王 磊, 姚星娜

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧 葫蘆島 125105; 2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 阜新 123000)

0 引言

為了使直覺模糊集(IFS)更加貼近實(shí)際決策問題， Guong[1]提出了Picture模糊集(PFS)概念，定義了隸屬度、中立度、非隸屬度和棄權(quán)度。PFS是IFS的一種有效擴(kuò)展，因此在多屬性決策領(lǐng)域受到了學(xué)者們廣泛關(guān)注?；赑FS，Son等[2]提出了一種新型模糊推理系統(tǒng)。為了刻畫區(qū)間值PFS間的差異，馬強(qiáng)[3]構(gòu)造了區(qū)間Picture模糊交叉熵。Son[4]利用PFS研究了圖像模糊聚類問題。Shahzaib等[5]提出了Picture模糊加權(quán)幾何聚合算子及廣義形式，并利用這些算子求解多屬性決策問題(MADM)。文獻(xiàn)[6,7]提出了一系列新的Picture模糊聚合算子，討論這些聚合算子的特征并應(yīng)用到MADM中。

VIKOR是一種基于理想解的折衷排序決策方法，首次由Opricovic[8]提出。通過和TOPSIS法[9]、ELECTRE法[10]以及PROMETHEE法[11]的對(duì)比，VIKOR方法具有更大的優(yōu)勢(shì)，即決策過程同時(shí)兼顧群體效用最大化和個(gè)體遺憾最小化，以及決策者的偏好。在理論和應(yīng)用方面，一些學(xué)者對(duì)經(jīng)典的VIKOR方法[8]進(jìn)行了拓展，尤筱玥等[12]構(gòu)建了供應(yīng)商企業(yè)社會(huì)責(zé)任評(píng)估的VIKOR決策模型。范建平等[13]根據(jù)參照系數(shù)的變動(dòng)，討論了VIKOR中不同標(biāo)準(zhǔn)對(duì)排序結(jié)果及最佳妥協(xié)解的影響。龔日朝和劉玥[14]提出了概率語(yǔ)言VIKOR多屬性決策方法，避免了聚合算子和TOPSIS法在決策機(jī)制上的缺點(diǎn)。Liang等[15]構(gòu)造了勾股模糊VIKOR決策方法，并研究了網(wǎng)絡(luò)銀行網(wǎng)站質(zhì)量評(píng)價(jià)問題。Liao和Xu[16]將VIKOR方法應(yīng)用到猶豫模糊集，研究了猶豫模糊MADM。

距離是多屬性決策方法研究中的一個(gè)核心問題，在Picture模糊環(huán)境下一些距離[1,17]已被提出。Dutta[17]指出在醫(yī)療診斷中，大多數(shù)情況下中立度在IFS中未被考慮，而PFS可以有效克服此不足，為此構(gòu)建了PFS間的一些距離測(cè)度，并應(yīng)用于醫(yī)療診斷。Guong[1]將IFS之間的Hamming距離和Euclidean距離拓展到了PFS上。

然而上述的距離[1,17]依然存在不足：

(1)文獻(xiàn)[1]中距離未考慮棄權(quán)度，因此存在信息缺失。雖然文獻(xiàn)[17]的距離考慮了猶豫度的影響，但某些情況下，也無法對(duì)備選方案進(jìn)行排序擇優(yōu)。

(2)兩種距離[1,17]將4個(gè)隸屬度都視為同等重要，未能反映決策者的心理偏好。而現(xiàn)實(shí)決策中，決策者往往對(duì)于贊同、中立、棄權(quán)和猶豫4個(gè)信息的傾向程度是不一樣的。

(3)由于PFS能夠反映出猶豫程度這個(gè)特點(diǎn)。因此，Picture模糊距離的構(gòu)造也應(yīng)該具有該特點(diǎn)。而文獻(xiàn)[1,17]中距離是固定的，故本文構(gòu)建一種含有參數(shù)的距離，可以在不同心態(tài)范圍內(nèi)變化，進(jìn)而所得到的排序結(jié)果也有所改變。

