李世文,鄭小兵,翟文超*

(1中國科學技術大學環(huán)境科學與光電技術學院,安徽 合肥 230026;2中國科學院合肥物質(zhì)科學研究院安徽光學精密機械研究所通用光學定標與表征技術重點實驗室,安徽 合肥 230031)

0 引言

成像光譜儀能夠在連續(xù)光譜段上對同一目標同時成像,可直接反映出被觀測物體的光譜特征,因此可用于環(huán)境污染管理、城市規(guī)劃、土地資源分析、地質(zhì)與礦產(chǎn)調(diào)查、大氣探測等領域[1,2]。色散系統(tǒng)是光譜儀核心部分,直接影響光譜儀的性能和大小[1-5]。傳統(tǒng)的Czerny-Turner結構通常用于單色儀和輻照度儀,使用單元探測器[6]。由于單元探測器的光敏面通常遠大于光譜展寬,不需要校正像散,并且通過轉動光柵來輸出不同波長的光,因此只需校正中心波長像差[6]。當使用線陣探測器時,需要在連續(xù)光譜段上對同一目標同時成像,探測器尺寸通常只有十幾微米,像散會嚴重影響光譜儀分辨率,且光柵固定,需要在寬譜段范圍校正像散。像散是影響寬波段Czerny-Turner光譜儀的主要像差[7]。

Xue等[8]提出校正了540～780 nm波段范圍內(nèi)全像散的方法,但是此方法只能校正中心波長及附近的像散,對于更寬的波段范圍不能起到良好的校正作用。目前Czerny-Turner結構光譜儀應用較成熟,但對于整個近紅外波段的像散校正方面的研究很少[9]。本文通過光柵產(chǎn)生的像散補償球面反射鏡的像散來校正中心波長的像散,再通過柱面鏡的像散補償邊緣波段的像散,之后通過MATLAB計算Czerny-Turner光譜儀初始結構值。通過準直光路連接兩個Czerny-Turner光譜儀,從而實現(xiàn)了波段范圍在900～2500 nm的消像散Czerny-Turner光譜儀成像系統(tǒng)。

1 零階消像散條件

傳統(tǒng)的Czerny-Turner光譜儀結構如圖1所示,復色光從狹縫入射到Czerny-Turner光譜儀,通過準直鏡入射到光柵,經(jīng)過光柵色散將復色光分解成單色光之后入射到聚焦鏡,聚焦到探測器上,形成一列按照波長排列的單色光譜[10]。

圖1 Czerny-Turner光譜儀基本結構Fig.1 Basic structure of Czerny-Turner spectrometer

像散是影響寬波段Czerny-Turner光譜儀的主要像差,光線離軸入射導致球面反射鏡形成像散,即子午面和弧矢面聚焦能力不同。像散原理圖如圖2所示,在子午面像點處,弧矢面還未聚焦,因此在子午像面處弧矢面光線形成一個垂直于子午面的短線;在弧矢面像點處,子午面光線在之前已經(jīng)聚焦,因此子午面光線在弧矢像面處形成一條垂直于弧矢面的短線[11]。在子午像面和弧矢像面之間的像為橢圓形,子午像面到弧矢像面中點為中心焦點,即為彌散斑,會影響光譜儀成像質(zhì)量和分辨率。

圖2 像散原理圖Fig.2 Schematic diagram of astigmatism

球面反射鏡離軸角為α,物距為l,則它在子午面和弧矢面的像距分別為[12]

對于反射光柵來說,子午面(色散面)滿足光柵方程d(sini+sinθ)=mλ(其中:d為光柵常數(shù),i、θ分別為光柵的入射角和衍射角,m為衍射級次,λ為波長)。在弧矢面,反射光柵滿足普通反射鏡規(guī)律。因此,光經(jīng)過反射光柵弧矢面和子午面的像距分別為

兩式聯(lián)立即可求出聚焦鏡到探測器的子午面和弧矢面距離分別為

為了校正像散,需要子午像距和弧矢像距相等,SS=ST,即零階消像散條件,可求出狹縫到準直鏡的距離

滿足零階消像散條件只能消除中心波長的像散,不能滿足邊緣波長消像散條件,還需進行一階消像散。

2 一階消像散條件

由光柵方程可知,光線沿同一入射角i入射到光柵,不同波長的光衍射角θ不同。θ的變化影響聚焦鏡的離軸角α2,進而會影響弧矢面像距SS、子午像距ST和聚焦鏡到探測器的距離Lfd的值。要校正寬波段像散,必須使SS、ST和Lfd隨θ的變化值相等,即SS、ST和Lfd對θ的一階導數(shù)值相同[13],可表示為

