曹一青,沈志娟

(1莆田學(xué)院機電與信息工程學(xué)院,福建 莆田 351100;2福建省激光精密加工工程技術(shù)研究中心,福建 莆田 351100)

0 引言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,空間光學(xué)領(lǐng)域?qū)δ繕?biāo)進(jìn)行探測和識別的要求越來越高,空間光學(xué)儀器逐步向高分辨率、小型化和輕量化等方向發(fā)展,給此類科學(xué)儀器中光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計帶來挑戰(zhàn)[1,2]。目前光學(xué)系統(tǒng)可以分為折射式、反射式和折反射式系統(tǒng)。相比于折射式和折反射式光學(xué)系統(tǒng),反射式光學(xué)系統(tǒng)具有無色差及二級光譜問題、光路可折轉(zhuǎn)、體積小和對溫度和氣壓變化不敏感等優(yōu)點,使得它在像質(zhì)優(yōu)良、輕量化、實現(xiàn)大口徑和多波段設(shè)計中具有明顯優(yōu)勢,因此此類系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于空間遙感技術(shù)、航天偵察和天文觀測等領(lǐng)域[3]。反射式光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)又可分為同軸和離軸兩類,同軸反射式結(jié)構(gòu)由于視場角較小,次鏡對主鏡中心存在遮攔導(dǎo)致光能利用效率降低,導(dǎo)致成像質(zhì)量下降等問題,使其應(yīng)用具有一定局限性;而離軸反射式結(jié)構(gòu)能避免同軸結(jié)構(gòu)帶來的上述問題,使得目前該種結(jié)構(gòu)的反射光學(xué)系統(tǒng)得到了廣泛應(yīng)用,研究人員對該類系統(tǒng)的設(shè)計方法進(jìn)行了不斷探索[4,5]。

根據(jù)光學(xué)系統(tǒng)中含有的反射鏡數(shù)量,它能分成離軸三反、四反和五反等。由于離軸五反光學(xué)系統(tǒng)鏡片數(shù)量多、成本高且安裝調(diào)整難度大,其在實際中很少應(yīng)用,目前研究基本上聚焦于離軸三反、四反系統(tǒng)。Cao等[6]應(yīng)用節(jié)點像差理論及遺傳算法得到較合適離軸三反系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu);Zhu等[7]提出了一種離軸三反光學(xué)系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)解析解求解方法,設(shè)計了一種具有矩形視場小F數(shù)的自由曲面離軸三反光學(xué)系統(tǒng);Liu等[8]以離軸三反光學(xué)系統(tǒng)為研究對象,推導(dǎo)了系統(tǒng)線性像散平衡條件,采用傾斜母鏡光軸的方法設(shè)計了一種大相對孔徑、大視場像散校正的斜軸離軸三反光學(xué)系統(tǒng);Huang等[9]基于矩陣光學(xué)理論構(gòu)建非線性方程組,對其求解從而得到滿足要求同軸四反光學(xué)系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu),然后不斷調(diào)整系統(tǒng)各反射鏡偏心和傾斜,并結(jié)合自由曲面來對它進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

離軸四反光學(xué)系統(tǒng)相比于三反系統(tǒng)具有更多設(shè)計自由度,像差平衡和校正能力強,同時隨著加工工藝和裝調(diào)技術(shù)不斷發(fā)展,使得此類系統(tǒng)應(yīng)用成為未來發(fā)展趨勢,其設(shè)計方面的相關(guān)問題是目前研究得難點和熱點,因此本文提出了一種離軸四反光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計方法。首先,基于同軸四反光學(xué)系統(tǒng)像差分析表達(dá)式推導(dǎo)了系統(tǒng)均方根波像差計算公式,并以此構(gòu)建系統(tǒng)成像質(zhì)量評價目標(biāo)函數(shù),利用自適應(yīng)變異概率遺傳算法對其進(jìn)行求解,得到較合適系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)參數(shù),再對系統(tǒng)進(jìn)行離軸處理,并引入非球面校正系統(tǒng)非對稱像差。基于上述方法設(shè)計了一種離軸四反光學(xué)系統(tǒng),證明本文所討論設(shè)計思路在此類離軸反射光學(xué)系統(tǒng)中具有一定的實際應(yīng)用潛力。

