安徽省合肥市第三中學 張 麗 （郵編：230001）

安徽省合肥市第三十二中學 嚴國華 （郵編：230051）

關鍵字 數(shù)學文化；高考；實例分析；教學建議

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（以下簡稱《課標》）提倡體現(xiàn)數(shù)學的文化價值，近幾年的《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱》（以下簡稱《考綱》）中提出：要展現(xiàn)數(shù)學的科學價值和人文價值，體會數(shù)學的美學含義等要求.《考綱》與《課標》必然互為呼應. 為此筆者整理了近5 年來蘊含數(shù)學文化知識的高考真題，并挖掘它們在教材中的身影，以期對高中數(shù)學的日常教學有所啟示.

1 “數(shù)學文化”的概念

從字面上理解，“數(shù)學文化”即“數(shù)學的文化”，狹義上，數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、方法、精神以及它們的形成與發(fā)展；廣泛的描述還應該包含數(shù)學史、數(shù)學美學、數(shù)學教育、數(shù)學發(fā)展中的人文部分，數(shù)學與各種文化以及社會的關系等. 它重在對人的數(shù)學教化，即讓人具備用數(shù)學的語言描述世界，用數(shù)學的思維去研究、探索世界.

2 近5 年體現(xiàn)數(shù)學文化知識的高考題分布

筆者整理了2017－2021 共5 年的全國各省市（地區(qū)）的各種版本的高考卷中蘊含數(shù)學文化知識的42 道真題，列表如下表1.

表1

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從高考題的分布上看，近兩年高考卷幾乎每一版都設置了數(shù)學文化試題，

3 教材中“數(shù)學文化”的融入與分布

新課改對“數(shù)學文化”內容的重視與增加，貫穿整套教材，數(shù)學文化依托于數(shù)學史、數(shù)學典故、數(shù)學問題、數(shù)學實際應用等，在教材中以引言、探究、例題、練習、閱讀與思考等方式呈現(xiàn)在廣大師生面前. 以人教版（2019）選擇性必修二第四章數(shù)列（以下簡稱數(shù)列）為例，筆者初步統(tǒng)計融入的數(shù)學文化就有34 處，詳情見下表2：

表2

如此大量的數(shù)學文化知識的融入，展現(xiàn)了數(shù)學的科學價值和文化價值；更也給廣大教師帶來了挑戰(zhàn). 在課時有限的前提下，如何處理教材中出現(xiàn)的數(shù)學文化知識，既能完成教學內容，又能提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，還能較好的應對高考.

4 高考和教材在數(shù)學文化中的呼應

研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學文化在高考題和教材中通常從以下三個方面體現(xiàn)：

4.1 以數(shù)學史為載體，體現(xiàn)數(shù)學文化

數(shù)學史中有大量的古今中外的數(shù)學名著、著名的定理、公式和圖論、著名的猜想、數(shù)學每個分支發(fā)展的歷程……，數(shù)學史的豐富內容為命制高考題提供了豐富的資源，以數(shù)學史為背景的高考題細分為兩類.

4.1.1 數(shù)學名著中的數(shù)學問題

例1（2021·全國（理））魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的高．如圖1，點E、H、G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”則海島的高AB=（ ）

圖1

這類應用問題的解決策略和教學策略在后文中詳細闡述，這里不做贅述.

4.1.2 數(shù)學史中著名的定理、結論的數(shù)學思想方法和原理.

例2（2020·北京）2020 年3 月14 日是全球首個國際圓周率日（π Day）．歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學中的“割圓術”相似．數(shù)學家阿爾·卡西的方法是：當正整數(shù)n充分大時，計算單位圓的內接正6n邊形的周長和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的正6n邊形）的周長，將它們的算術平均數(shù)作為2π的近似值．按照阿爾·卡西的方法，π的近似值的表達式是（ ）．

此題蘊含的是“割圓術”中“以直代曲、無限趨近、內外夾逼”思想，把圓用兩個正n 邊形進行夾逼，由s2n＜s＜s2n+(s2n－sn)當n 無限大時，s2n→s則可估計出圓的面積s，取單位圓，則此時s值就是π的值. 無獨有偶，在2017 年浙江卷第11題也出現(xiàn)了劉徽的“割圓術”

類似以“割圓術”作為文化背景的考題在高考題中頻繁出現(xiàn)！如2019 年浙江卷和2013 年上海卷的“祖暅原理”；2021 年浙江卷和2007 年北京卷（理）的“趙爽弦圖”；2020 年浙江卷的“垛積術”等等.