式中

SS、ST分別對α2求偏導,即

ST對θ求偏導,即

圖3為不同波長光線通過光柵衍射后的光路圖,C2是聚焦鏡F的曲率中心,光線A-O-B是中心波長光線,光線A-O′-B′是邊緣波長光線,兩光線在探測器上的距離為p,探測器傾角σ。在yAz(光柵色散面)坐標系中,y和z分別表示沿y軸和z軸的單位矢量。

圖3 不同波長光線通過光柵衍射后的光路圖Fig.3 Optical path diagram of light with different wavelengths diffracted by grating

根據(jù)AO+OC2+C2O′+O′A=0可列出矢量AO、OC2、C2O′、O′A的表達式,將矢量表達式代入等式可得

分別對θ′微分,則

聯(lián)立(13)、(14)式可解出

聯(lián)立 (6)～(10)、(15)式可得

(11)式乘以co sθ′,(12)式乘以sinθ′,聯(lián)立后可解出邊緣波長入射聚焦鏡的入射角α′2,即

根據(jù)C2O+OB+BB′+B′O′+O′C2=0 可列出矢量C2O、OB、BB′、B′O′、O′C2的表達式,將矢量表達式代入等式后對θ′微分可得

聯(lián)立(15)、(19)、(20)式可解出

聯(lián)立(5)、(16)、(17)、(22)式可解出探測器傾角σ,即

聯(lián)立(3)、(18)式可解得不同波長的像散值為

3 柱鏡補償剩余像散

圖4為柱鏡分別補償子午面和弧矢面的示意圖,柱鏡放置在探測器和聚焦鏡之間,通過放置一定的傾角γ和柱鏡到探測器的距離Lc實現(xiàn)剩余像散的校正。柱鏡的子午面相當于平行平板,弧矢面相當于凸透鏡。在子午面,光經(jīng)過平行平板不改變其傳播方向,但會改變軸向距離,軸向距離位移量為ΔLt,柱鏡在弧矢面形成的位移量為ΔLs,可分別表示為[14]

圖4 柱鏡示意圖Fig.4 Schematic diagram of cylinder

式中:n為柱鏡折射率,t為柱鏡厚度,fc為柱鏡焦距。

子午方向的位移量ΔLt和弧矢方向位移量ΔLs的差值即為柱鏡像散Scylinder,可表示為

Scylinder＞0,柱鏡子午面位移量大于弧矢面位移量;Scylinder＜0,柱鏡子午面位移量小于弧矢面位移量;Scylinder=0,柱鏡子午面位移量等于弧矢面位移量,可以用柱鏡引入相反像散來抵消Czerny-Turner結構光譜儀球面反射鏡的像散。在發(fā)散光路中引用柱鏡,不會對之前光學系統(tǒng)的距離和傾角有影響,只會在一階像散校正基礎上,再通過柱鏡像散的反向校正,從而達到校正寬波段像散的要求。

一階消像散條件下,中心波長處的剩余像散為0,即Scylinder=0,確定了柱鏡的厚度t、折射率n、焦距fc之后,即可確定柱鏡到探測器的距離Lc。

為了使剩余像散和柱鏡像散不受波長的影響,與一階消像散相同,選擇對波長λ微分,即

式中:H為邊緣光線和主光線在柱鏡上的距離;dScylinder/dLc可由(27)式微分得到,即

dLc/dH可由幾何關系得到,即

dH/dλ可由線色散公式得到,即

dSremain/dα2可由 (8)、(9)式聯(lián)立得到,即

將 (16)、(29)～(33)式代入 (28)式可得

由(27)式可知,當柱鏡固定參數(shù)(即Lc、n、t)不變時,影響柱鏡像散的因素只有距探測器的距離Lc。而邊緣波段的值由柱鏡傾角決定,如圖5柱鏡兩種擺放方式可知,由于Lc直接影響柱鏡的像散值,所以選擇合適的柱鏡擺放角度很重要。

圖5是柱鏡擺放位置的兩種選擇,波長位置從上到下依次減小,圖5(a)是長波段小于短波段圖5(b)相反。

圖5 柱鏡擺放位置。Fig.5 Different positions of the cylinder.

