吳朝俊 ,張 琦 ,楊寧寧 ,祁永偉

(1.西安工程大學(xué) 電子信息學(xué)院,陜西 西安 710048;2.西安理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院,陜西 西安 710048)

憶阻器的概念在1971 年被蔡少棠教授首次提出[1],之后在2008 年,HP 實驗室首次在物理層面上實現(xiàn)了憶阻器。自此,對于憶阻器的理論研究引起了學(xué)者們的強烈關(guān)注[2-3]。憶阻器具有獨特的記憶功能,被廣泛應(yīng)用于存儲器、模擬電路和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中。另外,憶阻器作為一種非線性電路元件,很容易與非線性振蕩電路相結(jié)合,構(gòu)建出基于憶阻器的混沌振蕩電路。然而,DCDC 變換器作為一種強非線性系統(tǒng),具有極其豐富的非線性動力學(xué)行為。變換器系統(tǒng)參數(shù)的選取會導(dǎo)致其產(chǎn)生一些不可預(yù)測的現(xiàn)象,比如周期性運動、混沌等[4-8]。電路參數(shù)一旦發(fā)生變化,系統(tǒng)可能從穩(wěn)定運行狀態(tài)進入混沌狀態(tài),進而導(dǎo)致系統(tǒng)無法運行甚至發(fā)生故障。因此,避免DC-DC 變換器中出現(xiàn)混沌現(xiàn)象,提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性及可靠性在其設(shè)計中顯得尤為重要。值得注意的是變換器的負載可以是電阻器、電動機或直流電壓源,不同的負載對變換器的動態(tài)特性影響不同[9]。因此,將憶阻器作為負載引入到DC-DC 變換器中,研究憶阻負載對DC-DC 變換器動態(tài)特性的影響,可以為未來憶阻器與電力電子的結(jié)合提供一些理論參考。

目前,利用憶阻器替代DC-DC 變換器中的阻性負載進而形成憶阻DC-DC 變換器系統(tǒng)的研究主要集中于電感電流連續(xù)的情況。例如Zhang 等[10]將憶阻器與Boost 轉(zhuǎn)換器組合在一起,研究了憶阻Boost 轉(zhuǎn)換器的分叉行為,發(fā)現(xiàn)當(dāng)脈沖周期T變化時,變換器會以電流連續(xù)或者電流斷續(xù)的方式工作。Liu 等[11]研究了具有憶阻負載的壓控H 橋逆變器的慢速不穩(wěn)定性(中頻振蕩),并且發(fā)現(xiàn)這種不穩(wěn)定性是由于發(fā)生Hopf 分岔而出現(xiàn)的。Bao 等[12]提出了一種峰值電流模式(PCM)的憶阻Buck-Boost 變換器,并通過數(shù)值和電路仿真研究了憶阻負載對Buck-Boost 轉(zhuǎn)換器的動態(tài)影響,其研究結(jié)果表明所提出的憶阻Buck-Boost 變換器的穩(wěn)定工作區(qū)域更寬,系統(tǒng)參數(shù)的選擇范圍更廣。周曉龍等[13]利用壓控憶阻器作為負載,與傳統(tǒng)的電流型Cuk 變換器結(jié)合,形成了一種新穎的非線性切換電路,發(fā)現(xiàn)與常規(guī)負載相比,憶阻負載的引入使變換器具有更寬的穩(wěn)定工作區(qū)域。目前,盡管具有憶阻負載的DC-DC 變換器的動力學(xué)特性逐漸被深入研究,然而卻忽略了系統(tǒng)階次對憶阻DC-DC 變換器動態(tài)特性的影響。上述文獻對憶阻DC-DC 變換器的研究完全是整數(shù)階系統(tǒng),尚未被推廣到分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)。