鑒于此，針對(duì)現(xiàn)有距離[1,17]的缺點(diǎn)，借鑒IFS距離[18]的思想，本文構(gòu)建了一種新的含有參數(shù)的Picture模糊距離，并將其與VIKOR法結(jié)合，提出新的Picture模糊VIKOR決策模型。最后，通過算例分析表明本文所提決策模型的有效性和優(yōu)點(diǎn)。

1 基本概念

1.1 Picture模糊集及相關(guān)概念

定義1[1]設(shè)Y為一個(gè)非空集合，則稱

P={(y,uP(y),ηP(y),vP(y),πP(y))|y∈Y}

(1)

為Picture模糊集(PFS)。其中uP(y),ηP(y),vP(y)∈[0,1]分別為隸屬度、中立度和非隸屬度，πP(y)=1-uP(y)-ηP(Y)-vP(Y)為棄權(quán)度，為方便稱為a=(y,ua(y),ηa(y),va(y),πa(y))Picture模糊數(shù)(PFN)，簡(jiǎn)記a=(ua,ηa,va,πa)。

Guong構(gòu)造了如下兩種PFS間的距離[1]。

定義2[1]設(shè)A={(yj,uA(yj),ηA(yj),vA(yj),πA(yj))|yj∈Y},B={(yj,uB(yj),ηB(yj),vB(yj),πB(yj))|yj∈Y}為兩個(gè)PFS，則

(1)Hamming距離:

ηB(yj)|+|vA(yj)-vB(yj)|)

(2)

(2)Euclidean距離:

(3)

Dutta[17]通過對(duì)IFS距離的擴(kuò)展，提出了另一種PFS間的距離。

定義3[17]稱

(4)

為PFS間的距離。其中A,B含義同定義2。

下面通過例1來說明文獻(xiàn)[1,17]中距離的不足。

例1令a=(0.34,0.12,0.24,0.3),β=(0.24,0.12,0.34,0.3),γ=(0.34,0.02,0.34,0.3)為三個(gè)PFNs，則文獻(xiàn)[1,17]計(jì)算距離結(jié)果如下：

Hamming距離[1]結(jié)果：d(a,β)=0.0667,d(a,γ)=0.0667。

Euclidean距離[1]結(jié)果：d(a,β)=0.0816,d(a,γ)=0.0816。

Dutta[17]提出距離結(jié)果：d(a,β)=0.1,d(a,γ)=0.1。

說明文獻(xiàn)[1,17]都無法對(duì)Picture模糊數(shù)a與β、a與γ進(jìn)行區(qū)分。下面構(gòu)造一種新的Picture模糊距離。

2 新的Picture模糊距離

例1運(yùn)算結(jié)果說明距離[1,17]存在不足。下面，本文提出新的距離來彌補(bǔ)該不足，且引入?yún)?shù)來反映決策者關(guān)于不同隸屬度的傾向程度，刻畫新距離的區(qū)分度高。

定義4稱如下表達(dá)式

(5)

定理1公式(5)為Picture模糊數(shù)間的距離。

注1非負(fù)性、對(duì)稱性和三角不等式為驗(yàn)證距離的充要條件[19,20]。模糊集之間距離[18～20]還要滿足一些其他特殊條件。

下面分析距離(5)中賦值不同時(shí)的含義。

情況1當(dāng)ρ1,ρ2,ρ4的取值均小于ρ3時(shí)，決策者表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)回避或者悲觀型，其中

(i)當(dāng)ρ1=0時(shí)，為強(qiáng)風(fēng)險(xiǎn)回避型或強(qiáng)悲觀型；

(ii)當(dāng)ρ2ρ4ρ1ρ3時(shí)，為弱風(fēng)險(xiǎn)回避型或弱悲觀型；

(iii)其余情況均為中風(fēng)險(xiǎn)回避型或中悲觀型。

情況2當(dāng)ρ2,ρ3,ρ4的取值均小于ρ1時(shí)，決策者表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)追求型或樂觀型，其中

