石耀聞，楊吟飛，丁小岑，鮑璐

(1. 南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016； 2. 南京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023)

0 引言

隨著航空航天器性能要求的不斷提高，越來(lái)越多的鈦合金構(gòu)件被采用。殘余應(yīng)力是物體不受外部載荷時(shí)內(nèi)部自相平衡的應(yīng)力場(chǎng)，表面殘余應(yīng)力會(huì)影響工程構(gòu)件的疲勞壽命[1]。準(zhǔn)確地評(píng)估表面完整性有利于實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)件高品質(zhì)設(shè)計(jì)和制造，故需要更高精度的模型以研究表面殘余應(yīng)力的分布狀況。在以往的研究中，通常以被測(cè)點(diǎn)殘余應(yīng)力取平均值的方式來(lái)考查工件的殘余應(yīng)力，或只研究工件上沿某一直線的應(yīng)力分布，抑或是以極少數(shù)離散點(diǎn)的測(cè)量結(jié)果表征平面應(yīng)力狀態(tài)，很少有研究聚焦于平面殘余應(yīng)力場(chǎng)。LI X Y等[2]發(fā)現(xiàn)7050-T7451鋁合金側(cè)銑薄壁件表面殘余應(yīng)力不確定度較大，不同切削參數(shù)下分布規(guī)律并不一致。WANG F Y等[3]對(duì)X316不銹鋼銑削表面應(yīng)力進(jìn)行了測(cè)量，發(fā)現(xiàn)在30mm×10mm的平面上測(cè)量數(shù)據(jù)有顯著的波動(dòng)，測(cè)量值與平均值相差最大達(dá)到200MPa，取平均值不足以表征其應(yīng)力狀態(tài)。故加工表面殘余應(yīng)力數(shù)值波動(dòng)性大且分布無(wú)明顯規(guī)律的情況廣泛存在。

應(yīng)力場(chǎng)的構(gòu)建方法從原理上可以分為參數(shù)方法和非參數(shù)方法。當(dāng)應(yīng)力服從某種分布(最常用的為多項(xiàng)式分布)時(shí)使用參數(shù)方法，如鋁合金預(yù)拉伸板應(yīng)力分布的裂紋柔度法[4]測(cè)量與構(gòu)建。當(dāng)應(yīng)力分布模型未知，或假設(shè)的分布模型與實(shí)際不符時(shí)，參數(shù)方法的擬合精度不高，而非參數(shù)方法由于其不需要任何參數(shù)假設(shè)，具有一定的優(yōu)越性?？臻g變系數(shù)模型的局部線性地理加權(quán)回歸[5]方法屬于非參數(shù)方法。空間變系數(shù)模型假設(shè)空間位置不同的測(cè)量數(shù)據(jù)之間是相互影響的，即回歸參數(shù)不具一致性。空間變系數(shù)模型將數(shù)據(jù)的空間位置信息納入模型，基于局部線性地理加權(quán)回歸(local linear geographically weighted regression, LL-GWR)建立的空間變系數(shù)模型中各數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)上的回歸系數(shù)函數(shù)不同，利用回歸系數(shù)函數(shù)在各空間位置的估計(jì)值分析回歸關(guān)系的空間變化特征，適用于在空間非均勻分布數(shù)據(jù)的處理[6]。目前該方法在殘余應(yīng)力場(chǎng)的構(gòu)建方面尚未有相關(guān)應(yīng)用。

本文以TA19鈦合金斷續(xù)車削表面為研究對(duì)象，利用X射線衍射法獲得加工表面殘余應(yīng)力數(shù)值，基于LL-GWR方法構(gòu)建了非均勻殘余應(yīng)力的空間變系數(shù)模型，并通過(guò)殘差分析探究其擬合效果。

1 試驗(yàn)

1.1 試驗(yàn)設(shè)置

試驗(yàn)所用材料為TA19鈦合金，試樣幾何尺寸150mm×15mm×5mm。TA19鈦合金材料的名義成分為Ti-6A1-2Sn-4Zr-2Mo-0.1Si。試驗(yàn)件毛坯在退火處理后采用電火花線切割加工方式獲得，樣塊經(jīng)超聲清洗后烘干備用。車削試驗(yàn)機(jī)床為SK50P臥式數(shù)控車床；刀片基體材料為硬質(zhì)合金，表面涂層為PVD-Al2O3，刀片為菱形刀片，菱形角度35°，刀尖圓角半徑0.8mm，前角5°；加工方式為斷續(xù)端面車削，無(wú)冷卻潤(rùn)滑；根據(jù)鈦合金精密車削典型參數(shù)范圍[7-8]，選取了切削參數(shù)：切削速度30m/min，進(jìn)給速度0.15mm/s，背吃刀量0.1mm。加工過(guò)程如圖1所示。

