高冰冰，呂麗軍，曾 濤

（上海大學(xué) 精密機(jī)械系，上海 200072）

引 言

對光學(xué)系統(tǒng)而言，像差是影響其成像質(zhì)量的主要因素[1]，然而光學(xué)系統(tǒng)的像差通常會隨著光束打在光學(xué)面上的入射角的增大變得愈發(fā)嚴(yán)重。隨著非球面在各類光學(xué)系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用，應(yīng)用非球面可以有效控制像差、改善光學(xué)系統(tǒng)成像性能也成為了人們的普遍認(rèn)識[2-3]。Miks等[4]提出了一種包含一個或兩個非球面光學(xué)表面的鏡頭的簡單設(shè)計方法，在指定物、像位置上可以有效校正球差并減小彗差的貢獻(xiàn)。非球面不僅在軸對稱光學(xué)系統(tǒng)中被廣泛應(yīng)用，在眾多的魚眼鏡頭優(yōu)化設(shè)計[5-6]過程中也被廣泛應(yīng)用。張寶龍等采用非球面技術(shù)，用僅四片透鏡就實現(xiàn)視場角為210°的超廣角魚眼鏡頭設(shè)計要求[7]。然而，應(yīng)用像差分析的方法在光學(xué)系統(tǒng)中選擇最適非球面位置及確定非球面系數(shù)初值的方法鮮有討論。

對于魚眼鏡頭這類超大視場光學(xué)系統(tǒng)，其在很多場合例如無人駕駛、安全監(jiān)控等[8-12]方面都有著廣泛的應(yīng)用。但由于在其工作環(huán)境中，物點發(fā)出的光束會以很大的入射角進(jìn)入光學(xué)系統(tǒng)，這種掠入射光束經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)成像后，在子午和弧矢平面內(nèi)的聚焦位置和波陣面參數(shù)可能完全不一致，波前的形狀將嚴(yán)重偏離球面，具有平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的成像特性。賽德爾理論只能用于常規(guī)的軸對稱光學(xué)系統(tǒng)的近軸像差分析，不再適合此類系統(tǒng)。近年來，LU等采用超環(huán)面作為參考波陣面，發(fā)展了適用于平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的波像差理論[13-14]，可以被用來分析包括非球面系數(shù)在內(nèi)的光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)對成像性能的影響，從而為尋找最適非球面奠定理論基礎(chǔ)。

本文首先闡述了LU的平面對稱光學(xué)系統(tǒng)像差理論的理論基礎(chǔ)，接著闡述魚眼鏡頭光學(xué)系統(tǒng)中各光學(xué)面上各類波像差分布的計算方法，然后針對一個全球面魚眼鏡頭實例，根據(jù)所建立的系統(tǒng)成像性能評價函數(shù)隨非球面系數(shù)改變的變化規(guī)律，確定非球面位置以及非球面系數(shù)的初值，隨后重新計算光學(xué)系統(tǒng)的波像差分布，并與原先系統(tǒng)的波像差分布圖進(jìn)行對比，最后應(yīng)用基于調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）作為評價函數(shù)的自適應(yīng)歸一化實數(shù)編碼遺傳算法，優(yōu)化該魚眼鏡頭實例。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 LU的波像差理論

LU應(yīng)用波像差方法是針對平面對稱光學(xué)系統(tǒng)在子午和弧矢方向上焦點可能完全分離的特點，以超環(huán)面作為參考波陣面，發(fā)展出的適用于平面對稱多元件光柵系統(tǒng)的像差理論，并根據(jù)光線幾何，通過多項式擬合的方法求得光線在光學(xué)元件表面和入射及像差波陣面之間的映射關(guān)系，導(dǎo)出精確的平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的波像差表達(dá)式，再由波像差求得光學(xué)系統(tǒng)的像差表達(dá)式。該理論可以精確處理一般的平面對稱多元件光學(xué)系統(tǒng)的像差，并且可以應(yīng)用于研究各種面形的反射鏡、光柵和像平面在任意位置上的光學(xué)系統(tǒng)的成像。