(i)當(dāng)ρ3=0時(shí)，為強(qiáng)風(fēng)險(xiǎn)追求型或強(qiáng)樂觀型；

(ii)當(dāng)ρ2ρ4ρ3ρ1時(shí)，為弱風(fēng)險(xiǎn)追求型或弱樂觀型；

(iii)其余情況均為中風(fēng)險(xiǎn)追求型或中樂觀型。

情況3其余情況都表示決策者表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)中立或者平和型。

接下來，對(duì)ρi(i=1,2,3,4)作進(jìn)一步解釋：

(1)贊同、中立、反對(duì)的信息重要程度相同且兼顧棄權(quán)：ρ1=ρ2=ρ3=ρ,ρ4=1-3ρ；

(2)僅考慮贊同與反對(duì)信息的重要程度，不考慮中立與棄權(quán)：ρ1+ρ3=1,ρ4=ρ2=0；

(3)僅考慮贊同信息的重要程度，而不考慮反對(duì)：ρ1+ρ2+ρ4=1,ρ3=0；

(4)僅考慮反對(duì)信息的重要程度，而不考慮贊同：ρ2+ρ3+ρ4=1,ρ1=0。

新距離中參數(shù)ρi(i=1,2,3,4)的變化影響方案的排序結(jié)果，這也為決策者的選擇提供了彈性的空間，下面通過例2簡(jiǎn)要說明新距離的優(yōu)點(diǎn)。

例2仍采用例1的數(shù)據(jù)，本文新距離分別計(jì)算d(a,β),d(a,γ)結(jié)果如下：

(1)令ρ1:ρ2:ρ3:ρ4=1∶2∶3∶4。則d(a,β)=0.07,d(a,γ)=0.075。

(2)令ρ1:ρ2:ρ3:ρ4=4∶3∶2∶1。則d(a,β)=0.08,d(a,γ)=0.075。

由例1和例2結(jié)果反映出新距離具有可分性，說明了本文所提新距離的優(yōu)點(diǎn)： 4個(gè)信息的傾向程度不同，可以獲得不同的結(jié)果。

3 基于新距離的VIKOR多屬性決策方法

步驟1建立Picture模糊決策矩陣D=(dij)m×n，決策者以PFN的形式表達(dá)方案Ai關(guān)于屬性Zj的評(píng)價(jià)信息dij=(uij,ηij,vij,πij)。

步驟2確定正理想方案A+和負(fù)理想方案A-，其中

(6)

步驟3確定群體效益值Si和個(gè)體遺憾值Ri

(7)

(8)

步驟4利用Si和Ri確定備選方案Ai的折衷值Qi，其中

(9)

δ∈[0,1]表示決策機(jī)制系數(shù)，δ>0.5表示決策者采用大多數(shù)人的觀點(diǎn)，δ<0.5表示反對(duì)情況，δ=0.5而表示決策過程同時(shí)考慮群體效益和個(gè)體遺憾，本文選取δ=0.5。

步驟5計(jì)算妥協(xié)解，并對(duì)候選方案進(jìn)行排序：

(1)如果同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件，方案A(1)為最優(yōu)妥協(xié)解。其中Q(A(1))表示依據(jù)Qi排序，排序在第一位的方案(最小值)，Q(A(2))表示依據(jù)Qi排在第二位的方案。

條件2決策過程可接受的穩(wěn)定性，當(dāng)按照Si和Ri排序，A(1)依然排第一位時(shí)(排序中最小的)，滿足穩(wěn)定性要求。

(2)如果上述兩個(gè)條件其中一個(gè)不滿足，則獲得一組折衷解:

(a)若只有條件2不滿足，則A(1)和A(2)都為折衷解；

4 算例分析

例3某風(fēng)險(xiǎn)投資公司準(zhǔn)備對(duì)5個(gè)企業(yè)Ai(i=1,2,…,5)進(jìn)行投資，考慮如下3個(gè)指標(biāo)：經(jīng)濟(jì)效益Z1，未來前景Z2，環(huán)境污染Z3，相應(yīng)的權(quán)重為ω=(ω1,ω2,ω3)=(0.3,0.4,0.3)。決策者依據(jù)3個(gè)屬性對(duì)5個(gè)企業(yè)評(píng)估，評(píng)估矩陣D=(dij)5×3如表1所示。

表1 Picture模糊決策矩陣D

4.1 求解過程

步驟1決策矩陣見表1。

步驟2正、負(fù)理想方案結(jié)果如下：A+={(1,0,0,0),(1,0,0,0),(1,0,0,0)},A-={(0,0,1,0),(0,0,1,0),(0,0,1,0)}。

步驟3依據(jù)公式(7～8)獲得Si和Ri(令ρ1∶ρ2∶ρ4∶ρ3=1∶1∶1∶1) 的結(jié)果：Si={0.2457,0.3683,0.3577,0.386,0.35},Ri={0.104,0.1493,0.1627,0.16,0.152}。

步驟4由公式(9)計(jì)算備選方案的折衷值Qi結(jié)果如下:Qi={0,0.8213,0.8967,0.977,0.7775}。

4.2 有效性分析

下面采用文獻(xiàn)[1,17]的距離和本文新距離對(duì)最佳候選方案的確定進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見表2。

表2 不同距離下的排序結(jié)果

由表2可以看出本文距離與文獻(xiàn)[1,17]中的距離關(guān)于最佳候選方案的確定一致。說明本文決策方法是有效的。

4.3 優(yōu)點(diǎn)分析

在本節(jié)，分別將文獻(xiàn)[1,17]的距離和本文新距離與VIKOR方法結(jié)合處理決策問題，進(jìn)而體現(xiàn)本文新距離的優(yōu)點(diǎn)。

由方法[1,17]和本文方法(ρ1∶ρ2∶ρ3∶ρ4=1∶1∶1∶1∶)所得結(jié)果如表3所示。(限于篇幅，僅列出折衷解)

表3 4種距離下的折衷解

表3反映本文決策方法確定最佳方案為A1，而方法[1,17]未能對(duì)候選方案進(jìn)行擇優(yōu)。驗(yàn)證了本文決策方法優(yōu)于文獻(xiàn)[1,17]中的決策方法。

4.4 參數(shù)的靈敏度分析

為討論新距離中ρi(i=1,2,3,4)賦值不同對(duì)排序結(jié)果的影響，下面將分4種情況進(jìn)行分析。

(1)若贊同、中立、反對(duì)同等重要且考慮棄權(quán)時(shí)ρ1=ρ2=ρ3=ρ,ρ4=1-3ρ,候選方案結(jié)果如表4所示。

表4 情況(1)時(shí)不同ρ值下的折衷解

若決策者為風(fēng)險(xiǎn)中立型，則隨ρ1,ρ2,ρ3增大，而ρ4減小，最佳方案由A4變?yōu)锳1。

(2)若僅考慮贊同和反對(duì)信息的重要程度，而不考慮中立與棄權(quán)時(shí)ρ1+ρ3=1,ρ2=ρ4=0，候選方案結(jié)果如表5所示。

表5 情況(2)時(shí)不同ρ值下的折衷解

表5反映當(dāng)決策者表現(xiàn)為：弱風(fēng)險(xiǎn)回避型轉(zhuǎn)變?yōu)槿躏L(fēng)險(xiǎn)追求型時(shí)，最佳候選方案均為A1