1 同軸四反射鏡光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計思路

在同軸結(jié)構(gòu)情況下,使系統(tǒng)中反射鏡偏心及傾斜就能得到離軸反射鏡系統(tǒng),達(dá)到消除同軸光學(xué)系統(tǒng)帶來的中心遮攔問題,并能有效校正和平衡系統(tǒng)像差。圖1為同軸四反光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及光路圖[10,11],該系統(tǒng)由主反射鏡M1、次反射鏡M2、第三反射鏡M3和第四反射鏡M4組成,光線依次經(jīng)過反射鏡M1、M2、M3和M4反射后到達(dá)像平面I上,并分別與其相交于O1、O2、O3、O4和O;di(i=1,2,3)為沿中心軸反射鏡Mi與Mi+1之間距離,d4為沿中心軸反射鏡M4與像平面之間的距離;li和分別為反射鏡Mi的物距和像距,hi為第一近軸光線在反射鏡Mi上的投射高度;另外,將反射鏡Mi定義為非球面且對應(yīng)的二次非球面系數(shù)為

圖1 同軸四反光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及光路圖Fig.1 Structure and optical scheme of a coaxial four-mirror reflective optical system

根據(jù)光學(xué)幾何關(guān)系,反射鏡Mi+1對M1的遮攔比αi和反射鏡Mi的放大率βi的計算表達(dá)式分別為

對于焦距為f′的無限遠(yuǎn)同軸四反光學(xué)系統(tǒng),光闌設(shè)定在反射鏡M1位置處,對其近軸光線進(jìn)行光線追跡,結(jié)合(1)式給出的遮攔比和放大率關(guān)系式,推導(dǎo)出反射鏡Mi的曲率半徑ri,以及兩反射鏡Mi與Mi+1之間距離di的計算表達(dá)式為

然后,基于賽德爾像差理論中的初級像差系數(shù)表達(dá)式,結(jié)合(1)、(2)式,得到關(guān)于遮攔比、放大率和二次非球面系數(shù)的同軸四反光學(xué)系統(tǒng)總的球差S1、彗差S2、像散S3和場曲S4的像差系數(shù)表達(dá)式,可分別表示為[12]

對于同軸反射鏡光學(xué)系統(tǒng),僅考慮初級像差時,該系統(tǒng)波像差計算表達(dá)式為[13]

式中:x,y為歸一化的光闌坐標(biāo);η為歸一化的物面坐標(biāo)。然后,在(7)式的基礎(chǔ)上,通過積分方法可以得到系統(tǒng)均方根波像差表達(dá)式為

合適的初始結(jié)構(gòu)在光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計中起到至關(guān)重要的作用,因此根據(jù)上述像差系數(shù)表達(dá)式,利用消除初級像差的條件建立方程組,對其求解得到系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)參數(shù)。由于像差系數(shù)表達(dá)式非常復(fù)雜,很難直接得到解析解,提出構(gòu)建系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)作為最終設(shè)計目標(biāo),具體表達(dá)式為

式中:ωi(i=1,2,···,k)為函數(shù)Pi對應(yīng)的權(quán)重系數(shù),其取值可以根據(jù)實際設(shè)計需要進(jìn)行調(diào)整;Pi表示在歸一化物方坐標(biāo)ηi情況下應(yīng)用(8)式計算得到的系統(tǒng)均方根波像差。

