田 野,蔡遠利,鄧逸凡

(西安交通大學電信學部自動化科學與工程學院,陜西西安 710049)

1 引言

隨著導彈技術不斷發(fā)展,速度快、機動性強的目標給防御系統(tǒng)帶來了極大挑戰(zhàn),傳統(tǒng)的“一對一”作戰(zhàn)方式逐漸難以完成高精度的攔截任務.針對未來戰(zhàn)場上復雜多變的作戰(zhàn)環(huán)境,不僅要求導彈能夠對目標進行精確制導,還應與其他導彈協(xié)作完成多種作戰(zhàn)任務.因此多彈協(xié)同攔截成為未來作戰(zhàn)的一種有效策略[1-2],實現(xiàn)協(xié)同攔截的關鍵性技術之一是有效的協(xié)同制導律.對協(xié)同制導律的研究,目前主要包括基于攔截時間一致的協(xié)同制導[3],考慮攻擊角約束和制導時間的協(xié)同制導等[4].

早期協(xié)同制導方法多采用預設每枚導彈攔截時間的思路,并依據(jù)所設時間為各彈分別設計制導律,制導過程中各彈間無相互通信,本質是轉化為帶時間約束的單枚導彈制導問題[5],在實際作戰(zhàn)場景中受到了一定的限制.為實現(xiàn)真正意義的協(xié)同,結合比例導引律及其改進型、最優(yōu)制導律[6]、滑模制導律[7]等理論的多種方法被逐步應用于時間和角度協(xié)同制導律中.文獻[8]提出了一種由底層比例制導律和上層協(xié)調(diào)算法組成的協(xié)同制導方法,使用集中或分散式的協(xié)調(diào)策略實現(xiàn)上層協(xié)同控制,通過各彈的制導律實現(xiàn)底層制導.Zhang等[9]對有視場角約束的制導問題,結合期望命中時間與比例導引法PNG制導時間的誤差項,提出了一種時間協(xié)同制導律.對制導與控制一體化的協(xié)同制導問題,Wang等[10]基于動態(tài)面理論設計了多導彈協(xié)同制導律.Guo等[11]應用超螺旋滑模面使各導彈與目標的相對距離趨近期望的彈目距離,構造了二維平面內(nèi)的協(xié)同制導律,實現(xiàn)了對機動目標的攔截.在文獻[12]中,基于彈目的相對運動設計了最優(yōu)制導律來控制攻擊角,并運用反饋線性化理論設計了狀態(tài)反饋制導律來使各彈的攔截時間達到一致.

在制導時間協(xié)同方面,一種較有效的方法是建立彈間通信拓撲并基于多智能體一致性理論[13]使剩余飛行時間趨于一致,從而實現(xiàn)同時攔截目標的目的.文獻[14]對有限時間一致性協(xié)議進行了研究并給出了一種基礎形式,通過合理選取參數(shù)可使一致性協(xié)議具有連續(xù)的狀態(tài)反饋形式.文獻[15]將剩余飛行時間作為協(xié)調(diào)變量,應用一致性理論構造了多彈時間協(xié)同制導律,并基于經(jīng)典線性滑模面設計了二維平面內(nèi)的角度約束制導律,形成了內(nèi)外雙層的協(xié)同制導律結構,但該方法需要對各導彈的剩余飛行時間進行準確計算.文獻[16-17]分別設計了同時約束攻擊角度和制導時間二維協(xié)同制導律,包括第1層多智能體一致性協(xié)同算法和第2層的角度約束滑模制導律,但均未考慮攔截機動目標的情況.在上述二維協(xié)同制導律的基礎上,國內(nèi)外學者也開展了三維協(xié)同制導律的研究.Song等[18]使用超螺旋滑模設計了時間協(xié)同控制律,并構造了自適應滑模角度協(xié)同控制律,實現(xiàn)了三維空間內(nèi)的多彈協(xié)同,但其滑模面形式較為復雜.文獻[19]基于積分滑模設計了有向通信拓撲結構下的協(xié)同制導律,多枚導彈能夠在同一時間擊中目標并保證各彈的視線角滿足期望值,不足之處是并未解決系統(tǒng)抖振現(xiàn)象.文獻[20]中考慮了無向拓撲通信條件下的多導彈協(xié)同問題,基于非奇異終端滑模方法設計了視線縱向及法向的三維協(xié)同制導律,并引入了分段滑模趨近律,加快了滑模面收斂速度.

