馮 茜 李 擎 王耀祖全 威

(1.北京科技大學(xué)自動化學(xué)院,北京 100083;2.華北理工大學(xué)機械工程學(xué)院,河北唐山 063210;3.北京科技大學(xué)工業(yè)過程知識自動化教育部重點實驗室,北京 100083;4.北京科技大學(xué)人工智能研究院,北京 100083)

1 引言

近年來,我國鋼鐵行業(yè)得到持續(xù)發(fā)展,據(jù)世界鋼鐵工業(yè)協(xié)會統(tǒng)計,2019年我國粗鋼產(chǎn)量達到9.9億噸,約占全球鋼鐵產(chǎn)量的52.9%,在鋼鐵行業(yè)迅速發(fā)展的同時給鐵礦石等原材料亦提出更高的要求.然而由于我國的鐵礦石品位普遍偏低,采選成本高,鐵礦石開采利潤持續(xù)壓縮,導(dǎo)致國內(nèi)鐵礦石產(chǎn)量逐年下降.截至2019年,中國鐵礦石產(chǎn)量8.44億噸,同年中國累計進口鐵礦石10.68億噸,由此可見,我國鋼鐵對進口鐵礦石具有較高的依賴度.以配料為基礎(chǔ)的鐵礦燒結(jié)是高爐冶煉的基礎(chǔ)環(huán)節(jié),燒結(jié)礦性能對高爐煉鐵的品質(zhì)具有極其重要的影響,通過不同品質(zhì)鐵礦粉的合理搭配,能夠控制燒結(jié)礦中的化學(xué)成分,對燒結(jié)礦品質(zhì)的提高具有重要意義.

傳統(tǒng)的鋼鐵生產(chǎn)中,一般是根據(jù)配礦原料和輔料的實際情況,從積累的配礦方案中進行挑選,當(dāng)配料成分變化頻繁或者具有特殊的成分要求時,很難快速準(zhǔn)確地得到合理的原料配比.為了盡可能結(jié)合不同鐵礦石資源特性,實現(xiàn)鐵礦資源的化學(xué)成分、燒結(jié)性能及價格的優(yōu)勢互補,改善燒結(jié)礦的技術(shù)經(jīng)濟指標(biāo)及冶金性能,并最終降低高爐鐵水的成本,不同種類礦石的優(yōu)化搭配已經(jīng)成為鋼鐵行業(yè)亟待解決的技術(shù)難題.

針對燒結(jié)配礦優(yōu)化問題,國內(nèi)外專家學(xué)者進行了多方面的研究.傳統(tǒng)優(yōu)化方法主要有單純形法、線性規(guī)劃法、專家優(yōu)化法等,這些方法在實際應(yīng)用中,要么受限于解決線性問題,要么具有一定的主觀性.隨著燒結(jié)系統(tǒng)研究的深入,配礦模型中涉及的變量維度、約束數(shù)目以及非線性因素不斷增多,這就導(dǎo)致了優(yōu)化難度的逐步提升,為此,一些研究人員應(yīng)用群智能算法進行燒結(jié)配礦優(yōu)化.曹躍等人[1]將聚類算法和組合優(yōu)化相結(jié)合,解決鐵礦預(yù)配料調(diào)度問題.Wu等人[2]以成本和SO2排放為優(yōu)化目標(biāo),采用線性規(guī)劃和遺傳粒子群算法作為求解方法.Wang等人[3]提出了燒結(jié)配料級聯(lián)優(yōu)化框架,應(yīng)用改進的人工免疫算法進行質(zhì)量和能源指標(biāo)的約束優(yōu)化.Shen[4]融合線性規(guī)劃法和非線性規(guī)劃法,解決實際生產(chǎn)中的多目標(biāo)約束優(yōu)化問題,得到了最佳燒結(jié)礦配比方案.文獻[5]應(yīng)用層次分析法確定多個目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重,轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)問題后,再使用線性規(guī)劃法進行優(yōu)化.Wu等人[6]基于能量流分析進行焦比約束優(yōu)化,減少了燒結(jié)過程中CO2的產(chǎn)生.