分?jǐn)?shù)微積分理論已經(jīng)提出了300 多年,其在DCDC 變換器的數(shù)學(xué)模型建立中發(fā)揮著重要的作用[14-15]。研究表明,分?jǐn)?shù)階模型描述實際系統(tǒng)的特征更為準(zhǔn)確[16]。鑒于此,本文將一種有源壓控憶阻器作為負載與Buck-Boost 變換器相結(jié)合,并將其推廣到了分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)。之后利用MATLAB 及PSIM 軟件對系統(tǒng)做了數(shù)值與電路仿真,分析了分?jǐn)?shù)階憶阻變換器系統(tǒng)的分岔與混沌。結(jié)果表明,分?jǐn)?shù)階憶阻Buck-Boost 呈現(xiàn)了豐富的動力學(xué)行為,且分?jǐn)?shù)階變換器系統(tǒng)與整數(shù)階相比,穩(wěn)定工作區(qū)域更寬。

1 分?jǐn)?shù)階微積分概述

分?jǐn)?shù)階微積分的基本運算符m定義為:

式中:α為分?jǐn)?shù)階微積分的階次;t為自變量,m為該變量的下邊界;τ為時間變量。Caputo 定義的f(t)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)如下:

式中:f(t)是關(guān)于時間t的連續(xù)性函數(shù);n∈N,是不小于α的最小整數(shù);Γ(·)為伽馬函數(shù),是一個通過收斂的不定積分定義的關(guān)于變量x的函數(shù),其表達式如下:

式中,e-t是關(guān)于時間t的指數(shù)函數(shù)。在理想條件下,當(dāng)α無限接近n時,Caputo 導(dǎo)數(shù)就成為了函數(shù)f(t)的常規(guī)n階導(dǎo)數(shù)。

α階Caputo 微分算子的Laplace 變換為:

本文分析系統(tǒng)初值為零時的情況,所以Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Laplace 變換能夠簡化為:

2 憶阻器與憶阻Buck-Boost 變換器的分?jǐn)?shù)階建模

2.1 憶阻器的分?jǐn)?shù)階模型

本文Buck-Boost 變換器的憶阻負載通過一個有源壓控憶阻器實現(xiàn),如圖1 所示。

圖1 憶阻器等效電路(a)及其模型(b)Fig.1 (a) Memristor equivalent circuit and (b) its model

憶阻器的微分方程為:

式中:Vm為激勵電壓;im為輸入電流;g為增益g1和g2的乘積;vn為積分電容Co兩端的電壓。憶阻器的內(nèi)部函數(shù)可寫為:

根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分理論,憶阻器中的電容Co能夠推廣到分?jǐn)?shù)階的形式。因此,用分?jǐn)?shù)階電容(其中q為分?jǐn)?shù)階的階次)來代替憶阻器中的整數(shù)階電容Co,構(gòu)成基于分?jǐn)?shù)階電容器的憶阻電路模型,如圖2 所示。

圖2 分?jǐn)?shù)階憶阻器等效電路(a)及其模型(b)Fig.2 (a) The equivalent circuit of fractional-order memristor and (b) its model

由此,分?jǐn)?shù)階憶阻器的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型為:

該分?jǐn)?shù)階憶阻器的各元件參數(shù)取值如下:Ra=Rb=6000 Ω,Rc=80 Ω,Co=7×10-9F,g=0.05。在拉普拉斯域中,傳遞函數(shù)F(s)=1/sq可以用來表示階次為q的分?jǐn)?shù)階積分算子。采用Oustaloup 所提出的方法獲得分?jǐn)?shù)階積分算子的近似傳遞函數(shù)[17]。當(dāng)階次q取值為0.9 時,獲得分?jǐn)?shù)階積分器的近似傳遞函數(shù)為:

復(fù)頻域中分?jǐn)?shù)階電容的等效電路表達式為:

利用圖3 中等效單元電路來實現(xiàn)憶阻器模型中的分?jǐn)?shù)階電容。表1 和表2 分別給出了分?jǐn)?shù)階電容階次q=0.9 時,等效單元電路中電阻以及電容的計算值。

表2 分?jǐn)?shù)階電容等效單元電路中電容的計算值Tab.2 Calculated value of capacitance in equivalent cell circuit of fractional-order capacitor μF