目前帶角度約束的協(xié)同制導律研究多集中于有限時間收斂,然而也存在應用的局限性,其收斂時間上限依賴于系統(tǒng)初始條件.在某些制導初始條件不能精確獲得的場景下,會影響對收斂時間的估計.由于固定時間穩(wěn)定具有收斂時間上界不依賴初始條件的優(yōu)點[21],因此將固定時間收斂理論應用于制導律設計逐漸受到了國內(nèi)外學者的重視,所構造的固定時間收斂制導律具有較好的制導性能和廣泛的適用范圍[22-23].現(xiàn)有的協(xié)同算法中,在滿足同時命中目標的基礎上,大多數(shù)角度協(xié)同方法僅能保證各彈視線角分別在有限時間內(nèi)收斂至期望值,而并未給出共同的協(xié)同時間上界[20],制導過程中各彈的角度收斂時間差別較大,對不同初始條件下的制導結果會有一定影響.同時,對單枚導彈攔截單一目標的固定時間制導問題研究并未進一步考慮多彈的時間協(xié)同一致[22].因此,在協(xié)同制導律中引入固定時間穩(wěn)定的思想并設計相應的制導律具有理論和實際意義,也是本文研究內(nèi)容之一.

綜上所述,目前的研究仍存在不足:1)現(xiàn)有的協(xié)同制導律多基于二維平面內(nèi)的運動模型,而實際攔截均發(fā)生在三維空間,因此需要深入研究三維運動模型下的協(xié)同制導律以滿足實際工程需要;2)目前,針對攔截機動目標,并基于固定時間收斂思想設計的協(xié)同制導律的研究還十分有限;3)基于多智能體一致性理論所設計的時間一致協(xié)同制導律大多形式復雜,需要配置的參數(shù)較多,不便于實際應用.因此,本文針對以上3個主要問題展開研究.

針對多枚導彈攔截同一機動目標的制導問題,本文提出了一種帶時間協(xié)同和視線角約束的協(xié)同制導律.采用雙層方案,視線方向上基于一階多智能體一致性理論設計時間協(xié)同制導律,保證各枚攔截彈同時擊中目標;在視線法向方向,基于固定時間非奇異終端滑模設計了帶末端視線角約束的法向制導律;通過構造收斂擴張狀態(tài)觀測器對目標機動進行估計.基于李亞普諾夫方法給出了穩(wěn)定性證明.最后以三枚攔截彈攔截同一機動目標的場景進行了仿真,驗證了提出方法的有效性.本文設計的協(xié)同制導律可應用于多彈協(xié)同攔截的工程實際中.

2 問題描述

2.1 協(xié)同攔截運動模型

針對三維空間的多彈協(xié)同制導問題,末制導階段單枚導彈攔截機動目標的相對運動幾何關系如圖1所示.其中OXY Z為慣性參考坐標系,OXLYLZL為視線(line-of-sight,LOS)坐標系.M和T分別表示攔截彈和目標,R表示攔截彈和目標的相對距離,θL和φL為視線高低角和方位角.

圖1 導彈和目標的攔截幾何示意圖Fig.1 Missile-target engagement geometry

由圖1可得到單枚攔截彈攔截機動目標的三維相對運動學方程[18].

其中:aMr和u分別為視線方向和視線法向方向上的控制輸入,aTr和D為視線方向和視線法向方向上與目標加速度有關的總干擾.

注1實際作戰(zhàn)中,由于攔截彈和目標本身存在一定的幾何外形,成功命中目標時彈目相對距離通常為R0,但存在制導精度可接受范圍[Rmin,Rmax]=[0,0.1]m,在制導精度內(nèi)表明成功攔截,即在整個末制導過程中均有R0.

