余 勇

(江蘇第二師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，江蘇 南京 211200)

通過狹義相對論的兩個(gè)基本假設(shè)，即相對性原理和光速不變原理可以推導(dǎo)出洛倫茲變換關(guān)系式. 作為狹義相對論最重要的關(guān)系式之一，有多種不同的方法推導(dǎo)洛倫茲變換關(guān)系[1-4]，但是這些推導(dǎo)除了利用相對性原理和光速不變原理外，通常會用到做相對運(yùn)動的兩參考系的愛因斯坦條件[1,5]，或者稱之為運(yùn)動的相對性條件，即如果慣性參考系S′以速度v相對慣性系S運(yùn)動，那么反過來，S系必然以速度-v相對S′運(yùn)動.很明顯，經(jīng)典的伽利略變換滿足運(yùn)動的相對性條件.但是在狹義相對論中，相對性原理指的是物理規(guī)律在所有的慣性參考系中都可以表示為相同的形式，并不包含愛因斯坦條件或運(yùn)動的相對性條件，因此運(yùn)動的相對性應(yīng)該是洛倫茲變換的推論，而不是洛倫茲變換關(guān)系的前提條件.

另一方面，電動力學(xué)教科書一般利用間隔不變性來推導(dǎo)洛倫茲變換[6,7]，但是光速不變原理與間隔不變性并沒有顯而易見的等價(jià)關(guān)系.事實(shí)上，電動力學(xué)教科書在論證間隔不變性時(shí)除了利用光速不變原理，也用到了運(yùn)動的相對性條件[6].本文給出了洛倫茲關(guān)系式的一種簡潔推導(dǎo)，一方面證明了通過相對性原理和光速不變原理可以推導(dǎo)出運(yùn)動的相對性條件和洛倫茲變換關(guān)系，另一方面說明在相對性原理的假設(shè)下，光速不變原理、間隔不變性和洛倫茲變換關(guān)系三者是等價(jià)的.

1 二維時(shí)空洛倫茲變換與運(yùn)動相對性條件

根據(jù)狹義相對性原理，兩慣性參考系間坐標(biāo)的變換為線性關(guān)系[6-8].為了簡單起見，先考慮2維時(shí)空的情況.設(shè)慣性參考系S′以速度v相對慣性系S沿x軸正向運(yùn)動.令初始時(shí)刻兩坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，即t=t′=0時(shí)，x=x′=0，變換關(guān)系為

x′=a11x+a12t，t′=a21x+a22t

(1)

在S系看來，S′系相對S系以速度v沿x軸方向運(yùn)動.在S′系中任意時(shí)刻坐標(biāo)原點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(0,t′)，而在S系看來O′的坐標(biāo)為(vt,t).將其代入式(1)可得：0=a11vt+a12t，因此有

a12=-va11

(2)

下面根據(jù)光速不變原理推導(dǎo)系數(shù)a21、a22和a11的關(guān)系.首先，設(shè)S系的坐標(biāo)原點(diǎn)O在t=0時(shí)發(fā)出

一光束沿x軸正向傳播，即x=ct

(3)

根據(jù)光速不變原理，在S′系中，有x′=ct′

(4)

把式(1)、式(2)代入式(4)得

a11x-va11t=c(a21x+a22t)

(5)

把式(3)代入式(5)可得

a11(c-v)=c2a21+ca22

(6)

同理，若S系的坐標(biāo)原點(diǎn)O在t=0時(shí)發(fā)出沿x軸負(fù)向傳播的一束光，根據(jù)光速不變原理有：x=-ct和x′=-ct′.與上面推導(dǎo)過程類似可得

a11(-c-v)=c2a21-ca22

(7)

聯(lián)合式(6)和式(7)得

(8)

a22=a11

(9)

則式(1)改寫為

x′=a11(x-vt),

(10)

根據(jù)式(10)容易證明運(yùn)動的相對性條件.由式(10)得逆變換關(guān)系為

x=a11′(x′+vt′),

(11)

下面求系數(shù)a11.某一參考系中，在同一地點(diǎn)先后發(fā)生的兩事件的時(shí)間間隔稱為固有時(shí)[6].而在其他任意參考系中觀察到的這兩事件的時(shí)間間隔稱為普通時(shí).根據(jù)式(10)，有Δt′=a11Δt， (Δx=0)

(12)

其中，Δt為在S系中的固有時(shí).另外，根據(jù)式(11)有

(13)

a11=γ

(14)

把式(14)代入式(10)得洛倫茲變換公式：

(15)

2 四維洛倫茲變換、間隔不變性與光速不變原理的等價(jià)性

下面研究4維時(shí)空的洛倫茲變換公式.令

x′=γ(x-vt)，

y′=φ1y，

z′=φ2z，

(16)

設(shè)S′系中，在t′=0時(shí)刻坐標(biāo)原點(diǎn)O′發(fā)出一束沿y′軸傳播的光，在S系看來光路如圖1所示.根據(jù)光速

圖1 光路圖

不變原理有

c2Δt2=v2Δt2+Δy2,

cΔt′=Δy′

(17)

由于Δt′為固有時(shí)，有Δt=γΔt′，另外，根據(jù)式(16)有，Δy′=φ1Δy，分別代入式(17)可得：φ1=1.同理可得，φ2=1.于是有洛倫茲變換關(guān)系：

x′=γ(x-vt)，y′=y，z′=z，

(18)

上述推導(dǎo)洛倫茲變換關(guān)系的過程只利用了相對性原理和光速不變原理，反過來從洛倫茲變換可以得到兩慣性系間速度變換關(guān)系，從而也很容易證明光速不變原理[6]，因此在相對性原理假設(shè)下，光速不變原理與洛倫茲變換關(guān)系是等價(jià)的.前面的推導(dǎo)表明光速不變原理保證了運(yùn)動的相對性條件成立，因此根據(jù)文獻(xiàn)[6]的推導(dǎo)，也就證明了光速不變性與間隔不變性是等價(jià)的.同時(shí)還可以證明洛倫茲關(guān)系與間隔不變性也是等價(jià)的[9].因此，光速不變原理、洛倫茲變換關(guān)系和間隔不變性三者在物理上是等價(jià)的.

3 總結(jié)

綜上所述，通過相對性原理和光速不變原理不僅可以得到洛倫茲變換關(guān)系，從而保證運(yùn)動的相對性條件的成立，同時(shí)證明了在相對性原理的條件下，光速不變原理、間隔不變性和洛倫茲變換關(guān)系三者等價(jià).