當n=1.46,t=2 mm,fc=50 mm時,柱鏡補償像散與Lc的關系如圖6。

圖6 柱鏡補償像散與柱鏡和探測器距離Lc的關系Fig.6 Dependence of cylindrical lens compensation astigmatism on the distance between the cylindrical lens and the detector

4 設計與實現(xiàn)

前置光路使用兩個離軸拋物面反射鏡,將入射狹縫成像到色散單元。反射式系統(tǒng)無色差,離軸拋物面鏡可以校正球差[11]。平行光入射到離軸拋物面鏡,之后匯聚到焦點。

前置光路使900～1700 nm和1700～2500 nm兩個部分連接在一起,使用二向色鏡將兩個波段分隔開。設置離軸拋物面鏡曲率半徑R=120 mm,離軸距d=20 mm。為了和后方色散光路耦合,設置像方空間F數(shù)為7。前置光路設計如圖7所示。

圖7 前置光路Fig.7 Front light path

在視場和光瞳各選一點,可以唯一確定一條光線。通過Zemax宏編程功能,隨機選定歸一化的瞳面(px、py)和視場(hx、hy)坐標,每個設定波長循環(huán)1000次,繪出像面光斑圖。前置光路像面處的光斑情況如圖8所示,因此,與前置光路相接的后方色散光路的入射狹縫設置為75μm×252μm。

圖8 前置光路像面Fig.8 Image surface of front optical path

準直鏡和聚焦鏡是離軸使用,不滿足等暈成像條件,因此存在離軸彗差,彗差會使譜線輪廓增寬,影響光譜分辨率,校正彗差需滿足Shafer等式[15,16]

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光譜儀的狹縫在探測器上成像,狹縫寬度為a,狹縫像寬度為α′,f2為聚焦鏡焦距,衍射級次為1。在探測器上,同一波長光分開角度為

根據(jù)角色散公式dθ/dλ=m/(dcosθ)可得兩條譜線分開的距離

衍射光柵并不是1:1成像,狹縫像的寬度α′與狹縫寬度α、光學系統(tǒng)放大率f2/f1、光柵角放大率γ=cosθ/cosi有關,因此狹縫經(jīng)光柵成像的像大小為

將(38)式代入(37)式中,可得狹縫像的幾何寬度對應的光譜帶寬為

狹縫尺寸為75μm×252μm,光譜儀需要分辨率為不大于10 nm,根據(jù)(39)式,Δλ≤10 nm,因此,對于900～1700 nm波段,光柵常數(shù)d=300 lp/mm,則f1≥25 mm;對于1700～2500 nm波段,光柵常數(shù)d=150 lp/mm,則f1≥50 mm。計算初始結構必須首先確保光線、光學器件不能互相干涉,同時要保證機械裝調(diào)的可能性[17]。

900～1700nm和1700～2500 nm的波長間隔都是800 nm,譜線在像面上分開的距離為l,則

式中θ為中心波長衍射角。使用的探測器尺寸為12.8 mm×0.25 mm,l小于探測器的有效長度,即l＜ 12.8 mm,根據(jù)(40)式,f2≤ 53.33 mm。

900～1700nm波段準直鏡入射角α1=5°,根據(jù)(35)式,聚焦鏡入射角α2=8.61°。初始數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 900～1700 nm波段Czerny-Turner光譜儀初始數(shù)據(jù)Table 1 Initial data of Czerny-Turner spectrometer in the band of 900-1700 nm

根據(jù)第2節(jié)一階消像散計算公式,可以繪出不加柱面鏡像散校正情況;根據(jù)第3節(jié)柱鏡補償剩余像散計算公式,可以繪出加上柱面鏡像散校正情況。圖9(a)為不加柱面鏡的像散隨波長變化曲線,可以看出中心波長附近的像散得到較好的抑制,邊緣波段像散抑制能力較弱。在900～1300 nm范圍內(nèi),SS＞ST;在1300～1700 nm范圍內(nèi),SS＜ST;僅僅依靠一階消像散不能有效抑制全波段的像散,必須借助柱鏡補償像散的方法[14]。由圖9(b)可以看出加上柱面鏡后邊緣波長光線的像散得到了明顯的抑制。