由文獻(xiàn)[13]可以知道，平面對稱光柵系統(tǒng)的波像差W與物方空間波像差Wobj、像方空間波像差Wima以及受光柵刻槽影響的光程差S相關(guān)，具體表達(dá)式如下：

式中：S=nmλ ， λ 為光的波長，n為光柵刻槽的槽數(shù)；m為光柵的衍射級，m=0,±1,±2,··· 。可將式（1）右邊寫成四階波像差系數(shù)wijk的形式：

式中： (x,y) 為光線打在光學(xué)面的坐標(biāo)；u為物點到光學(xué)面連線與光軸的夾角。關(guān)于波像差系數(shù)wijk以及具體應(yīng)用可參見2.1節(jié)內(nèi)容。

LU波像差理論只涉及到孔徑像差如彗差波像差、球差波像差的計算，而對場曲波像差及色差波像差的計算方法未有深入研究。該理論在近年被FAN[15]等補充，使得該理論可以利用解析的方法精確計算出光學(xué)系統(tǒng)中除畸變外的所有像差，為尋找最適非球面奠定了理論基礎(chǔ)。

1.2 光學(xué)表面的面型系數(shù)

在超大視場光學(xué)系統(tǒng)（如魚眼鏡頭）中將光學(xué)元件表面定義為二次圓錐表面，應(yīng)用平面對稱像差理論計算波像差時需要以主光線打在光學(xué)元件表面的位置為坐標(biāo)原點O，這樣就需要轉(zhuǎn)換坐標(biāo)。圖1所示為一條主光線經(jīng)過一個二次圓錐光學(xué)面反射后的光路圖：將坐標(biāo)方程從以O(shè)′為坐標(biāo)原點的x′y′z′坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換至以O(shè)點為坐標(biāo)原點xyz坐標(biāo)軸[16]；y軸和y′軸均垂直于紙面向外； α和 β 分別表示入射角和反射角； ωi-1和 ωi分別為第i光學(xué)面的入射和出射光線與光軸的夾角，即視場角，其中，i=1,2,··· 。

圖1 光線經(jīng)二次圓錐表面反射時坐標(biāo)轉(zhuǎn)換示意圖Fig.1 Schematic diagram of coordinate conversion when light is reflected by a secondary cone surface

以O(shè)′為坐標(biāo)原點的坐標(biāo)系x′y′z′繞光軸z′旋轉(zhuǎn)的二次圓錐曲面方程為：

式中：R0是二次圓錐曲面在坐標(biāo)原點O′處的曲率半徑，即；a2是確定二次圓錐曲面類型的系數(shù)，即非球面系數(shù)，當(dāng)a2＞0 時為雙曲面，當(dāng)a2=0 時為拋物面，當(dāng) - 1＜a2＜0 時為長橢球面，a2=-1 時為球面，a2＜-1 為扁橢球面。a2與Zemax軟件中表示非球面特性的圓錐系數(shù)k的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

設(shè)O點在平面坐標(biāo)系x′O′z′下的坐標(biāo)為，x軸為主光線相交于光學(xué)元件表面O處的切線，z軸為O處的法線。根據(jù)圖1所示，將坐標(biāo)系xyz轉(zhuǎn)換為x′y′z′的表達(dá)式為：

同時，從圖1的幾何關(guān)系可以得到：

將式（5）和（6）帶入式（3），并作四階泰勒級數(shù)展開，就可以得到適用于四階波像差理論的二次圓錐曲面的方程：

式中，ci,j為面型系數(shù)，具體可參見文獻(xiàn)[16]。

由圖1的幾何關(guān)系可知O點處光學(xué)元件表面的子午方向的曲率半徑 Γ 和弧矢方向的曲率半徑ρ 分別為：

對于有由多個光學(xué)面組成的光學(xué)系統(tǒng)，從第i光學(xué)面到i+1 光學(xué)面的坐標(biāo)傳遞方程s0的表達(dá)式為：

式中di是從第i光學(xué)面到第i+1 光學(xué)面在沿光軸的光學(xué)間隔。

通過以上推導(dǎo)內(nèi)容可將一般平面對稱二次圓錐曲面系數(shù)轉(zhuǎn)換為LU的平面對稱光學(xué)系統(tǒng)像差理論中的面型系數(shù)形式。