約束處理技術(shù)中應(yīng)用最為廣泛的是Deb提出的約束支配準(zhǔn)則[7],該準(zhǔn)則偏好于可行解,容易忽略不可行解信息.華長春等人[8]針對成本和二氧化碳排放量構(gòu)成的二目標(biāo)問題,以約束支配準(zhǔn)則為約束處理方法,采用非支配排序多目標(biāo)遺傳算法進行優(yōu)化,獲得了分布均勻的Pareto最優(yōu)解集.為了平衡優(yōu)化過程中的開發(fā)和探索之間的關(guān)系,伍鐵斌等人[9]應(yīng)用指數(shù)函數(shù)收斂因子對鯨魚優(yōu)化算法進行改進,同時引入旋轉(zhuǎn)操作精英學(xué)習(xí)算法增強局部尋優(yōu)能力,基于Deb準(zhǔn)則進行燒結(jié)配料優(yōu)化.文獻[10]在選擇性激光燒結(jié)過程中,建立了能耗和材料成本的約束多目標(biāo)模型,并應(yīng)用NSGA-II(non-dominated sorting genetic algorithm II)進行求解,取得了不錯的優(yōu)化效果.一些研究人員從約束處理機制上進行改進,采取目標(biāo)約束融合方法[11]、自適應(yīng)ε截斷策略[12]等技術(shù).為了平衡可行解與不可行解的關(guān)系,還有一些文獻提出雙種群策略[13]、雙外部存儲集[14]、多外部存儲集[15]方法進行約束優(yōu)化,有效防止算法陷入局部最優(yōu),維護種群多樣性.

針對燒結(jié)配礦優(yōu)化問題,研究人員大多采用傳統(tǒng)約束處理技術(shù),從搜索機制入手,與各種群智能算法相結(jié)合進行優(yōu)化.本文從約束處理機制方面進行改進.選取混勻料成本和鐵含量兩個重要指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù),將區(qū)域劃分策略與評價準(zhǔn)則相結(jié)合,提出基于區(qū)域劃分的約束多目標(biāo)粒子群算法(constrained multiobjective particle swarm optimization algorithm based on region division,RD-CMOPSO).為了保持良好的種群多樣性,在目標(biāo)空間中,基于角度自適應(yīng)劃分區(qū)域;采用雙外部存儲集機制,結(jié)合區(qū)域分布和評價準(zhǔn)則進行外部存儲集的維護;在此基礎(chǔ)之上,選取全局最優(yōu)粒子.通過在標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)集中的測試,展現(xiàn)出改進算法的有效性以及良好的性能.最后,使用算法進行燒結(jié)配礦優(yōu)化,并結(jié)合實際情況選擇出最合理的配料方案.

2 燒結(jié)配礦數(shù)學(xué)描述

2.1 燒結(jié)配礦的要求

實際生產(chǎn)中,燒結(jié)配礦需要兼顧鐵礦石資源的固有特性、混勻料燒結(jié)性能、高爐生產(chǎn)需求、高爐入爐有害元素控制要求和成本控制要求等因素.在滿足基本生產(chǎn)需求和控制有害元素含量的條件下,結(jié)合現(xiàn)有資源,合理調(diào)整物料間的配比,以實現(xiàn)成本最低.

2.2 燒結(jié)配礦數(shù)學(xué)模型

2.2.1 化學(xué)成分的計算

1) 扣除水分后原料配比.

其中:ua為第a種原料的配比,g為燒結(jié)礦原料種類,αa(a=1,2,···,g)為第a種原料中所含水分的百分比,為扣除水分后第a種原料的配比.

2) 扣除水分后各成分百分比.

其中:yb為原料中第b種化學(xué)成分的百分比,h為燒結(jié)礦原料中化學(xué)成分種類,yab(b=1,2,···,h)為第a種原料中第b種化學(xué)成分的百分比.

3) 扣除水分后各化學(xué)成分百分比.

Yb(%)為扣除水分后第b種化學(xué)成分百分比.

4) 扣除水分和燒損影響后各化學(xué)成分含量.

其中:(%)為扣除水分和燒損影響后各化學(xué)成分百分比,Y燒損(%)為扣除水分后燒損含量百分比.