表達(dá)式給出的目標(biāo)函數(shù)Φ是對光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的綜合評判,其數(shù)值越小表示系統(tǒng)像差越小,成像質(zhì)量越高。由于該目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于系統(tǒng)光學(xué)參量的函數(shù)表達(dá)式,直接對該目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行解析求解非常復(fù)雜,開發(fā)了一種自適應(yīng)變異概率的遺傳算法對其進(jìn)行優(yōu)化得到最優(yōu)解,最終得到同軸四反光學(xué)系統(tǒng)的初始結(jié)構(gòu)參數(shù)。

結(jié)合自適應(yīng)變異概率的遺傳算法是一種高度并行、隨機和自適應(yīng)變異的全局優(yōu)化算法,具有魯棒性好和計算效率高等特點,適用于高維度非線性的優(yōu)化問題。應(yīng)用這種遺傳算法優(yōu)化(9)式所表示的目標(biāo)函數(shù),具體過程主要包括編碼和初始種群確定、計算適應(yīng)度值、交叉、自適應(yīng)變異、判斷是否達(dá)到足夠迭代次數(shù)、解碼并輸出初始結(jié)構(gòu)參數(shù),整個過程的設(shè)計流程圖如圖2所示。

圖2 應(yīng)用自適應(yīng)變異概率遺傳算法求解同軸四反光學(xué)系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)參數(shù)流程圖Fig.2 Flow chart of solving initial structure parameters of four-reflective mirrors coaxial optical system using adaptive variation probability genetic algorithm

通過Matlab軟件平臺編寫自適應(yīng)變異概率遺傳算法程序,計算出同軸四反光學(xué)系統(tǒng)各塊反射鏡的半徑和間距,得到此類系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu),經(jīng)過離軸處理和進(jìn)一步像差優(yōu)化就能得到離軸四反光學(xué)系統(tǒng)。

2 離軸四反光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計實例與性能分析

2.1 離軸四反光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計

根據(jù)設(shè)計離軸四反光學(xué)系統(tǒng)的技術(shù)指標(biāo),應(yīng)用上一節(jié)討論方法得到一種合適同軸四反射鏡光學(xué)系統(tǒng)的初始結(jié)構(gòu)參數(shù),然后對系統(tǒng)各塊反射鏡進(jìn)行偏心及傾斜處理,并對其進(jìn)行像差校正。離軸四反光學(xué)系統(tǒng)主要技術(shù)指標(biāo)如表1所示,此類系統(tǒng)設(shè)計步驟如圖3所示。

表1 離軸四反光學(xué)系統(tǒng)技術(shù)指標(biāo)Table 1 Specification of off-axis four-mirror reflective optical system

圖3 離軸四反光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計步驟Fig.3 Design steps of off-axis four-mirror reflective optical system

根據(jù)離軸四反光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計步驟,首先需要求解出同軸四反光學(xué)系統(tǒng)合適的初始結(jié)構(gòu)參數(shù),應(yīng)用改進(jìn)后的遺傳算法對構(gòu)建此類光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,在優(yōu)化計算之前必須要確定目標(biāo)函數(shù)中所有變量的變化范圍。對推導(dǎo)出的同軸四反光學(xué)系統(tǒng)像差系數(shù)表達(dá)式(3)～(6),系統(tǒng)初級球差S1表達(dá)式與所有反射鏡二次非球面系數(shù)有關(guān);同時,由于軸外點像差與主反射鏡M1二次非球面系數(shù)e21無關(guān),因此該反射鏡一般采用拋物面鏡,即e21取-1,僅通過選擇改變反射鏡M2、M3和M4的二次非球面系數(shù)來校正初級球差;初級彗差S2使用反射鏡M2、M3和M4的二次非球面系數(shù)來控制;初級像散S3通過改變反射鏡M2和M3的二次非球面系數(shù)來校正;初級場曲S4僅與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān),與各反射鏡的二次非球面系數(shù)無關(guān)。在該設(shè)計中,目標(biāo)函數(shù)中各個變量取值范圍可由表2給出。

表2 目標(biāo)函數(shù)各個變量取值范圍Table 2 Range of values for each variable of the target function