1.3 主光線傳輸方程

應(yīng)用LU的平面對稱光學(xué)系統(tǒng)波像差理論計算光學(xué)系統(tǒng)波像差時還需要追跡出各光學(xué)面的主光線參數(shù)，包括入射角 αi，折射或反射角 βi，視場角 ωi等參數(shù)。圖2所示為一條主光線在子午平面內(nèi)的傳輸示意圖：依次穿過光學(xué)介質(zhì)的折射率分別為ni-1,ni和ni+1； ωi的符號與主光線相對光軸的斜率一致； αi, βi的符號與主光線相對于入射坐標(biāo)系的法線斜率一致；第i到第i+1 光學(xué)面的光學(xué)間隔為；光學(xué)面右側(cè)為正，反之為負(fù)；光學(xué)面曲率半徑的符號規(guī)定為圓心在光學(xué)面右側(cè)為正，反之為負(fù)。

圖2 主光線傳輸示意圖Fig.2 Schematic diagram of principal light transmission

由圖2可得，主光線經(jīng)過任一光學(xué)面的傳輸方程為[16-17]：

上述理論及推導(dǎo)為計算魚眼鏡頭中的波像差提供了理論基礎(chǔ)。

2 波像差計算

2.1 孔徑像差波像差

對于由g個光學(xué)面組成的超大視場平面對稱光學(xué)系統(tǒng)，應(yīng)用式（2）即可滿足其計算精度，由于沒有光柵，其表達(dá)式為：

其中：

其中：Mij0為波像差系數(shù)，參考文獻(xiàn)[18]中有詳細(xì)討論；表示第i光學(xué)面在像空間的子午和弧矢焦距，根據(jù)準(zhǔn)基理論w200=0 和w020=0計算而來[13,19]，表達(dá)式為：

第i+1 光學(xué)面沿主光線在子午方向的物方焦距rM(i+1)和弧矢方向的物方焦距rS(i+1)分別為：

在四階波像差理論中，任一光學(xué)面球差波像

2.2 主光線像差波像差

由g個光學(xué)面組成的光學(xué)系統(tǒng)在子午方向和弧矢方向的場曲波像差分別由以下公式計算而來[15]：

由g個光學(xué)面組成光學(xué)系統(tǒng)的軸向和垂軸色差波像差，計算分別如下[15]：

在式（6）～（23）中，(xi,yi)為光束投影到第i光學(xué)面上的孔徑坐標(biāo)，由孔徑光闌半徑逐一線性傳遞所得：

其中：

由波像差的疊加原理可知第g光學(xué)面的主光線波像差為：

應(yīng)用式（26）可以計算光學(xué)系統(tǒng)中每一光學(xué)面的各類波像差的分布，并且可以得到系統(tǒng)波像差隨非球面系數(shù)的變化規(guī)律，從而選出對非球面系數(shù)變化較為敏感的光學(xué)面。

3 利用非球面優(yōu)化魚眼鏡頭

3.1 定義評價函數(shù)

在視場范圍內(nèi)取 μ 個物點對魚眼鏡頭光學(xué)系統(tǒng)成像性能進(jìn)行數(shù)值評價，該評價函數(shù)是將第2節(jié)所計算的波像差轉(zhuǎn)換到像面上的像差Q，表達(dá)式為[15,20]：

式中： εk、ηk和 μk分別表示各自的權(quán)重系數(shù)，是根據(jù)具體光學(xué)系統(tǒng)像差分布決定的；Qx(k)和Qy(k)表示第k視場角的孔徑像差分量k=0, 1 ,2,··· 。分別在光束覆蓋的區(qū)域范圍內(nèi)進(jìn)行積分求和：

式中：Wq和L分別表示孔徑光束在最后光學(xué)面上沿子午x和弧矢y方向的投影長度，由于光束在子午和弧矢平面內(nèi)的焦點位置不一致，圓形的孔徑光闌傳遞至各光學(xué)面的投影均為橢圓形，故上式中的積分區(qū)域為橢圓域；x′和y′表示光線在像面上的像差表達(dá)式，分別計算為：