2.2.2 約束條件

約束條件主要考慮目標(biāo)約束和決策約束兩個方面.目標(biāo)約束指的是實際標(biāo)準(zhǔn)和需求,具有一定的偏好.而決策約束指的是決策空間中符合約束條件的可行解,即某些化學(xué)成分的含量要求,這些約束條件對于最終的鋼材品質(zhì)具有非常重要的意義.

1) 目標(biāo)約束條件.

①燃料和熔劑的百分比指燃料和熔劑占原料總質(zhì)量的百分比.

其中:ur(r=1,2,···,f)為原料中第r種燃料或熔劑占原料總質(zhì)量的百分比,f為燒結(jié)礦原料中燃料和熔劑種類;OLr,OUr分別為第r種燃料或熔劑決策約束條件的下限、上限.

②各成分配比之和.

2) 決策約束條件.

①燒結(jié)成分約束.

其中:(%)為扣除水分和燒損影響后第b種化學(xué)成分的約束條件;DLb,DUb分別為扣除水分和燒損影響后第b種化學(xué)成分決策約束條件的下限、上限.

②堿度約束.

堿度為扣除水分和燒損后CaO與SiO2兩種成分含量百分比的比值.

2.2.3 目標(biāo)函數(shù)

在滿足燒結(jié)原料配比和燒結(jié)成分含量的前提下,通過優(yōu)化原礦石中各種原料的比例,使得混勻料的成本最低,同時鐵含量相對較高.

1) 混勻料的成本.

其中pricea表示第a種原料的價格.

2) 鐵含量.

選取混勻料成本和鐵含量兩個重要指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)時,全鐵含量的提升往往以混勻料成本的增加為代價,因此,能夠使得兩個目標(biāo)同時達最優(yōu)的原料配比是不存在的.配礦優(yōu)化的目標(biāo)是在滿足約束條件的前提下,應(yīng)用約束優(yōu)化策略求取兼顧兩個相互矛盾目標(biāo)的折中解.粒子群算法作為一類收斂性能好、搜索效率高的群智能算法,與有效的約束處理技術(shù)相結(jié)合,在優(yōu)化領(lǐng)域已經(jīng)獲得了很多成功的應(yīng)用.

3 改進的約束多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

3.1 粒子群算法

自然界中,鳥類以群體方式協(xié)作覓食,受此啟發(fā),Kennedy和Eberhart[16]提出了粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization,PSO).粒子群算法被用來處理多目標(biāo)優(yōu)化問題,稱為多目標(biāo)粒子群算法(multi-objective particle swarm optimization,MOPSO).

假設(shè)決策空間中,粒子群規(guī)模為N,當(dāng)前迭代次數(shù)為t,種群中第k個粒子的位置為xk(t)=[xk,1(t)xk,2(t)··· xk,d(t)],速度為vk(t)=[vk,1(t)vk,2(t)··· vk,d(t)],粒子k歷史最優(yōu)位置為pbestk(t)=[pk,1(t)pk,2(t)··· pk,d(t)],整個種群中的最優(yōu)粒子在第d維歷史最優(yōu)位置為gbest(t)=[g1(t)g2(t)··· gd(t)].粒子的速度、位置更新公式為

其中:r1,r2是均勻分布于[0,1]區(qū)間的隨機數(shù),增加隨機性;c1,c2為在[0,2]取值的加速度常數(shù),控制學(xué)習(xí)步長;ω為慣性權(quán)重,調(diào)節(jié)上次的速度對當(dāng)前速度的影響程度.

處理約束多目標(biāo)問題,既要兼顧多個目標(biāo),平衡多樣性與收斂性,又要采用有效的約束處理技術(shù),協(xié)調(diào)目標(biāo)與約束之間的關(guān)系.而實際應(yīng)用過程中,不同的背景條件下往往會伴隨著一些十分苛刻的約束條件限制.由于粒子群算法在無約束優(yōu)化過程中的出色表現(xiàn),研究人員以其為搜索機制進行約束優(yōu)化.