攔截彈的剩余飛行時間可近似為

對式(6)求導,結合式(1)得到

命中時刻各彈視線角及角速率應滿足

當n枚導彈攔截同一目標時,由式(4)和式(7)可得第i枚攔截彈與目標的相對運動學方程

綜上分析,本文將分兩部分進行設計:1)視線方向上的制導加速度指令aMri,使各枚攔截彈的剩余飛行時間達到一致;2)視線法向上的制導加速度指令ui,使各彈的視線角收斂至期望值,保證多彈以各自的期望視線角命中目標.

2.2 彈間通信描述及相關引理

多攔截彈協(xié)同制導中,各彈相互通信并交換狀態(tài)信息,可看作一個多智能體的集合.對于如下包含n個智能體的一階系統(tǒng):

其中:xi為第i個智能體的狀態(tài)量,ui為第i個智能體的一致性協(xié)議.

本文使用無向圖G=(v,ζ,C)來描述彈間的通信拓撲關系.其中v={v1,v2,···,vn}是節(jié)點的集合,節(jié)點vi表示第i枚攔截彈;ζ表示節(jié)點間的連線,即彈間的通信關系;C=[cij]∈Rn×n表示權重系數(shù)矩陣,在無向圖中,cij=cji ＞0表示攔截彈i和j之間能夠進行信息通信,否則有cij=cji=0.若任意兩彈之間存在至少一條通路,則該無向圖是連通的.定義G對應的拉普拉斯矩陣L=[lij]∈Rn×n,其中矩陣元素

2) 如果圖G是連通圖,則λ(L)為L的第2個最小特征值且為正常數(shù).

引理1[14]針對有n個成員的一階多智能體系統(tǒng)(11),在其通信拓撲結構圖G無向且連通時,設計如下控制輸入:

引理3[18]假設系統(tǒng)存在連續(xù)正定函數(shù)V(t),且存在τ ＞0,0＜η ＜1,使得(t)≤?τV η(t),則系統(tǒng)能夠在有限時間tf內(nèi)收斂至平衡點,收斂時間滿足

引理4[22]考慮一類非線性系統(tǒng)

則系統(tǒng)(15)固定時間穩(wěn)定且收斂時間T有界,滿足

3 三維協(xié)同制導律設計

3.1 視線方向有限時間協(xié)同制導律

針對制導子系統(tǒng)(9),本節(jié)設計視線方向上的時間協(xié)同制導律使各攔截彈剩余飛行時間在有限時間內(nèi)達到一致,并構造一種擴展狀態(tài)觀測器對包含目標加速度的外部干擾進行估計.

用tfi表示第i枚攔截彈命中目標的時刻,t表示當前時刻,tgoi表示其剩余飛行時間,則有

基于引理1構造考慮目標擾動的多智能體有限時間收斂一致性協(xié)議

定理1針對視線方向上的子系統(tǒng)(9),在其通信拓撲結構圖G無向且連通時,選擇式(19)為制導律,則各枚攔截彈的制導剩余飛行時間能夠在有限時間內(nèi)達到一致.

證令xi=tfi,由式(17)和式(19)可得

為了消除目標機動對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響,通過構造一種擴張狀態(tài)觀測器對目標視線方向總干擾dri進行估計,將得到的估計值加入制導律中對dri進行補償,以得到理想的制導效果.

考慮如下一階非線性動態(tài)系統(tǒng):

式中:x為狀態(tài)量,f(x)為已知函數(shù),w為未知總體不確定性,u為控制輸入.

式(30)可以擴張為一個二階動態(tài)系統(tǒng)[25]

式中:x1=x,x2=w,τ=.

針對制導子系統(tǒng)(9),構造擴張狀態(tài)觀測器

注2視線方向干擾估計值能夠在有限時間內(nèi)收斂到實際值dri.由文獻[26]定理4.1可知,若擴張狀態(tài)觀測器(32)的估計誤差滿足有限時間收斂,則觀測器可與控制器分開設計,滿足分離原理.同時,擴張狀態(tài)觀測器可在線估計并補償外界不確定性.