其中：dij0和hij0表示像差系數(shù)，詳細(xì)在文獻(xiàn)[13]中討論，其中已包含離焦像差，即子午和弧矢方向場曲對成像性能的貢獻(xiàn)。

Qη(k)和Qc(k)分別表示第k視場角光學(xué)系統(tǒng)的軸向色差和垂軸色差的評價函數(shù)，即軸向色差和垂軸色差在成像面上的貢獻(xiàn)分量，計算表達(dá)式為：

3.2 單個非球面優(yōu)化

在光學(xué)系統(tǒng)優(yōu)化中加入非球面，就能在傳統(tǒng)全球面優(yōu)化的基礎(chǔ)上多出一個或多個優(yōu)化自由度，從而能得到更好的結(jié)果。由于非球面制造及成本原因，如何選擇正確的光學(xué)面作為非球面是一個非常值得研究的問題。

為研究如何尋找適合系統(tǒng)優(yōu)化的最適非球面，需要通過前述理論計算研究光學(xué)系統(tǒng)中各光學(xué)面的波像差分布以及波像差隨非球面系數(shù)變化的規(guī)律，下面以一個實際光學(xué)系統(tǒng)為例研究變化規(guī)律。該系統(tǒng)的視場角為 2 ω=220 °，F(xiàn)=2.8 ，該光學(xué)系統(tǒng)來自于文獻(xiàn)[21]，光路示意圖如圖3所示，相關(guān)系統(tǒng)參量見表1 Original欄。

圖3 魚眼鏡頭光路示意圖Fig.3 Schematic diagram of optical path of fisheye lens

表1 全球面魚眼鏡頭的光學(xué)參量Tab.1 Optical parameters of all spherical fisheye lens

由于在優(yōu)化過程中，為了用較短的時間得到優(yōu)化結(jié)果，參數(shù)優(yōu)化范圍并不是特別大，因此優(yōu)化后的光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及光路較原系統(tǒng)變化較為微小，反映在圖像中是無法進(jìn)行區(qū)別的，并且非球面系數(shù)的變化也無法在圖中顯示出來，因此本文中其余優(yōu)化結(jié)果的結(jié)構(gòu)及光路均可參照圖3。

對于一個光學(xué)系統(tǒng)而言，非球面應(yīng)當(dāng)選擇對整個系統(tǒng)影響較大的那個面，若其作為非球面對系統(tǒng)的影響可以忽略不記（即MTF曲線在其作為非球面和球面時變化不大），即可認(rèn)定其不適合作為非球面。據(jù)此，以光學(xué)面對非球面系數(shù)的敏感度（系統(tǒng)成像性能隨其非球面系數(shù)變化的劇烈程度）作為選擇非球面的依據(jù)，具體過程如下。

首先可由第1、2節(jié)關(guān)于波像差的計算公式得到系統(tǒng)中各個光學(xué)面的波像差以及系統(tǒng)總體的波像差分布規(guī)律，根據(jù)式（19）～（22）以及式（26）可得到每個光學(xué)面的波像差分布特點，結(jié)果如圖4，圖中所示為視場角 ω0=110 ° (最大視場物點) 時各光學(xué)面的波像差分布。

其中：WM和WS分別為場曲波像差在子午和弧失方向上的分量；WCL和WCT分別為軸向和垂軸色差波像差；Wsph和Wcoma分別為球差波像差和彗差波像差。

圖4 原始波像差分布Fig.4 Original wave aberration distribution

從圖4中可以看到雖然系統(tǒng)中有幾個面的場曲波像差（子午）、球差波像差和彗差波像差較為顯著，但系統(tǒng)本身已經(jīng)對其做出了矯正，最終像面上的像差還在合理范圍內(nèi)。根據(jù)波像差分布情況可以決定Q值權(quán)重系數(shù)，由于該光學(xué)系統(tǒng)球差、彗差等孔徑像差較為突出，而垂軸色差及軸向色差較小，因此可令εk=2、ηk=0.5 和μk=0.5 。