應(yīng)用MATLAB軟件平臺對自適應(yīng)變異概率遺傳算法進(jìn)行編程,在上述構(gòu)建的系統(tǒng)成像質(zhì)量目標(biāo)函數(shù)和各個變量取值范圍基礎(chǔ)上求解同軸四反光學(xué)系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)光學(xué)參數(shù)。首先,在(9)式中設(shè)置η1=0、η2=0.707、η3=1,以及其對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)分別定義為w1=w2=w3=1;然后,采用自適應(yīng)變異概率的遺傳算法對該系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,在優(yōu)化過程中該算法相關(guān)主要參數(shù)設(shè)定為種群數(shù)量為100,交叉概率為0.8,最大進(jìn)化代數(shù)為2000代。應(yīng)用上述目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化過程,對其進(jìn)行優(yōu)化20次,分析運行結(jié)果得到該目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為 α1=0.383,α2=0.479,α3=0.789,β2=-2.125,β3=-1.376,β4=-1.026,e2=-0.548,e3=4.264和e4=4.470;最后,結(jié)合主反射鏡M1為拋物面鏡,并應(yīng)用(2)式就能計算出同軸四反光學(xué)系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)參數(shù),具體如表3所示。

表3 同軸四反光學(xué)系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 3 Initial structural parameters of coaxial four-mirror reflective optical system

同軸四反光學(xué)系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)確定后,為了增大光學(xué)系統(tǒng)視場及避免中心遮攔,對其進(jìn)行離軸處理得到離軸四反射鏡光學(xué)系統(tǒng),同樣將孔徑光闌放置在反射鏡M1處,再應(yīng)用光學(xué)設(shè)計軟件Zemax對系統(tǒng)進(jìn)行反復(fù)像差優(yōu)化。

首先,離軸四反射鏡光學(xué)系統(tǒng)在大孔徑成像情況下高階像差影響較大,同時離軸系統(tǒng)的軸外像差一般較大,因此在優(yōu)化設(shè)計過程中將系統(tǒng)中各塊反射鏡設(shè)計為偶次非球面來校正這些像差,其對應(yīng)的面型表達(dá)式為

式中:z和k分別表示非球面的弧矢高度和二次圓錐系數(shù);c=1/R0,R0為非球面頂點曲率半徑;r為非球面的徑向半徑,ai為第i次徑向坐標(biāo)項系數(shù),在本次設(shè)計中選取r4、r6、r8和r10項對應(yīng)系數(shù)作為優(yōu)化變量,其余系數(shù)為0。

其次,應(yīng)用設(shè)計軟件相關(guān)優(yōu)化操作數(shù)來控制系統(tǒng)設(shè)計性能指標(biāo)[14,15],如操作數(shù)EFFL控制系統(tǒng)光焦度,并構(gòu)建系統(tǒng)優(yōu)化操作數(shù)來對系統(tǒng)各類像差進(jìn)行有針對性不斷反復(fù)優(yōu)化,最終設(shè)計得到一款滿足表1給出的系統(tǒng)各項性能指標(biāo)的離軸四反光學(xué)系統(tǒng)。該光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及光路圖如圖4所示,對應(yīng)系統(tǒng)中反射鏡曲率半徑及間隔參數(shù)由表4給出,各塊反射鏡的偶次非球面系數(shù)由表5給出。

圖4 離軸四反光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及光路圖Fig.4 Structure and optical scheme of off-axis four-mirror reflective optical system

表4 離軸四反光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 4 Structural parameters of the optimized off-axial four-mirror reflective optical system