圖9 像散隨波長的變化曲線。(a)不加柱面鏡;(b)加柱面鏡Fig.9 Variation of astigmatism versus wavelength.(a)Without cylindrical mirror;(b)With cylindrical mirror

另外,由圖9(a)可見,在900～1300 nm波段范圍內(nèi),SS＞ST,即一階消像散剩余像散Sremain＞0,則需要柱面鏡像散Scylinder＞0;在1300～1700 nm波段范圍內(nèi),SS＜ST,即Sremain＜0,則需要柱面鏡像散Scylinder＜0。第3節(jié)圖5表示了柱鏡擺放位置所需條件,則對于900～1700 nm波段范圍來說,選圖5(a)中的擺放方式,即柱面鏡傾斜方向與像面相反。

圖10為900～1700 nm波段Czerny-Turner光譜儀光路圖。圖11為900～1700 nm全波段RMS與波長關系圖,可以看出,在全波段范圍內(nèi)RMS的值均小于4μm,像散得到了很好的抑制。圖12為像面光跡圖,波長差10 nm的兩波長可以分辨,分辨率達到要求。

圖10 900～1700 nm波段Czerny-Turner光譜儀光路Fig.10 Optical path of Czerny-Turner spectrometer in the band of 900-1700 nm

圖11 900～1700 nm RMS點半徑隨波長變化圖像Fig.11 Variation of the RMS point radius versus wavelength in the band of 900-1700 nm

圖12 900～1700 nm像面光跡圖Fig.12 Image surface light trace in the band of 900-1700 nm

1700～2500 nm波段準直鏡入射角α1=6°,根據(jù)(35)式,聚焦鏡入射角α2=5.3°。初始數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 1700～2500 nm波段Czerny-Turner光譜儀初始數(shù)據(jù)Table 2 Initial data of Czerny-Turner spectrometer with wavelength in the band of 1700-2500 nm

根據(jù)第2節(jié)一階消像散計算公式,可以繪出不加柱面鏡像散校正情況,圖13即為像散值隨波長的變化。在1700～2500 nm波段范圍內(nèi),SS＞ST,即全程Sremian＞0,此時不適合用柱鏡消像散。

圖14為1700～2500 nm波段Czerny-Turner光譜儀光路圖,圖15為全波段RMS與波長關系圖,可以看出,在全波段范圍內(nèi),RMS的值均小于3μm,像散得到了很好的抑制。圖16為像面光跡圖,波長差10 nm的兩波長可以分辨,分辨率達到要求。

圖13 1700～2500 nm像散隨波長的變化關系Fig.13 Astigmatism versus wavelength in the band of 1700-2500 nm

圖14 1700～2500 nm波段Czerny-Turner光譜儀光路Fig.14 Optical path of Czerny-Turner spectrometer with the wavelength in the band of 1700-2500 nm

圖15 1700～2500 nm全波段RMS點半徑隨波長的變化Fig.15 Variation of RMS point radius with wavelength in the full band of 1700-2500 nm

圖16 1700～2500 nm像面光跡圖Fig.16 Image surface trace diagram in the band of 1700-2500 nm

將前置光路和色散光路組合,圖17即為完整的900～2500 nm波段Czerny-Turner光譜儀光路圖。

圖17 全波段Czerny-Turner光譜儀光路Fig.17 Optical path of the full-band Czerny-Turner spectrometer

5 結論

為了滿足寬波段高光譜Czerny-Turner結構光譜儀的要求,基于像差理論,通過光柵產(chǎn)生的像散補償球面反射鏡的像散,以及通過柱面鏡引入相反像散補償剩余像散,以達到全波段消像散的要求,從而提高Czerny-Turner結構光譜儀成像系統(tǒng)的分辨率。推導出光柵和柱面鏡補償像散的基礎公式,分別設計出波段為900～1700 nm和1700～2500 nm全波段消像散的Czerny-Turner光譜儀成像系統(tǒng),并通過前置光路將兩部分組合。通過ZEMAX的優(yōu)化分析可得,Czerny-Turner光譜儀在全波段范圍內(nèi)不僅達到消像散要求,還得到較好的成像質(zhì)量。