表2 分?jǐn)?shù)階電容等效單元電路中電容的計算值Tab.2 Calculated value of capacitance in equivalent cell circuit of fractional-order capacitor μF

圖3 分?jǐn)?shù)階電容的等效單元電路Fig.3 Equivalent unit circuit of fractional capacitor

表1 分?jǐn)?shù)階電容等效單元電路中電阻的計算值Tab.1 Calculated value of resistance in equivalent cell circuit of fractional-order capacitor Ω

表1 分?jǐn)?shù)階電容等效單元電路中電阻的計算值Tab.1 Calculated value of resistance in equivalent cell circuit of fractional-order capacitor Ω

利用MATLAB 對憶阻器的數(shù)學(xué)模型進行仿真,驗證所提出的分?jǐn)?shù)階憶阻器是否滿足憶阻元件的三個基本特性。給定正弦輸入電壓Vm=Asin(2πf),其中A為激勵電壓振幅,f為激勵頻率。當(dāng)幅值A(chǔ)=12 V,階次q為0.9,激勵頻率分別為24,28,32 kHz 時,分?jǐn)?shù)階憶阻器的Vm-im曲線如圖4 所示。由圖4 可知,分?jǐn)?shù)階憶阻器的Vm-im曲線表現(xiàn)為一個在原點收縮的緊遲滯回線。頻率增大,緊遲滯回線的面積隨之減小。此外,激勵頻率趨于無限大時,緊遲滯回線更接近于單值函數(shù),從而證明了所提出的分?jǐn)?shù)階憶阻器滿足憶阻的基本特性。

圖4 q=0.9 時隨頻率變化的緊遲滯回線Fig.4 Tight hysteresis loop varying with frequency whenq=0.9

圖5 給出了頻率與階次固定,分?jǐn)?shù)階憶阻器的緊遲滯回線隨著輸入電壓幅值的變化規(guī)律。由圖5 可知,隨著輸入電壓幅值的增大,緊遲滯回線的面積相應(yīng)地增大,但其形狀并不發(fā)生改變。

圖5 固定f=24 kHz,q=0.9,不同輸入電壓幅值下的緊遲滯回線Fig.5 Fixedf=24 kHz,q=0.9,tight hysteresis loop under different input voltage amplitudes

2.2 憶阻Buck-Boost 變換器的分?jǐn)?shù)階建模

將Buck-Boost 變換器中的純電阻負載替換成分?jǐn)?shù)階憶阻器,根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分理論,將Buck-Boost 變換器中電感以及電容擴展為分?jǐn)?shù)階的形式,這樣就得到了分?jǐn)?shù)階憶阻Buck-Boost 變換器的電路模型。圖6給出了電流模式控制下系統(tǒng)的原理圖。

圖6 分?jǐn)?shù)階憶阻器Buck-Boost 變換器原理圖Fig.6 Schematic diagram of fractional-order memristor Buck-Boost converter

系統(tǒng)在電流斷續(xù)模式下工作時:

(1)狀態(tài)1:開關(guān)S 閉合,二極管D 截止,狀態(tài)方程為

(2)狀態(tài)2:開關(guān)S 斷開,二極管D 導(dǎo)通,狀態(tài)方程為

(3)狀態(tài)3:開關(guān)S 斷開,二極管D 截止,狀態(tài)方程為

其中憶阻器兩端的電壓Vm=-vc。同樣在復(fù)頻域中,分?jǐn)?shù)階憶阻Buck-Boost 中的分?jǐn)?shù)階電感Lq的電路表達式為

分?jǐn)?shù)階電感Lq可以由圖7 所示的RL 鏈?zhǔn)诫娐穪淼刃?分?jǐn)?shù)階電容Cq與實現(xiàn)分?jǐn)?shù)階憶阻器中的電容方法一致。在整個系統(tǒng)中,電路參數(shù)設(shè)置為E=8 V,L=0.08 mH,C=45 μF,分?jǐn)?shù)階憶阻器的參數(shù)保持不變。另外將整個系統(tǒng)的階次q設(shè)置為0.9,由此可以計算出分?jǐn)?shù)階電感Lq的等效電阻以及電容的計算值,分別見表3 和表4,在表5 和表6 中分別給出了分?jǐn)?shù)階電容Cq的等效電阻以及電容的計算值。