3.2 基于區(qū)域劃分的約束多目標(biāo)粒子群算法

3.2.1 歸一化

在約束優(yōu)化過程中,目標(biāo)函數(shù)之間的差異可以通過標(biāo)準(zhǔn)化處理來進行均衡.個體x歸一化目標(biāo)函數(shù)為

其中:N為種群規(guī)模,fmin和fmax分別為當(dāng)前種群中所有個體目標(biāo)函數(shù)的最小值與最大值.經(jīng)過歸一化后,目標(biāo)值和約束違約度的取值范圍均為[0,1].

個體x在第s個約束條件上的約束違反程度為

其中:約束條件共為q個,不等式約束為p個,等式約束為q ?p個.一般將等式約束轉(zhuǎn)化為不等式約束,δ是等式約束的容忍參數(shù)(根據(jù)需要精度設(shè)定,通常取0.001或0.0001).

種群中第j個粒子對第s個約束條件的違反程度最大值定義為

考慮到多個約束條件之間的差異,個體x的約束違約度定義為該個體對每個約束條件違反值的平均值

3.2.2 基于自適應(yīng)角度區(qū)域劃分的約束支配準(zhǔn)則

Deb準(zhǔn)則中,不可行解之間進行比較,違反約束程度低的個體更優(yōu);可行解與不可行解進行比較,可行解更優(yōu);可行解之間的比較按照無約束優(yōu)化處理,非支配等級高的解更優(yōu).為了獲得最優(yōu)帕累托前沿(pareto front,PF),不僅需要通過可行解對可行區(qū)域內(nèi)部進行搜索,還應(yīng)該利用部分不可行解信息,加強可行區(qū)域與不可行區(qū)域交界區(qū)域的探索.

對于比較復(fù)雜的約束優(yōu)化問題,優(yōu)化前期,可行解占所有解中的比例很低甚至不存在,為了發(fā)現(xiàn)可行區(qū)域,應(yīng)該增強全局開發(fā)能力,提高種群多樣性.優(yōu)化后期,當(dāng)可行解達到一定比例時,應(yīng)在加強局部搜索的同時防止陷入局部最優(yōu).僅僅依靠可行解的引領(lǐng)或者變異,會有一定的局限性.如果能夠從不可行解中提取有用信息并加以利用,能夠促進優(yōu)化進程.

本課題組前期將自適應(yīng)角度區(qū)域劃分策略用于多目標(biāo)優(yōu)化取得了良好效果,在此基礎(chǔ)之上,將該策略引入約束優(yōu)化過程中.在目標(biāo)空間中,基于角度進行自適應(yīng)區(qū)域劃分,將粒子的區(qū)域分布與評估準(zhǔn)則相結(jié)合,進行局部區(qū)域粒子的篩選.保留區(qū)域內(nèi)最優(yōu)解和部分不可行解,以促進可行區(qū)域的開發(fā).

按照評估準(zhǔn)則進行粒子選取時,對于可行解,僅根據(jù)非支配等級的比較判斷優(yōu)劣,容易忽略一些不存在非劣解的可行區(qū)域的探索,而這類解的保留有利于維護多樣性,為進一步加強局部搜索提供可能.如圖1所示,粒子A與粒子B均位于可行區(qū)域中,而粒子A的非支配等級高于粒子B,通常情況下粒子B會被刪除.但是,將區(qū)域劃分策略融入評估準(zhǔn)則后,粒子B如果是當(dāng)前區(qū)域的局部最優(yōu)解,就會被保留,這種方式有助于加強局部區(qū)域探索.

圖1 目標(biāo)空間中自適應(yīng)角度區(qū)域劃分示意圖Fig.1 Schematic diagram of adaptive angle region division in target space