接下來應(yīng)用式（27）～（32）依次分析光學(xué)系統(tǒng)成像性能Q隨各光學(xué)面的非球面系數(shù)a2變化的規(guī)律。a2的遍歷范圍為 ( -3,1) ，變化步距為0.001；取 0 °、 10 °、 2 0 °、 3 0 °、 4 0 °、 5 0 °、 6 0 °、70 °、 8 0 °、 9 0 °、 1 00 °、 1 10 °這 12個 視 場 物點；Q值隨非球面系數(shù)變化的規(guī)律如圖5所示，在a2的遍歷范圍內(nèi)，第6、8和9面為非球面時系統(tǒng)的Q值變化幅度較大。達(dá)到極小值時對應(yīng)的a2值見表2。

圖5 魚眼鏡頭的成像性能隨非球面系數(shù)變化的規(guī)律Fig.5 The imaging performance of fisheye lens changing with the coefficient of aspherical surface

圖6是第9面作為非球面，非球面系數(shù)a2(9)=-1.109 時對應(yīng)的波像差分布。

從表2中可以清楚的看出，在將第9面作為非球面后，評價函數(shù)Q的值下降較為明顯。對比圖6和圖4，可以驗證系統(tǒng)總的像差是降低的。因此，通過改變光學(xué)元件的面型，找到合適的非球面系數(shù)，能夠優(yōu)化光路傳播、調(diào)整系統(tǒng)波像差分布情況，使最終成像性能得到提升。在上述步驟中，利用本文提出的方法可以找到合適的非球面位置及其初始非球面系數(shù)，之后需要結(jié)合其余光學(xué)參量進(jìn)行優(yōu)化，確定結(jié)果是否符合期望。

表2 系統(tǒng)初始Q值及非球面系數(shù)對應(yīng)Q值Tab.2 The initial Q value of the system and the corresponding Q value of the aspheric coefficient

圖6 第9面為非球面時的波像差分布Fig.6 Wave aberration distribution when the ninth surface is aspheric

原始光學(xué)系統(tǒng)視場角雖然為 1 10 °，但其原始MTF曲線未能顯示 90 °以后的曲線，因此先進(jìn)行了一輪全球面優(yōu)化。所得到的MTF曲線圖見圖7，優(yōu)化后參數(shù)見表1 Optimize Ⅰ欄。在圖7中，MTF曲線圖是在Zemax中應(yīng)用快速傅里葉變換(FFT)方式得到的；在子午（Mer.）和弧矢（Sag.）方向空間頻率分別取10 lp/mm 和30 lp/mm；經(jīng)過全球面優(yōu)化后各個視場下的MTF曲線均有所提高且 90 °之后的曲線圖也能顯示出來，說明在全球面優(yōu)化后的系統(tǒng)已能在 1 10 °視場內(nèi)有良好的性能。

圖7 全球面優(yōu)化后的MTF曲線圖Fig.7 All spherical optimized MTF curves

我們應(yīng)用以MTF作為評價函數(shù)的自適應(yīng)歸一化實數(shù)編碼遺傳算法[22-23]優(yōu)化該實例鏡頭。此次優(yōu)化遵循先進(jìn)行大范圍多代數(shù)粗略搜索參數(shù)如下：種群規(guī)模設(shè)為100；交叉概率為0.8；初始變異概率為0.1；求解精度為0.001；優(yōu)化800代；范圍設(shè)置為初始參數(shù)的±50%；優(yōu)化20次。從結(jié)果中選擇優(yōu)化較好的5個系統(tǒng)的參數(shù)值作為小范圍精確搜索的初始值，此時，其余參數(shù)不變，只將優(yōu)化代數(shù)縮小為200代；搜索范圍為±(10%～20%)；每組優(yōu)化10次；選取MTF最高的參數(shù)作為最終系統(tǒng)[16]。以第9面為例進(jìn)行單個非球面的優(yōu)化，優(yōu)化后的MTF曲線如圖8所示，各光學(xué)面參數(shù)見表3 Optimized Ⅱ。表3相較于表2增加了非球面系數(shù)（Aspheric coefficient）一項，并且由于材料與折射率均未改變，因此未在表3中列出。

