邢艷元

（長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011）

引言

分?jǐn)?shù)階微分方程能夠精確刻畫具有記憶與遺傳特性的各類現(xiàn)象，常用于研究流體力學(xué)、等離子體物理、生物學(xué)、非線性電路中的流動、地震的非線性振蕩、空氣動力學(xué)、熱力學(xué)的規(guī)則變化以及金融等領(lǐng)域中[1-4].分?jǐn)?shù)階微分方程是古典微分方程的推廣，所以應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微分方程可以更好地刻畫一些微觀系統(tǒng)模型，并且具有廣泛的理論和應(yīng)用發(fā)展空間[5，6].

分?jǐn)?shù)階擴散方程常用于各種物理過程的建模當(dāng)中，但只一般研究時間或空間的分?jǐn)?shù)階微分方程的各種邊值問題[7-10].文章利用分?jǐn)?shù)階中心差分構(gòu)造時間空間 Riesz 分?jǐn)?shù)階擴散方程的差分格式，分析其穩(wěn)定性和收斂性，并提供數(shù)值算例驗證理論分析的有效性.

文章考慮了帶有齊次 Dirichlet 邊界條件的時間空間 Riesz 分?jǐn)?shù)階擴散方程

其中，Riemann-Liouville 左、右導(dǎo)數(shù)分別是

1 差分格式的建立

接下來，利用 Diethlem 方法及 Riemann-Liouville 與 Caputo 導(dǎo)數(shù)的關(guān)系離散時間變量，并利用分?jǐn)?shù)階中心差分格式離散空間變量。令得到 Riesz 時間-空間分?jǐn)?shù)階擴散方程 (1) 的逼近格式：

2 穩(wěn)定性和收斂性

下面利用極大模技巧和數(shù)學(xué)歸納法證明穩(wěn)定性.

在表1 中，通過數(shù)值實驗，當(dāng) 分別取1.8、1.6 和1.4 時，得到相應(yīng)的收斂階.雖然取不同的β，但收斂階幾乎是二階精度，與理論結(jié)果一致.由表2 可見，時間收斂階要略小于2-α.

表1 范數(shù)下的空間收斂階

表2 范數(shù)下的時間收斂階