圖7 分?jǐn)?shù)階電感的等效鏈?zhǔn)诫娐稦ig.7 Equivalent chain circuit of fractional inductor

表3 0.9 階電感Lq的等效電路的電阻參數(shù)Tab.3 The resistance parameters of equivalent circuit of 0.9-order inductanceLq Ω

表4 0.9 階電感Lq的等效電路的電感參數(shù)Tab.4 The inductance parameters of the equivalent circuit of the 0.9-order inductanceLq mH

表5 0.9 階電容Cq的等效電路的電阻參數(shù)Tab.5 The resistance parameters of equivalent circuit of 0.9-order capacitorCq Ω

表6 0.9 階電容Cq的等效電路的電容參數(shù)Tab.6 The capacitance parameters of equivalent circuit of 0.9-order capacitorCq μF

3 分?jǐn)?shù)階憶阻Buck-Boost 變換器的仿真研究和動力學(xué)行為分析

基于式(12)～(14)給出的數(shù)學(xué)模型,選擇參考電流Iref作為分岔參數(shù),通過MATLAB 繪制了電感電流iL隨Iref變化的分岔圖,如圖8 所示。從圖8 可以看出,參考電流Iref的大小直接影響整個系統(tǒng)的運行性能。在Iref=10.5 A 時,iL由周期1 狀態(tài)進入周期2 狀態(tài)。隨著Iref的繼續(xù)增大,當(dāng)Iref=22.52 A 時,iL由周期2 狀態(tài)進入到周期4 狀態(tài)的分岔。另外,這種分?jǐn)?shù)階憶阻Buck-Boost 變換器系統(tǒng)的周期分岔與電感電流連續(xù)時的周期分岔有所不同。分岔圖反映出,當(dāng)Iref>10.5 A 時,系統(tǒng)電感電流并不是完全工作在電感電流斷續(xù)的狀態(tài),而是在某些時鐘周期內(nèi)存在電流不連續(xù)的現(xiàn)象。圖9 給出了局部放大的分岔圖。由圖9 可知,當(dāng)24 A

圖8 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)以參考電流Iref為參數(shù)的分岔圖Fig.8 The bifurcation diagram of the fractional-order system with reference currentIref as the parameter

圖9 分岔圖的局部放大Fig.9 Partial enlargement of bifurcation diagram

另外,當(dāng)階次q=1 時,即整數(shù)階憶阻變換器。同樣以參考電流作為分岔參數(shù),繪制出整數(shù)階憶阻變換器系統(tǒng)電感電流隨參考電流變化的分岔圖,如圖10 所示。整數(shù)階系統(tǒng)分岔圖反應(yīng)出,當(dāng)Iref>2.9 A 時,系統(tǒng)由周期1 狀態(tài)開始進入分岔;當(dāng)Iref>6.2 A 時,系統(tǒng)開始進入周期4 狀態(tài),接著隨著參考電流的增大,系統(tǒng)進入混沌態(tài),同樣在混沌態(tài)之間也存在著周期窗口。分?jǐn)?shù)階憶阻變換器系統(tǒng)與整數(shù)階系統(tǒng)相比,穩(wěn)定工作區(qū)域更寬泛,參考電流值的選取范圍更大。圖11 給出了參考電流分別為8,13 和24 A 時,基于MATLAB數(shù)值仿真得到的不同周期下的電感電流的時域圖。不同周期下的相圖如圖12 所示。

圖10 整數(shù)階系統(tǒng)以參考電流Iref為參數(shù)分岔圖Fig.10 The bifurcation diagram of integer-order system with reference currentIref as the parameter