圖8相較于圖7，第9面作為非球面優(yōu)化后，MTF曲線較全球面優(yōu)化后提升較多，視場角在90°之前曲線平滑，下降緩慢，成像質(zhì)量優(yōu)良，在90°之后出現(xiàn)驟降，說明在大視場下成像質(zhì)量不是很好，但相較于全球面優(yōu)化仍然有所提升，說明本文提出的方法對于非球面的選取是有效的，對于大視場下優(yōu)化結(jié)果較差的情況，可以考慮通過增加非球面?zhèn)€數(shù)嘗試解決。

圖8 第9面作為非球面優(yōu)化后的MTF曲線圖Fig.8 The optimized MTF curve when the 9th surface is used as an aspheric surface

3.3 同時進(jìn)行兩個非球面優(yōu)化

由3.2節(jié)的結(jié)論可以看出，在對光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化時選擇對非球面系數(shù)變化較為敏感的光學(xué)面作為待優(yōu)化的非球面能夠有效降低系統(tǒng)像差，并得到較好的MTF曲線。這對單個非球面是有效的，因此可以考慮將之運用于多個非球面優(yōu)化系統(tǒng)中，以下將采用兩個非球面優(yōu)化該系統(tǒng)。

采用多個光學(xué)面作為非球面時，由于前一個光學(xué)面的非球面系數(shù)改變將會導(dǎo)致在它之后光路發(fā)生變化，光線到達(dá)下一個非球面時的位置與理論不符，因此，多個非球面參與優(yōu)化時，最終優(yōu)化結(jié)果并不是單個非球面影響的疊加，需要得到多個非球面共同作用下對系統(tǒng)整體的影響。圖9為幾組兩個非球面組合時系統(tǒng)Q值的變化規(guī)律圖。

表3 加入非球面優(yōu)化后的系統(tǒng)光學(xué)參數(shù)Tab.3 Optics parameters of the system after adding aspheric surface optimization

依據(jù)圖5，在本文中將待選非球面分為兩類：一類是對非球面系數(shù)變化敏感度較低的光學(xué)面（下簡稱為非敏感面），如第11、12面；另一類為對非球面系數(shù)變化敏感度較高的光學(xué)面（下簡稱敏感面），如第6、8面。在對兩個非球面組合時得到的Q值變化圖中，發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩個非敏感度面組合時，如圖9（a），其系統(tǒng)Q值變化微小；兩個敏感面組合時，如圖9（c），其系統(tǒng)Q值變化較為劇烈；而敏感面與非敏感面組合時，如圖9（b），系統(tǒng)Q值變化規(guī)律趨向于與敏感面的變化相同。

由此，在多個光學(xué)面作為非球面參與優(yōu)化系統(tǒng)時，仍然是敏感面對改變系統(tǒng)像差的貢獻(xiàn)較大，因此可以確定在用多個非球面優(yōu)化系統(tǒng)時仍應(yīng)采用對系統(tǒng)Q值影響較大的光學(xué)面作為待選非球面。在本文中將第6、8和9面兩兩組合得到三種優(yōu)化組合，表4列出了三種方案的最小Q值及對應(yīng)的非球面系數(shù)，圖10為第8、9面為非球面時對應(yīng)的波像差分布圖。

對比表2和表4，相較于加入單個非球面，加入兩個非球面時，系統(tǒng)Q值進(jìn)一步降低，比單個非球面時下降了大約23%。從圖10中可以看出，第8面和第9面作為非球面后其波像差下降較為明顯，而圖6中第9面單獨作為非球面時對自身波像差影響較小，說明多個非球面組合可以有效的抑制自身波像差，優(yōu)化像差分布，進(jìn)一步降低系統(tǒng)像差，提升成像質(zhì)量。從表2可以得出，在加入單個非球面時系統(tǒng)Q值降低大約為50%，而在此基礎(chǔ)上再加入非球面系統(tǒng)Q值下降幅度變小，說明隨著非球面?zhèn)€數(shù)的增加，其對系統(tǒng)優(yōu)化的能力會越來越低，最終可能導(dǎo)致再增加非球面?zhèn)€數(shù)也無法提高成像質(zhì)量。