對于不可行解,粒子C、粒子H均位于不可行區(qū)域,此時會將約束值大的粒子刪除,但粒子C、粒子H分別位于不同的角度區(qū)域,結(jié)合粒子的區(qū)域分布情況,兩個粒子都會被保留,這部分粒子的存儲將會促進種群向最優(yōu)前沿收斂.可行解與不可行解之間的比較也不再僅以可行解優(yōu)先為評判標(biāo)準(zhǔn),而是與個體所在區(qū)域共同決定粒子的取舍.位于同一區(qū)域的粒子C、粒子K以及位于不同區(qū)域的粒子H、粒子K在進行比較時,均有機會被保留下來,有利于約束邊界附近的進一步探索.對于每一個角度區(qū)域,可行解和部分不可行解的保留,有利于更大限度地維護多樣性.隨著優(yōu)化進程的深入,可行解數(shù)目不斷增加,劃分區(qū)域隨之增多,當(dāng)每個區(qū)域中既包含可行解又存在不可行解時,既能夠避免可行區(qū)域的過度探索,又有利于約束邊界附近區(qū)域的搜索.因此,采取自適應(yīng)方式劃分區(qū)域.

根據(jù)兩個外部存儲集中粒子的數(shù)目,自適應(yīng)調(diào)整角度,劃分目標(biāo)空間.初始化后,隨著迭代次數(shù)的增加,外部存儲集中的粒子數(shù)目會逐漸變多,劃分的區(qū)域也會隨之增多,直至達到區(qū)域上限后,停止劃分.整個目標(biāo)空間劃分為Di個區(qū)域,根據(jù)當(dāng)前外部存儲集中的粒子個數(shù)進行自適應(yīng)角度區(qū)域劃分,公式如下:

其中:D為初次劃分區(qū)域個數(shù);i為劃分次數(shù),imax是區(qū)域劃分最大次數(shù);Narc為外部存檔集中粒子個數(shù),其最大容量為[Narc]max.

3.2.3 雙外部存儲集維護策略

為了能夠在保持種群多樣性的同時,提高收斂速度,接下來,將各個區(qū)域中粒子的數(shù)量與評估準(zhǔn)則相結(jié)合,共同進行外部存儲集的維護.外部存儲集由外部存儲集1(arc-1)和外部存儲集2(arc-2)構(gòu)成.其中,arc-1用來存儲當(dāng)前PF中的可行解;arc-2則用來保留有價值的解,包括當(dāng)前PF中的不可行解和每個角度區(qū)域內(nèi)的局部最優(yōu)解.外部存儲集中粒子個數(shù)總和作為目標(biāo)空間自適應(yīng)角度劃分的依據(jù).

其中:Narc1為arc-1中粒子個數(shù),最大容量為[Narc1]max;Narc2為arc-2中粒子個數(shù),最大容量為[Narc2]max.

自適應(yīng)區(qū)域劃分階段,每個區(qū)域按照評估準(zhǔn)則,得到局部PF并儲存于arc-2中,此時,arc-2中有可能包括可行解或者不可行解.區(qū)域劃分的優(yōu)勢在于能夠充分保留每個局部區(qū)域中的最優(yōu)解,特別是一些不可行解.接下來,將粒子的區(qū)域分布情況與約束支配準(zhǔn)則相結(jié)合,對arc-1與arc-2中粒子進行信息交互,獲得全局PF.arc-1保留當(dāng)前PF中可行的非支配解,對于不是非劣解的粒子,如果是所在區(qū)域的局部最優(yōu)解,無論是否為可行解,都被保留于arc-2中.若區(qū)域個數(shù)已經(jīng)達到劃分上限,arc-1的維護策略為:每個角度區(qū)域中最多存在一個可行的全局最優(yōu)解,多余的粒子采用隨機方式刪除.arc-2的維護策略為:每個角度區(qū)域中最多存在一個局部最優(yōu)解,若arc-1中在此區(qū)域已有粒子,則保留約束值最小的粒子;若arc-1中不存在位于該區(qū)域的粒子,則保留局部最優(yōu)解,隨機刪除多余粒子.

基于區(qū)域劃分的雙外部存儲集策略,一方面擴大了搜索范圍,有利于維持種群多樣性,另一方面提取了不可行解的有用信息,加速引導(dǎo)種群粒子向約束邊界收斂.同時,arc-1和arc-2也為下一步全局最優(yōu)粒子的選擇提供了優(yōu)秀的儲備.