使用X射線殘余應(yīng)力分析儀測(cè)定表面殘余應(yīng)力，工作電壓U=30 kV，電流I=1mA，靶材選用V，特征射線選擇Kα，X射線入射角度為30°，準(zhǔn)直器直徑為1mm，測(cè)量晶面為103。殘余應(yīng)力測(cè)量點(diǎn)以均布點(diǎn)陣形式排布，測(cè)量點(diǎn)為4行10列，x方向間距10mm，y方向間距3mm，x=60mm位于試驗(yàn)件對(duì)稱軸位置處，測(cè)量點(diǎn)排布如圖2所示；測(cè)量數(shù)據(jù)包含x和y方向正應(yīng)力以及xy面切應(yīng)力。在平面應(yīng)變的假設(shè)條件下，用上述3個(gè)應(yīng)力分量表征表面殘余應(yīng)力狀態(tài)。

圖2 試驗(yàn)件表面殘余應(yīng)力測(cè)量點(diǎn)

1.2 結(jié)果與分析

同一批次3個(gè)試樣，測(cè)量結(jié)果顯示其分布狀態(tài)相似，故以其中一試樣為例。試樣表面x和y兩個(gè)方向的正應(yīng)力σx和σy以及切削平面xy的切應(yīng)力τxy的測(cè)量結(jié)果如圖3所示。進(jìn)行點(diǎn)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1所示。σx、σy和τxy的均值分別為-577.4MPa、-512.3MPa、376.4MPa，3個(gè)應(yīng)力分量有不同程度的波動(dòng)。工件表面x向和y向的正應(yīng)力數(shù)值離散度較大，σx和σy的極差均超過(guò)400MPa，標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到140MPa，二者的離散水平近似一致。xy平面切應(yīng)力數(shù)值τxy在切入切出段出現(xiàn)波動(dòng)，極差為223MPa，標(biāo)準(zhǔn)差45.5MPa，總體離散度相對(duì)正應(yīng)力較小?？梢奣A19鈦合金斷續(xù)車削表面殘余應(yīng)力是非均勻分布的，且3個(gè)應(yīng)力分量的分布規(guī)律各不相同。

圖3 表面殘余應(yīng)力測(cè)量結(jié)果

表1 測(cè)量結(jié)果統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù) 單位：MPa

2 殘余應(yīng)力空間變系數(shù)模型構(gòu)建

平面非均分布的勻殘余應(yīng)力空間變系數(shù)模型形式為

σi=β(xi,yi)+εi，i=1,2,…,n

(1)

式中：β(xi,yi)為表面坐標(biāo)(xi,yi)處的未知函數(shù)；σi代表在第i個(gè)測(cè)量點(diǎn)(xi,yi)處某一殘余應(yīng)力分量值；n為實(shí)際測(cè)量點(diǎn)的個(gè)數(shù)；εi為獨(dú)立同分布的隨機(jī)擾動(dòng)誤差。

假定空間位置為精準(zhǔn)可測(cè)量的非隨機(jī)變量，利用LL-GWR方法在目標(biāo)點(diǎn)集{(xj,yj)}進(jìn)行局部線性地理加權(quán)求解。加權(quán)最小二乘方法的目標(biāo)函數(shù)如下：

β(y)(xj,yj)(yi-yj)]}Kh(dij)

(2)

式中：dij代表(xi,yi)到(xj,yj)的距離；θ={β(xj，yj)，β(x)(xj，yj)，β(y)(xj,yj)}為待估計(jì)的多元函數(shù)；β(x)(xj,yj)、β(y)(xj,yj)為β(xj,yj)的偏導(dǎo)數(shù)。權(quán)重矩陣Kh為

(3)

式中：核函數(shù)K(·)為高斯核函數(shù)G(x)；h表示光滑參數(shù)。

(4)

即

(5)

對(duì)式(2)求解得到各β在(xj,yj)的估計(jì)值

(6)

式中：W(xj,yj)為在(xj,yj)點(diǎn)構(gòu)造的一組權(quán)重系數(shù)wi(xj,yj)(i=1,2,…,n)組成的對(duì)角矩陣。

wi(xj,yj)=Kh(dij)

(7)

(8)

(9)

在(xj,yj)處某一應(yīng)力分量σ的估計(jì)值為

(10)

(11)

進(jìn)一步可得LL-GWR估計(jì)的殘差為

(12)

(13)