3.2 視線法向方向有限時間協(xié)同制導律

本小節(jié)針對制導子系統(tǒng)(10),對各彈設計固定時間視線角約束制導律,使得每枚攔截彈的視線角均能在固定時間內(nèi)收斂至期望角度,從而實現(xiàn)了空間上的協(xié)同.相對于有限時間的角度約束制導律,固定時間制導律的收斂時間上界獨立于制導初始條件,可通過合理設計參數(shù)預先設定.在同時命中目標的基礎上,多導彈固定時間內(nèi)實現(xiàn)特定角度的協(xié)同攔截,具有更廣泛的場景適應性,從而最大化多彈攔截能力.

設第i枚導彈的期望視線角為[θLfi φLfi]T,視線角誤差可表示為

選擇如下固定時間終端滑模面[22]:

為了消除制導子系統(tǒng)(10)中因目標機動引起的總干擾Di,設計擴張狀態(tài)觀測器分別對目標俯仰和偏航方向的外界干擾進行估計.

定理2針對視線法向方向上的子系統(tǒng)(10),選擇式(33)作為滑模面,(42)為制導律并利用擴張狀態(tài)觀測器(43)-(44)對制導子系統(tǒng)中的外界干擾進行估計,可使各彈的視線角θLi和φLi在固定時間內(nèi)收斂至期望終端視線角,視線角速率固定時間內(nèi)收斂到零,各彈以期望的視線角協(xié)同命中目標.

證Lyapunov函數(shù)選取如下:

結合引理4和文獻[27]定理1可得,系統(tǒng)狀態(tài)在固定時間內(nèi)到達滑模面.

考慮如下Lyapunov函數(shù):

由引理4可知制導系統(tǒng)狀態(tài)量x1i和x2i將在固定時間內(nèi)收斂,在滑模面運動的收斂時間上界為

綜合可得制導系統(tǒng)的整體收斂時間上界為

類似的,制導系統(tǒng)的狀態(tài)量x1i和x2i將在固定時間內(nèi)收斂,制導系統(tǒng)的整體收斂時間上界為Ts.綜上所述,x1i和x2i能夠在固定時間Ts內(nèi)收斂至系統(tǒng)平衡點.即視線角θLi,φLi在固定時間內(nèi)收斂到期望的終端視線角,視線角變化率θLfi,φLfi趨于零. 證畢.

注3制導律(43)的固定收斂時間上界Ts決定于設計參數(shù)α1i,β1i,m1,m2和α2i,β2i,n1,n2的選擇,與初始制導條件無關.對的設計需要結合作戰(zhàn)實際環(huán)境進行綜合考慮,在某些特殊情況如初始視線角跟蹤誤差較大時,受限于導彈的實際機動能力,制導指令可能會出現(xiàn)持續(xù)飽和現(xiàn)象;若Ts設置過短,則導彈可能在很短的末制導時間內(nèi)無法以期望的角度命中目標.因此,需要通過對收斂速度和控制品質的權衡來合理選擇參數(shù).同時,預先設定了角度約束的時間上限,可與視線方向的時間協(xié)同制導律綜合考慮,使制導系統(tǒng)的整體剩余飛行時間和角度收斂時間處于一個合理的范圍內(nèi).

4 仿真分析

本節(jié)針對三枚導彈攔截同一個機動目標的情形進行數(shù)學仿真.導彈間的通信網(wǎng)絡拓撲結構如圖2所示,該網(wǎng)絡是無向且聯(lián)通的,對應的權系數(shù)矩陣可描述為式(58),仿真初始條件見表1.

圖2 導彈間通信拓撲結構Fig.2 Communication topologies for three missiles

表1 仿真條件Table 1 Initial parameters of the missiles

沿視線及法向方向的目標加速度大小為

制導律參數(shù)選取為m1=n1=9/7,m2=n2=7/9,η=0.1,α1i=β1i=14,α2i=β2i=0.35,擴張觀測器帶寬,導彈制導加速度上限為25g,g=10 m/s2.由給定參數(shù)得到的視線角收斂時間上界Ts=16.26 s.

使用本文構造的協(xié)同制導律,三枚攔截彈在末制導初始位置不同的情況下,能夠以期望的視線角同時擊中目標.仿真結果如圖3(a)-(i)所示.