3.2.4 最優(yōu)粒子的選擇

全局最優(yōu)粒子(global best particle,gbest)的選擇是粒子群算法進行多目標(biāo)優(yōu)化時的難點,既要進行多個目標(biāo)值之間的衡量,又要以滿足約束條件為必要前提,多重標(biāo)準(zhǔn)之下,gbest選擇會愈發(fā)困難.

結(jié)合目標(biāo)空間中區(qū)域自適應(yīng)劃分方法以及雙外部存儲集維護機制,提出了gbest選擇方法.自適應(yīng)區(qū)域劃分階段,從arc-1中位于“稀疏”區(qū)域(粒子個數(shù)少的區(qū)域)的粒子中,隨機選取gbest,若兩個區(qū)域粒子個數(shù)相同,則隨機選擇一個區(qū)域進行上述操作.為了加強多樣性,對于arc-1中不存在粒子的區(qū)域,隨機選擇相鄰區(qū)域中粒子為gbest引導(dǎo)種群更新.若不存在最優(yōu)可行解,即Narc-1=0,則arc-2中約束值最小的粒子被選作gbest.

3.2.5 RD-CMOPSO偽代碼

RD-CMOPSO偽代碼見表1.其中,n為迭代次數(shù),in-為初始化粒子位置,v為粒子速度.

表1 RD-CMOPSO偽代碼Table 1 RD-CMOPSO pseudocode

4 實驗測試

4.1 測試函數(shù)

為了驗證算法的可行性和有效性,使用文獻[17]所提出的CTP系列基準(zhǔn)測試函數(shù)集對提出的RDCMOPSO算法來進行測試.這些測試函數(shù)均為兩目標(biāo)并且約束涉及非線性不等式,能夠從不同的角度對約束優(yōu)化算法進行評估.CTP系列測試問題具有決策變量的維度可變,約束優(yōu)化的最優(yōu)PF為不連續(xù)、離散線段、離散點,解分布具有欺騙性,極易陷入局部最優(yōu)等特點.

4.2 性能指標(biāo)

為探究各多目標(biāo)約束算法的性能,本文采用兩種性能度量指標(biāo)來衡量解的質(zhì)量.第1個度量指標(biāo)為反向世代距離[18](inverted generational distance,IGD),該指標(biāo)計算真實PF到求得PF的平均距離,綜合反映了多樣性和收斂性,IGD值越小,解集質(zhì)量越好.

第2個度量指標(biāo)為超體積指標(biāo)[18](hypervolume metric,HV),該指標(biāo)計算給定參考點與求得PF所圍成的體積,HV值越高,所獲解集越靠近真實PF.

4.3 對比算法及參數(shù)設(shè)置

本文選取兩類約束多目標(biāo)優(yōu)化算法來求解CTP標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)問題.第1類為經(jīng)典的約束優(yōu)化算法:Deb等[7]提出的以約束占優(yōu)準(zhǔn)則為約束處理技術(shù)的NSGA-II算法,Woldesenbet等[20]將改進的適應(yīng)度函數(shù)與Pareto支配相結(jié)合提出的MCMOEA算法.鑒于RDCMOPSO以粒子群算法為搜索機制,第三種比較算法為Ceollo和pulido[21]提出的基于網(wǎng)格劃分和約束支配法則的CMOPSO算法.

第2類比較算法為較新的約束優(yōu)化算法:王珊珊等[22]以Pareto支配和ε約束支配相結(jié)合為約束處理方法,提出的基于雙外部存儲集機制的動態(tài)約束多目標(biāo)骨干粒子群(cBBMOPSO)算法.Nshimirimana等[23]以懲罰函數(shù)法為約束處理機制,提出的無需粒子群參數(shù)調(diào)節(jié)的NF-MOPSO算法.畢曉君等[12]以自適應(yīng)ε截斷策略為約束處理技術(shù)提出的約束多目標(biāo)優(yōu)化(ε-ATS)算法.