(3)若僅考慮贊同信息的重要程度，而不考慮反對(duì)信息時(shí)ρ1+ρ2+ρ4=1,ρ3=0。

(a)若固定ρ1而改變?chǔ)?,ρ4值時(shí)，候選方案結(jié)果見表6。

表6 情況(3)-(a)時(shí)不同ρ值下的折衷解

當(dāng)決策者表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)中立型時(shí)，固定ρ1，隨ρ2的增大而ρ4減小，最佳候選方案A4由變?yōu)锳1。

(b)若固定ρ2，改變?chǔ)?,ρ4的值，即決策者表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)中立型轉(zhuǎn)變?yōu)閺?qiáng)風(fēng)險(xiǎn)追求型時(shí)，若固定ρ2，隨ρ1增大而ρ4減小，最佳候選方案由A4逐漸變成A1。

(c)若固定ρ4，改變?chǔ)?,ρ2的值，即決策者表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)中立型轉(zhuǎn)變?yōu)閺?qiáng)風(fēng)險(xiǎn)追求型時(shí)，若固定ρ4，隨ρ1增大而ρ2減小，最佳候選方案由A1,A5變成A1。

(4)若僅考慮反對(duì)信息的重要程度，而不考慮贊同時(shí)ρ2+ρ3+ρ4=1,ρ1=0。

(a)若固定ρ2，改變?chǔ)?,ρ4的值，候選方案結(jié)果見表7。

表7 情況(4)-(a)時(shí)不同ρ值下的折衷解

當(dāng)決策者表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)中立型轉(zhuǎn)變?yōu)閺?qiáng)風(fēng)險(xiǎn)回避型時(shí)，固定ρ2，隨ρ3增大而ρ4減小，最佳候選方案由A1,A4轉(zhuǎn)變?yōu)锳1且保持穩(wěn)定。

(b)若固定ρ3，改變?chǔ)?,ρ4的值，即決策者表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)中立型，固定ρ3，隨ρ2增大而ρ4減小，最佳候選方案由A4變?yōu)锳1。

(c)固定若ρ4，改變?chǔ)?,ρ3的值，即決策者表現(xiàn)為強(qiáng)風(fēng)險(xiǎn)回避型轉(zhuǎn)變風(fēng)險(xiǎn)中立型時(shí)，固定ρ4，隨ρ2增大而ρ3減小，最佳候選方案始終為A1。

綜合分析表明：參數(shù)賦值的不同，使得信息的傾向程度發(fā)生變化，進(jìn)而影響決策結(jié)果。在靈敏度分析時(shí)，限于篇幅僅列舉了4種情況，實(shí)際上決策者可以根據(jù)不同的偏好對(duì)參數(shù)賦值，如ρ1,ρ2,ρ4的賦值均小于ρ3，決策者表現(xiàn)出風(fēng)險(xiǎn)回避型；若ρ2,ρ3,ρ4的賦值均小于ρ1，決策者表現(xiàn)出風(fēng)險(xiǎn)追求型；其余情況均表現(xiàn)出風(fēng)險(xiǎn)中立型。因此，決策者可以依據(jù)自身的偏好確定各個(gè)信息傾向程度，進(jìn)而獲得決策結(jié)果。

5 結(jié)論

與傳統(tǒng)的Picture模糊距離對(duì)比，本文所構(gòu)建的新距離不僅避免了信息的缺失，而且考慮了決策者的心理偏好。通過將新距離推廣到了VIKOR方法中提出了新的決策模型，并與文獻(xiàn)[1,17]的方法對(duì)比體現(xiàn)出本文決策模型的優(yōu)點(diǎn)是能夠體現(xiàn)決策者針對(duì)不同隸屬度的傾向性。靈敏度分析體現(xiàn)新決策模型的靈活性，即參數(shù)的不同賦值使得候選方案的擇優(yōu)也有所不同。對(duì)于參數(shù)值的確定決策者可以依據(jù)實(shí)際情況以及自身心理偏好，為決策者提供了靈活的選擇空間。