我們再來看高考題考察的深度，淺層次的考察僅套了個數(shù)學史文化的帽子. 如2017 年浙江卷的“割圓術”，即使不了解“割圓術”也可以求出正六邊形的面積，2019 年浙江卷的“祖暅原理”；2007 年北京卷（理）的“趙爽弦圖”；2020 年浙江卷的“垛積術”也屬于此類，對于這種層次的考察，只要加強數(shù)學知識的教學即可；深層次的考察是考察數(shù)學史文化中的思想和原理. 如2020 年北京卷的“割圓術”，要用無限微分、近似替代的思想化圓面積為正六邊形的面積，再用夾逼原理得單位圓的近似值，從而得π的近似值. 針對這類層次的考察，在教學中就要足夠重視. 翻閱教材會發(fā)現(xiàn)，同時與教學內容有關的數(shù)學史在教材中都有介紹，比如上文中的“祖暅原理”、“趙爽弦圖”、“垛積術”、“割圓術”等，也就是說高考中的深層次考察都是立足于教材的. 因此要重視教材中“閱讀與思考”、“拓廣探索”中的數(shù)學史知識，尤其是中國古代數(shù)學，可以帶領學生以研究性學習的方式閱讀教材中的內容，探索它蘊含的思想和原理，并對原理和方法加以錘煉.

4.2 以跨學科知識為載體，體現(xiàn)數(shù)學文化

文化是交融的，數(shù)學文化一方面同天文、地理、物理、生物、醫(yī)藥、建筑的傳統(tǒng)學科交叉，體現(xiàn)數(shù)學知識的工具性，另一方面還會和新興學科比如航空航天、電子信息、人工智能、地球信息、數(shù)據(jù)科學、分形學等交融在一起，體現(xiàn)數(shù)學文化的與時俱進！而高考考察也分兩類.

4.2.1 各學科與數(shù)學學科交叉的知識

例3（2020·海南）日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面. 在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯400，則晷針與點A處的水平面所成角為（ ）

圖2

圖3

A. 20° B. 40° C. 50° D. 90°

此題主要考察的數(shù)學知識是立體幾何中的線面位置關系的判定和運用以及角度的計算，以古代測試間的日晷為背景，進行實物呈現(xiàn)，所以它還考察了數(shù)學能力中的直觀想象力、抽象能力和建模能力，而學生能把實物抽象為空間圖象的前提是理解地理學中的經(jīng)度緯度和赤道面的知識，否則學生無法想象出球體圖象，更不可能得到如圖所示的截面圖，此題就只有扼腕興嘆！

此外，在2021 年全國II 卷第四題“北斗三號衛(wèi)星導航”中又涉及了緯度的知識，此題同樣考察了有關球的位置關系的判定和角度的計算背景仍是緯度和赤道面，與2020 海南卷是何其的相似！事實上，人教A 版（2019）必修第一冊第256頁的“拓廣探索”第27 題已明確提到地球公轉過程中太陽直射、地球緯度問題，若在此處重視一下緯度知識，鍛煉學生實物與空間幾何圖象的轉化，空間圖形與平面圖形的轉化，那么此類高考題解決的就會較為輕松.

4.2.2 分支學科所蘊含的思想原理和方法

例4（2021·全國）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為20dm×12dm 的長方形紙，對折1 次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm 兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2 次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm 三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2以此類推，則對折4 次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ；如果對折n次，那么

此題貌似民俗文化背景，通讀完題目后就會發(fā)現(xiàn)此題具有明顯的迭代遞歸、自相似的特征！這恰是分形幾何學的基礎！目前分形理論廣泛應用于各個領域，從物理學到地球物理到地質地貌、從化學到生物學到醫(yī)學、從計算機科學到工程技術學、從藝術設計到人文社科、甚至改變了傳統(tǒng)的維度的劃分！對于像這樣的新興的、對社會影響巨大的學科，教材和高考都會有所涉及，以體現(xiàn)知識的與時俱進，激發(fā)學生的創(chuàng)新精神！

比如在數(shù)列中就把“謝爾賓斯基三角形”（以下簡稱“謝三角形”）作為典型例題編入教材，“謝三角形”是很有代表性的線性分形，具有嚴格的自相似特點，是分形幾何學中一個經(jīng)典的例子，不僅如此教材第38 頁的例10“正方形分形”和第55 頁練習題“瑞典數(shù)學家科赫的雪花形狀”又是經(jīng)典的分形問題.