對比算法的參數(shù)設(shè)置參考原始文獻,調(diào)至最佳效果.RD-CMOPSO算法在CTP1-CTP3測試函數(shù)中學(xué)習(xí)因子c1=0.8,c2=1.2,慣性權(quán)重ω=0.75.在測試函數(shù)CTP4,CTP5中,學(xué)習(xí)因子c1=0.9,c2=1.1,慣性權(quán)重ω=0.60.在測試函數(shù)CTP6,CTP7中,學(xué)習(xí)因子c1=0.95,c2=1.05,慣性權(quán)重ω=0.50.arc1和arc_2最大規(guī)模均為100.

4.4 實驗結(jié)果及分析

應(yīng)用RD-CMOPSO求解CTP1-CTP7測試函數(shù)問題得到的近似PF,如圖2所示.

圖2 RD-CMOPSO在CTP測試函數(shù)集中獲得的PFFig.2 PF obtained by RD-CMOPSO on CTP

為公平起見,對比算法的初始化狀態(tài)相同,種群規(guī)模均為100,最大的迭代次數(shù)均為500次.表2和表3分別給出了獨立運行30次后,7種算法在7個測試函數(shù)上IGD和HV兩個指標(biāo)的均值(Mean)和標(biāo)準(zhǔn)差(Std).7種算法中最好的結(jié)果用黑體標(biāo)出.

從表2可以看出,對于CTP函數(shù)測試集中的7個約束問題,RD-CMOPSO和其他6種算法的仿真結(jié)果相比,全部獲得了最優(yōu)均值,這說明本文的算法求得的最優(yōu)解集分布更加均勻,能夠在保證收斂性的同時具有良好的多樣性.在標(biāo)準(zhǔn)差的比較中不難發(fā)現(xiàn),所提出的算法具有一定的優(yōu)勢,說明區(qū)域劃分策略與約束支配準(zhǔn)則結(jié)合的約束處理技術(shù),能夠獲得較穩(wěn)定的優(yōu)化效果.

表2 RD-CMOPSO與6種算法IGD指標(biāo)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差比較Table 2 Comparison of Mean and Std of IGD between RD-CMOPSO and six algorithms

表3中HV指標(biāo)綜合反映了算法的性能,本文算法獲得均值和標(biāo)準(zhǔn)差均優(yōu)于其他6種算法,這表明無論最優(yōu)PF為連續(xù)線段、離散線段還是離散點,算法所求得的最優(yōu)解集更加接近真實PF,有效避免了算法陷入局部最優(yōu),展現(xiàn)了較好的全局開發(fā)和局部搜索性能.因此,RD-CMOPSO能夠獲得良好的約束優(yōu)化效果,具有一定的競爭力,是處理約束多目標(biāo)優(yōu)化問題的一種可行方法.

表3 RD-CMOPSO與6種算法HV指標(biāo)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差比較Table 3 Comparison of Mean and Std of HV between RD-CMOPSO and six algorithms

5 RD-CMOPSO在燒結(jié)配礦中的應(yīng)用

5.1 燒結(jié)原料基本信息

應(yīng)用某鋼廠的燒結(jié)配料實例(與青鋼一燒對應(yīng)4號高爐燒結(jié)原料相同)中的原料信息進行配礦優(yōu)化.燒結(jié)礦的原料為鐵礦粉(混勻礦、塞拉利昂),燃料(煤粉、焦粉),熔劑(生石灰粉、輕燒白云石).

根據(jù)第2.2節(jié)建立的燒結(jié)配礦模型,以混勻料的成本和鐵含量為優(yōu)化目標(biāo),應(yīng)用RD-CMOPSO進行燒結(jié)配礦優(yōu)化.通過優(yōu)化礦粉A、礦粉B、焦粉、煤粉、生石灰粉、輕燒白云石的配比,使得混勻料的成本最低、同時鐵含量相對較高.

5.1.1 燒結(jié)原料配比要求

燒結(jié)過程中,各原料配比要求如表4中2-7列所示.其中,礦粉的百分比指某種礦粉占礦粉總質(zhì)量的百分比,燃料和熔劑的百分比指燃料和熔劑占原料總質(zhì)量的百分比.