表5 各塊反射鏡非球面系數(shù)Table 5 Aspherical coefficients of each reflective mirror

2.2 離軸四反光學(xué)系統(tǒng)像質(zhì)評價及分析

調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF)是光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的綜合評價指標(biāo),從表1給出的系統(tǒng)性能指標(biāo)能計算出離軸四反光學(xué)系統(tǒng)的奈奎斯特頻率為1000/(2×20)=25 lp/mm。并且該離軸四反光學(xué)系統(tǒng)是非對稱系統(tǒng),因此在系統(tǒng)視場范圍選取視場角時需要考慮正負(fù)兩個方向,即選取-0.5°、-0.354°、0°、0.354°和0.5°這5個視場角來評價系統(tǒng)成像性能,得到優(yōu)化設(shè)計后離軸四反光學(xué)系統(tǒng)調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF)曲線如圖5所示。從圖5中可以看出,系統(tǒng)在子午和弧矢方向上全視場MTF值在奈奎斯特頻率25 lp/mm處分別均大于0.35和0.48,并且系統(tǒng)在選取的5個視場角情況下的點列圖均方根半徑RMS值分別為13.236、10.744、9.617、8.287和7.464μm,各視場RMS最大值小于探測器單元像素尺寸20μm。由以上分析結(jié)果可知所設(shè)計的系統(tǒng)具有較好的成像質(zhì)量。

圖5 離軸四反光學(xué)系統(tǒng)調(diào)制傳遞函數(shù)曲線圖Fig.5 MTF curve diagram of off-axis four-mirror reflective optical system

2.3 公差分析

公差分析是光學(xué)系統(tǒng)從設(shè)計走向工程應(yīng)用必不可少的步驟,公差制定的合理性直接影響光學(xué)系統(tǒng)總體性能水平。此處在完成了對離軸四反光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計后,對其制定了寬嚴(yán)適當(dāng)?shù)墓罘峙浣Y(jié)果。由于它是反射式光學(xué)系統(tǒng),只需要考慮加工和裝調(diào)誤差,因此在公差分析過程中,該系統(tǒng)需要分配的公差主要包括四塊反射鏡的曲率半徑、各鏡面的二次曲面系數(shù)及表面不平整度的誤差;四塊反射鏡沿光軸方向的位移誤差以及各反射鏡繞X、Y軸的旋轉(zhuǎn)傾斜誤差。公差分析采用靈敏度分析方法,以系統(tǒng)在奈奎斯特頻率25 lp/mm處的MTF值作為設(shè)計性能評價指標(biāo),使用后截距作為系統(tǒng)補償量,結(jié)合Zemax光學(xué)設(shè)計軟件反復(fù)不斷對光學(xué)系統(tǒng)樣本進(jìn)行加工裝調(diào)模擬,并根據(jù)結(jié)果分析給出公差范圍對系統(tǒng)成像品質(zhì)的影響情況,最終得到了一組系統(tǒng)公差合適的分配結(jié)果,具體由表6給出,滿足系統(tǒng)設(shè)計指標(biāo)要求。

表6 離軸四反光學(xué)系統(tǒng)公差分配Table 6 Tolerance distribution of the optimized off-axial four-mirror reflective optical system

3 結(jié)論

基于同軸四反光學(xué)系統(tǒng)像差分析方法,構(gòu)建了以均方根波像差為條件的系統(tǒng)成像性能評價目標(biāo)函數(shù),并引入了一種自適應(yīng)變異概率的改進(jìn)遺傳算法對其進(jìn)行求解,給出一種此類光學(xué)系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)的確定方法；通過該方法確定同軸四反光學(xué)系統(tǒng)的相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù),對系統(tǒng)反射鏡進(jìn)行偏心及傾斜處理,同時將系統(tǒng)中各塊反射鏡設(shè)定為偶次非球面來校正系統(tǒng)像差。應(yīng)用上述方法設(shè)計了一種離軸四反光學(xué)系統(tǒng),該系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)緊湊、成像質(zhì)量良好且公差范圍適當(dāng)?shù)忍攸c,同時能實現(xiàn)寬光譜和較大孔徑成像,在空間光學(xué)系統(tǒng)中應(yīng)該更廣泛,為此類系統(tǒng)設(shè)計提供一種有效指導(dǎo)方法,具有一定的實際應(yīng)用價值。