圖3(a)為三枚攔截彈的剩余飛行時間,從圖中可以看出,各彈的剩余飛行時間在進入末制導后約3 s時達到一致.從圖3(b)可以看出各彈的彈目相對距離隨著飛行時間的增大逐漸減小,并在15.3 s左右同時擊中目標,實現(xiàn)了時間協(xié)同.圖3(c)-(e)給出了各攔截彈在視線方向和視線法向方向的加速度曲線.由于存在目標機動,且要滿足固定時間內(nèi)的角度快速收斂,在制導開始的一段時間內(nèi)需要較大的加速度,法向過載出現(xiàn)了短暫飽和現(xiàn)象,但飽和數(shù)值在合理區(qū)域內(nèi).在協(xié)同制導律作用下三枚導彈的剩余飛行時間快速趨于一致,并在短時間內(nèi)通過觀測器實現(xiàn)了對目標機動的估計后,各加速度指令便收斂至較小范圍內(nèi).在制導律作用下加速度曲線并未出現(xiàn)連續(xù)大幅度抖振現(xiàn)象,個別攔截彈初始偏差較大,為了使各攔截彈的角度在固定時間上界內(nèi)收斂,在制導中段出現(xiàn)了短暫的加速度指令突變.圖3(f)-(g)為視線俯仰角和視線方位角曲線圖,從圖中可以看到3枚攔截彈的視線角均在固定時間上限內(nèi)收斂至期望值,滿足了視線角約束的要求.圖3(h)-(i)給出了視線角速率隨時間變化的曲線,可以看出各彈的視線角速率均在固定時間上限內(nèi)趨于零,對視線角及視線角速度的控制是有效的.

圖3 本文設計協(xié)同制導律仿真曲線Fig.3 Simulation results under the proposed cooperative guidance law

協(xié)同制導仿真結果見表2,可以看出各攔截彈的制導時間相同,攔截時刻的脫靶量和視線角誤差均在合理范圍內(nèi),具有較高的制導精度.驗證了在所設置的仿真條件下,各彈可以從期望的方向同時擊中機動目標.

表2 脫靶量、制導時間和角度誤差Table 2 Miss distance,interception times and LOS angle errors

文獻[18]中,Song等為了實現(xiàn)攻擊時間和角度約束協(xié)同,在視線方向和視線法向方向分別基于積分滑模和終端滑模設計了有限時間協(xié)同制導律.本小節(jié)使用文獻[18]提出的方法,基于同樣仿真初始條件和期望終端數(shù)值進行了攔截仿真,仿真結果如圖4(a)-(i)所示.

通過與本文提出方法的仿真結果對比,可以看出兩種方法攔截時間和剩余飛行時間達到一致的速率基本相同,但本文在視線方向上的時間協(xié)同制導律形式更為簡單,便于實際參數(shù)配置應用.對比視線法向方向加速度變化曲線圖4(c)-(d)可知,本文方法中的加速度曲線飽和持續(xù)時間更短,從圖4(e)-(i)可以看出,本文制導律下的視線角速率與視線角收斂速度更快,且具有收斂時間上界可設定的優(yōu)點.因此相對于已有的典型協(xié)同制導方法,具有一定的優(yōu)越性.

圖4 Song方法協(xié)同制導律仿真曲線Fig.4 Simulation results under Song’s guidance law

5 結論

本文針對具有彈間通信的多彈協(xié)同攔截同一機動目標問題進行了研究.在視線方向,基于多智能體一致性理論設計了有限時間協(xié)同制導律,各導彈剩余飛行時間能夠在有限時間內(nèi)達到一致,從而實現(xiàn)同時打擊;在視線法向方向,基于固定時間非奇異快速終端滑模設計了帶角度約束的制導律,可使各彈的視線角在固定時間內(nèi)收斂至期望值;同時,構造了擴張狀態(tài)觀測器實現(xiàn)了對目標機動的估計.最后對三枚攔截彈協(xié)同攔截同一機動目標的情況進行仿真并與典型方法進行對比,驗證了所設計帶角度約束和時間協(xié)同制導律的有效性和優(yōu)越性.后續(xù)將對滿足視線方向固定時間協(xié)同的制導律展開進一步研究.