如果我們教師在此教學時對教材的典例研究它們的共性，引導學生尋找迭代，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進行方法原理上的錘煉，甚至拓展一下介紹“分形學”在人文社科、自然科學中的發(fā)展，不但可以加深學科知識的掌握應對高考；還可以拓寬學生的視野，以數(shù)學的目光看世界，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)！

4.3 以數(shù)學應用為載體，體現(xiàn)數(shù)學文化

隨著國家對學生應用意識、應用能力的日益重視，高考卷中體現(xiàn)學生解決日常生活中的實際問題的試題不斷呈現(xiàn). 這類命題通過設計合適的試題情景把生活中的方方面面融入數(shù)學，如：營銷策略、經(jīng)濟生產(chǎn)、環(huán)境保護、醫(yī)療衛(wèi)生、軍事科技、建筑測量、生活服務、概率統(tǒng)計等等. 從知識能力角度：它體現(xiàn)了數(shù)學建模思想，考察學生的閱讀、抽象、轉化與化歸、實踐等能力；從情感角度：培養(yǎng)了學生的社會意識和創(chuàng)新意識，讓學生感受知識來源于生活服務于生活.

教材中隨處可見各種文化背景的數(shù)學應用題，以“數(shù)列”為例，從第1 頁至第43 頁，先后編入了15 道數(shù)學應用題（見表2），在2021 年的高考真題中僅涉及數(shù)列知識的實際應用題就出現(xiàn)3 處.

例5（2021 年上海）某公司從2021 年第一季度開始，第一個季度的營業(yè)收入1.1 億元，利潤0.16 億元，后面每一季度比前一季度營業(yè)收入上漲0.05 億元，利潤比上一季度多4%；（1）求到2025 年總共20 個季度的營業(yè)收入之和.（2）從哪一年哪個季度起，利潤超過營業(yè)收入的18%.

本題兩個對象，“營業(yè)收入”構成一個首項為1.1，公差為0.05 的等差數(shù)列{an} ；“利潤”構成一個首項為0.16，公比為4%的等比數(shù)列{bn} . 然后本題的第（1）問就轉化成了等差等比數(shù)列的分組求和問題，第（2）問轉化成解指數(shù)不等式問題. 對比教材“數(shù)列”內容：

例6（教材“數(shù)列”第38 頁例11）去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20 萬噸，其中14 萬噸垃圾以填埋方式處理，6 萬噸垃圾以環(huán)保方式處理. 預計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5 萬噸，為了確定處理生活垃圾的預算，請寫出從今年起n年內通過填埋式處理的垃圾總量的計算公式，并計算從今年起5 年內通過填埋方式處理的垃圾總量.

同樣提取信息可知：每年生活垃圾的總量構成等比數(shù)列{an}，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構成等差數(shù)列{bn}，每年以填埋方式處理的垃圾量構成數(shù)列{cn}，cn=an－bn，因此仍是利用等差、等比數(shù)列的知識進行計算，它們蘊含的文化背景不同，考察的能力和數(shù)學知識是一致的.

對此類數(shù)學文化問題的教學重點在于培養(yǎng)學生的閱讀能力和抽象概括能力，鍛煉學生提取關鍵信息，建立關聯(lián)，歸納到相關數(shù)學知識上.

5 結語

《考綱》與《課標》必然互為呼應，高考立足于教材又高于教材，“立足于教材”體現(xiàn)在高考中的數(shù)學文化都分布在教材的每一行每一頁，而“高于教材”則需要運用我們學習到的數(shù)學知識、原理、思想以及錘煉出的數(shù)學能力來解決問題！所以日常教學要鉆研教材，運用大單元教學整體把握思想原理和知識脈絡，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).