3 結(jié)果與討論

由空間變系數(shù)模型LL-GWR方法得到的殘余應(yīng)力數(shù)值模型如圖4所示，模型結(jié)果可直觀且較為全面地展示車削表面殘余應(yīng)力的分布規(guī)律。

圖4 殘余應(yīng)力空間變系數(shù)模型結(jié)果

為了分析模型的擬合結(jié)果，從模型的殘差圖及相關(guān)統(tǒng)計(jì)量如和方差(sum of squares error, SSE)、方均根誤差(root mean square error, RMSE)、確定系數(shù)(R-square)等參數(shù)進(jìn)行分析。SSE和RMSE越小代表擬合效果越好，R-square取值范圍為[0,1]，R-square越大擬合效果越好。3個(gè)殘余應(yīng)力分量擬合結(jié)果的殘差分布情況如圖5所示。由圖5殘差的分布可以發(fā)現(xiàn)殘差的變化并沒有明顯的趨勢(shì)，說(shuō)明模型回歸關(guān)系正確。

圖5 殘余應(yīng)力空間變系數(shù)模型結(jié)果殘差散點(diǎn)圖

為進(jìn)一步說(shuō)明本模型的有效性，將本模型擬合結(jié)果與兩種常用參數(shù)方法高斯模型和多項(xiàng)式模型獲得的結(jié)果進(jìn)行比較。高斯函數(shù)模型為

(14)

多項(xiàng)式模型形式為PolyMN，M和N為≤5的自然數(shù)，分別表示模型中x和y的最高階數(shù)。在多項(xiàng)式模型中，通過(guò)對(duì)各階數(shù)組合得到的多項(xiàng)式模型的擬合結(jié)果進(jìn)行殘差分析，其中擬合效果最好的為Poly51，表達(dá)式如下：

f(x,y)=p00+p10x+p01y+p20x2+p11xy+

p30x3+p21x2y+p40x4+p31x3y+p50x5+p41x4y

(15)

3種方法構(gòu)建模型的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。

表2 不同殘余應(yīng)力構(gòu)建模型統(tǒng)計(jì)參數(shù)對(duì)比

由表2可知，總體上LL-GWR方法在3個(gè)應(yīng)力分量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)上高于高斯模型和多項(xiàng)式模型。高斯模型和多項(xiàng)式模型中σy的擬合結(jié)果較好， R-square達(dá)到了0.9以上，RMSE均為40MPa左右為相對(duì)較低的水平；而與σy相比，高斯模型和多項(xiàng)式模型的σx和τxy擬合精度較低，僅為0.6左右。不同應(yīng)力分量擬合結(jié)果的差異說(shuō)明參數(shù)模型對(duì)數(shù)據(jù)本身的分布有要求，在數(shù)據(jù)分布規(guī)律未知的情況下，參數(shù)方法處理散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)并不總能獲得較好的結(jié)果。

LL-GWR方法充分考慮了數(shù)據(jù)的空間非平穩(wěn)性，在處理數(shù)據(jù)隨空間位置的變化而產(chǎn)生非均勻變化且無(wú)規(guī)律分布的情況時(shí)，表現(xiàn)出了比高斯模型和多項(xiàng)式模型更小的殘差。LL-GWR模型中3個(gè)應(yīng)力分量的擬合結(jié)果R-square均達(dá)到0.94以上，RMSE均低于15MPa，在各應(yīng)力分量上都表現(xiàn)出較好的擬合效果。

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)X射線殘余應(yīng)力分析儀獲得了端面斷續(xù)車削加工表面的殘余應(yīng)力數(shù)據(jù)并進(jìn)行了分析與處理，在此基礎(chǔ)上利用空間變系數(shù)模型的LL-GWR方法對(duì)非均勻殘余應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行構(gòu)建，得到了更加詳細(xì)的表面應(yīng)力數(shù)據(jù)，主要結(jié)論如下：

1)斷續(xù)端面車削加工方式下表面應(yīng)力分布波動(dòng)性較大，且σx、σy、τxy分布規(guī)律明顯不同，對(duì)測(cè)量點(diǎn)應(yīng)力取平均值的方式不能有效表征非均勻殘余應(yīng)力場(chǎng)的分布；

2)殘余應(yīng)力空間變系數(shù)模型建立在測(cè)量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，且不需預(yù)設(shè)殘余應(yīng)力分布符合的數(shù)學(xué)模型，適用于表面非均勻殘余應(yīng)力場(chǎng)的構(gòu)建；

3)LL-GWR方法構(gòu)建的模型具有較高的精度，能夠較為準(zhǔn)確地表征表面應(yīng)力趨勢(shì)，且擬合精度優(yōu)于高斯函數(shù)、多項(xiàng)式等參數(shù)方法。