之后，仍以 MTF作為評價函數(shù)的自適應(yīng)歸一化實數(shù)編碼遺傳算法優(yōu)化該鏡頭，步驟及參數(shù)與單個非球面優(yōu)化時相同。經(jīng)優(yōu)化得到最終結(jié)果為第8面非球面系數(shù)為a2(8)=-1.646 ，第9面非球面系數(shù)為a2(9)=-1.092 時系統(tǒng)的MTF曲線最好。優(yōu)化后的系統(tǒng)參數(shù)見表3 Optimized Ⅲ欄，優(yōu)化后的MTF曲線如圖11所示。

圖9 系統(tǒng)中兩個光學(xué)面作為非球面時系統(tǒng)的Q值變化圖Fig.9 The Q value change diagram of the system when the two optical surfaces in the system are used as aspherical surfaces

表4 兩個光學(xué)面組合所得最小Q值及對應(yīng)的非球面系數(shù)Tab.4 The minimum Q value and the corresponding aspheric coefficient obtained from the combination of two optical surfaces

從圖11中可以看出：第8和第9面作為非球面優(yōu)化后，光學(xué)系統(tǒng)的MTF曲線較為平滑，未出現(xiàn)陡降，平均MTF值在0.5以上，最低處也大于0.3；與圖7、8相比MTF曲線整體上移，90°視場角后的曲線也較好，下降幅度不大，說明兩個面作為非球面優(yōu)化更能兼顧大視場成像。因此相較于單個非球面優(yōu)化，多個非球面優(yōu)化結(jié)果更好。

圖10 第8面和9面作為非球面時系統(tǒng)波像差分布圖Fig.10 The distribution of the system wave aberration when the 8th and 9th surfaces are used as aspherical surfaces

圖11 第8、9面作為非球面優(yōu)化后的MTF曲線圖Fig.11 The optimized MTF curve when the 8th and 9th surfaces are used as aspherical surfaces

4 結(jié)果討論

所采用的LU的四階波像差理論，其對于大視場小孔徑光學(xué)系統(tǒng)波像差計算較為精確，但當(dāng)孔徑較大時計算精度有所下降，結(jié)果可能偏離實際。目前六階波像差理論尚未完善，無法用于本文中的理論計算，可以期待六階理論完善時，結(jié)合本文提出的方法對大孔徑光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行更精確的計算研究。對于第6、8和9面三個光學(xué)面組合優(yōu)化，本文尚未進(jìn)行探討是否會有更好的結(jié)果。對于在光學(xué)系統(tǒng)中加入非球面進(jìn)行優(yōu)化雖然能有效改善系統(tǒng)成像質(zhì)量，但隨著非球面的增多，再增加非球面?zhèn)€數(shù)最終可能會使成像質(zhì)量的提升微乎其微甚至下降，因此優(yōu)化時選擇非球面的個數(shù)也是值得研究的。

5 結(jié) 論

本文基于LU的平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的像差理論，發(fā)展了一種有效確定非球面位置的方法，從而可以為超大視場光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計優(yōu)化提供指導(dǎo)方法。該方法通過尋找非球面系數(shù)對系統(tǒng)成像質(zhì)量影響較大的光學(xué)面，采用單個對非球面系數(shù)敏感的光學(xué)面或多個敏感面之間的組合作為非球面參與光學(xué)系統(tǒng)的優(yōu)化可以有效的降低系統(tǒng)像差，得到較好的MTF曲線圖。

本文通過實例驗證了該方法的有效性，并且在優(yōu)化光學(xué)系統(tǒng)時通過增加非球面的個數(shù)可以有效提升優(yōu)化效果，并且多個非球面組合時，其對超大視場的優(yōu)化明顯優(yōu)于單個非球面優(yōu)化的結(jié)果，通過兩個非球面組合優(yōu)化得到了比單個非球面更好的結(jié)果，確定了該方法可以應(yīng)用于復(fù)數(shù)非球面系統(tǒng)的優(yōu)化，進(jìn)一步增加了可以參加系統(tǒng)優(yōu)化的變量，為光學(xué)系統(tǒng)的優(yōu)化提供了新的思路。