圖11 基于MATLAB 數(shù)值仿真下不同周期時的時域圖。(a)Iref=8 A 時周期1 狀態(tài)下的時域圖;(b)Iref=13 A 時周期2 狀態(tài)下的時域圖;(c)Iref=24 A 時周期4 狀態(tài)的相圖Fig.11 The time domain diagrams of different cycles based on MATLAB numerical simulation.(a) The time domain diagram of cycle 1 state whenIref=8 A;(b) The time domain diagram of cycle 2 state whenIref=13 A;(c) The time domain diagram of cycle 4 state whenIref=24 A

圖12 基于MATLAB 數(shù)值仿真下不同周期時的相圖。(a)Iref=8 A 時周期1 狀態(tài)的相圖;(b)Iref=13 A 時周期2 狀態(tài)的相圖;(c)Iref=24 A 時周期4 狀態(tài)的相圖Fig.12 The phase diagrams of different cycles based on MATLAB numerical simulation.(a) The phase diagram of cycle 1 state whenIref=8 A;(b) The phase diagram of cycle 2 state whenIref=13 A;(c) The phase diagram of cycle 4 state whenIref=24 A

4 系統(tǒng)電路仿真

利用PSIM 軟件對分?jǐn)?shù)階憶阻Buck-Boost 變換器進行電路仿真驗證,電路參數(shù)設(shè)置與數(shù)值仿真參數(shù)相同,分?jǐn)?shù)階電容及電感采用RC 及RL 等效電路,其值在表3～6 已經(jīng)給出。基于PSIM 軟件的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)電路仿真如圖13 所示。圖14 給出了分?jǐn)?shù)階電路系統(tǒng)參考電流分別為8,13 和24 A 時的相圖,變換器相應(yīng)地工作在周期1 狀態(tài)、周期2 狀態(tài)及周期4 狀態(tài),與理論分析相吻合,進一步驗證了理論分析的正確性。

圖13 基于PSIM 軟件的分?jǐn)?shù)階憶阻Buck-Boost 變換器電路仿真圖Fig.13 The circuit simulation diagram of fractional memristive Buck-Boost converter based on PSIM software

圖14 基于PSIM 下不同參考電流的相圖。(a)Iref=8 A 時周期1 狀態(tài)的相圖;(b)Iref=13 A 時周期2 狀態(tài)的相圖;(c)Iref=24 A 時周期4 狀態(tài)的相圖Fig.14 The phase diagram of different reference currents based on PSIM.(a) The phase diagram of cycle 1 state whenIref=8 A;(b) The phase diagram of cycle 2 state whenIref=13 A;(c) The phase diagram of cycle 4 state whenIref=24 A

5 結(jié)論

本文將憶阻器作為負載電阻與Buck-Boost 變換器構(gòu)成憶阻Buck-Boost 系統(tǒng),并將系統(tǒng)中整數(shù)階電容及電感擴展為分?jǐn)?shù)階電容及電感,以此來描述實際電容及電感的電氣特性。通過數(shù)值仿真得到的分岔圖及相圖表明,分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)工作在電感電流斷續(xù)模式下時,系統(tǒng)的分岔圖與光滑系統(tǒng)存在極大的差別。另外,隨著分岔參數(shù)的增大,分?jǐn)?shù)階電路系統(tǒng)并不是經(jīng)過倍周期到達混沌態(tài),而是由周期態(tài)直接進入混沌態(tài)。另外,與整數(shù)階憶阻變換器系統(tǒng)相比,分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)具有更寬的穩(wěn)定工作區(qū)域,參數(shù)的選取范圍更大。最后,在PSIM 中通過采用等效電路的方法實現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階電容和電感的搭建,完成分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)仿真,電路仿真獲得的結(jié)果與分?jǐn)?shù)階憶阻Buck-Boost 變換器理論分析及數(shù)值仿真結(jié)果一致。本文所做的研究為分?jǐn)?shù)階器件在未來的工程應(yīng)用中提供參考,同時也為從事憶阻器和DCDC 變換器分?jǐn)?shù)階建模的學(xué)者提供一定的理論依據(jù)。