則、性質(zhì)與判定，還有源于知識生成與應用過程中所蘊含的基本方法、策略與思想，因此回歸教材不只回歸課本，還需注重對練習冊中習題及教材中的例題解題思想的深度挖掘. 如例1 就用到了滬教版九年級（第二學期）練習冊第1 頁習題27.1 第4 題（如果⊙O外一點P到⊙O上所有點的距離中，最大距離是8，最小距離是3，那么⊙O的半徑長等于 .）的解題思想，如果學生吃透了此題，知道“平面內(nèi)任一點與圓上各點連線中，到過該點與圓心的直線和圓的近交點距離最短、遠交點距離最長”，那么處理例1 就胸有成竹了，“怪”的感覺自然也就無從生起. 毫無疑問，注重知識生成與應用過程中所蘊含的思想方法的深度挖掘就是在強調(diào)吃透基本知識，發(fā)展應用能力.

3.2 注重構(gòu)圖，吃透基本圖形

近年來，考查學生的作圖能力已越來越受到中考命題者的青睞，也引起了廣大教師的重視，正形成良好的中考與教學互動行為. 遺憾的是，與顯性的作圖操作相比，隱性的構(gòu)圖能力卻沒有引起足夠關注，事實上若能讓學生根據(jù)題意構(gòu)出圖形，不僅能加深對題意的理解，也更有利于找到解決問題的基本策略. 為了節(jié)省時間，中考幾何綜合題的圖形一般直接給出，而要求考生在考試時重新畫圖也不太現(xiàn)實，因此不妨反其道而行之，在平時教學中不斷加強學生從復雜圖形中分解與重構(gòu)基本圖形的能力培養(yǎng)，則可起到兩全其美之效. 如圖2 中在得出AF⊥EF后再結(jié)合PE=PF，若能分解出基本圖形“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（即Rt△AFE與斜邊上的中線FP）”，則自然想到證明PC=PF，使問題迎刃而解；再如圖3 中若連接OD，構(gòu)造基本圖形“直角三角形斜邊上的高（即Rt△COD與斜邊上的高OE）”，利用“母子相似”也可順利求出還有例3 第（2）題求解過程中就要用到“X型”與“A型”等基本圖形使問題化難為易，可見構(gòu)造基本圖形是處理幾何能力綜合題必不可少的重要環(huán)節(jié)，理當高度關注. 應當指出的是，培養(yǎng)學生構(gòu)造基本圖形能力必須做到“四會”，即會集（平時注重收集）、會找（從復雜圖形中提煉出基本圖形）、會補（適當添線補全基本圖形）與會用（明析基本圖形的顯性結(jié)論，吃透基本圖形的潛在價值）.

3.3 善于歸類，吃透基本策略

無論是突破中考能力題，還是解決現(xiàn)實問題，都需要豐富的處理策略與完善的思維方式，因此，在日常教學與中考復習時要從教想法入手，引導學生學會思考，并積極探求類化策略（即把同類問題不同的處理策略適當歸類），追求以題會類的教學境界. 實際上，考生之所以覺得解題策略有點不同尋常的“怪”，主要原因還在于對處理同類問題的策略缺少系統(tǒng)梳理，只知其一不知其二，更缺乏不同策略間切換的意識. 如對于求兩線段比值問題，教學時教師若能圍繞“比例轉(zhuǎn)化（依據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)）”“三角形面積比（同底三角形面積比等于高之比與同高三角形面積比等于底邊比）”和“定義計算法（直接求出兩線段的長或用同一參變量表示兩線段，然后計算）”三大策略精選例題，引導學生深入探究與整體歸納，明確三大策略就是解決求線段比問題的思考方向，掌握依據(jù)條件適當選擇策略或在不同策略間切換思考方向的調(diào)控技巧，那么考生還會感到“怪”嗎？

總之，當中考題超出教師的預設而引起考生不適時，身為教師不能以推卸責任的方式帶風向，把矛頭指向命題者，而要反思自己的教學行為，豐富教學策略，從根本上提升學生的綜合能力，推動中考與教學的良性互動，充分發(fā)揮中考命題的引領性.