表4 燒結(jié)原料配比及化學(xué)成分限制Table 4 Limitation of sintering raw materials proportion and chemical composition

5.1.2 燒結(jié)成分約束

傳統(tǒng)的鋼鐵生產(chǎn)中,根據(jù)現(xiàn)有各種配礦原料和輔料的實際情況,從積累的配礦方案中進行挑選,當(dāng)配料成分變化頻繁或者具有特殊的成分要求時,僅依賴人工經(jīng)驗很難快速準(zhǔn)確地計算出合理的原料配比.表4中8～14列給出了鋼鐵企業(yè)實際生產(chǎn)中燒結(jié)礦成分的質(zhì)量指標(biāo),堿度的限制條件由式(8)給出.

為了保證高爐進料質(zhì)量,除了需要根據(jù)實際供應(yīng)能力對原料的配比進行調(diào)整之外,還需要確保各重要化學(xué)成分符合生產(chǎn)要求,必須將其控制在嚴(yán)苛的范圍之內(nèi),否則容易導(dǎo)致降低燒結(jié)礦的整體質(zhì)量,甚至影響最終鐵水的品質(zhì).

5.2 應(yīng)用效果及分析

將RD-CMOPSO與NSGA-II,CMOPSO,MCMOEA,cBBMOPSO,ε-ATS,NF-MOPSO分別應(yīng)用于燒結(jié)配礦過程中進行約束優(yōu)化,得出以下配比方案,如表5所示.可以發(fā)現(xiàn),7種算法均能夠獲得符合配比要求的方案.

表5 燒結(jié)配料優(yōu)化核算配比結(jié)果Table 5 Accounting result of sintering proportioning optimization

將配礦方案應(yīng)用于模型中,得到燒結(jié)配料優(yōu)化核算結(jié)果見表6.

表6中,第2-9列得出了各算法求得的配比方案得到的各成分含量百分比,第10列是配料成本.可以發(fā)現(xiàn),隨著混勻料的成本的降低,鐵含量會受到一定程度的影響,以成本和鐵含量為優(yōu)化目標(biāo)時,按照7種算法求取的配比方案進行配料,各成分含量均能夠滿足成分約束條件.RD-CMOPSO與6種對比算法得到的優(yōu)化結(jié)果相比較,能夠獲得更低的成本.在滿足各項約束條件的前提下,RD-CMOPSO與NSGA-II,CMOPSO,MCMOEA,cBBMOPSO,ε-ATS,NF-MOPSO相比,每噸能夠降低配料成本5.6488元、4.9161元、3.9800元、3.2605元、2.4844元、2.3708元.

表6 燒結(jié)配料優(yōu)化結(jié)果Table 6 Sintering proportioning optimization results

上述算法在某鋼廠230 m2燒結(jié)機上進行應(yīng)用,相比于優(yōu)化前,每噸可節(jié)約成本0.86元(扣除燒結(jié)過程中物料化學(xué)成分偏析、設(shè)備損耗對理論計算的影響),按照2019年燒結(jié)總產(chǎn)量632.52萬噸進行計算,為企業(yè)減少投入543.97萬元.生產(chǎn)應(yīng)用結(jié)果表明,本文提出的算法應(yīng)用于燒結(jié)配礦過程中,降低了成本,提高了經(jīng)濟效益.

6 結(jié)論

本文提出了一種基于區(qū)域劃分的約束多目標(biāo)粒子群算法,將角度區(qū)域劃分策略引入約束評估準(zhǔn)則,提取不可行解信息,另外,雙外部存儲集的建立,保留了部分局部最優(yōu)解,維護了種群多樣性.實驗測試結(jié)果表明,該算法能夠獲得分布均勻的帕累托前沿,展示了良好的多樣性.結(jié)合鐵礦石原料配比、化學(xué)成分含量約束多等特點,在進行燒結(jié)配料優(yōu)化時,考慮了水分和燒損所帶來的影響,使優(yōu)化配置方案更好服務(wù)于實際生產(chǎn)活動.優(yōu)化結(jié)果顯示,在滿足目標(biāo)約束和決策約束條件下,提出的算法能夠兼顧成本以及全鐵含量兩個目標(biāo)值,獲得良好的優(yōu)化結(jié)果,有效地解決了鋼鐵冶煉過程中燒結(jié)配料優(yōu)化問題,有利于經(jīng)濟效益的提高.