王 哲,趙海濤,劉 揚,陳吉安

（上海交通大學(xué) 航空航天學(xué)院,上海 200240）

航空航天等高端領(lǐng)域?qū)ΧS編織繩索的需求越來越迫切，使得二維編織繩索的應(yīng)用得到迅速的發(fā)展。二維編織技術(shù)是一種通過沿織物成形方向取向的多根纖維束按照特定的規(guī)律傾斜交叉使纖維束交織在一起形成編織物的工藝[1]。通過傳統(tǒng)的設(shè)計方法研制二維編織繩索成本比較高，隨著有限元仿真技術(shù)的成熟，利用有限元仿真方法研究二維編織繩索的力學(xué)性能越來越受到學(xué)術(shù)界的青睞。

目前國內(nèi)外有許多學(xué)者對聚對苯并噁唑（PBO）纖維展開了研。趙婷玉等采用射線輻照的方法研究了PBO 纖維增強有機硅壓敏膠的性能，結(jié)果表明，輻照原位改性可以提升壓敏膠的耐熱性和高低溫力學(xué)性能[2]。冉茂強等探討了PBO 纖維拉伸性能測試的影響因素，得到了測試PBO 纖維拉伸性能的最佳條件，并在最佳條件下測定了其拉伸強度等性能參數(shù)[3]。劉姝瑞等進行了PBO 纖維性能研究，測定了纖維的紫外性能等多項性能，并觀察了處理前后纖維表面形態(tài)的變化[4]。Zhang 等從PBO 纖維分布方面對纖維束強度進行了研究，假設(shè)單根纖維強度的分布函數(shù)符合矩形分布或正態(tài)分布，預(yù)測了纖維束的斷裂過程，還利用威布爾分布對PBO 纖維束的斷裂過程進行了預(yù)測，并與矩形分布和正態(tài)分布進行了比較[5]。

計算機有限元分析的應(yīng)用推動了二維編織繩索的研究。馬曉紅等介紹了編織角及編織結(jié)構(gòu)的變化對復(fù)合材料各種性能的影響、建模方法和二維編織成型原理、纖維在復(fù)合材料中的取向以及建立的實體模型仿真分析[6]。王奇志等通過有限元仿真的方法，對二維編織陶瓷基復(fù)合材料的偏軸拉伸力學(xué)性能進行了預(yù)測，提出了一種有效的數(shù)值模擬方法[7]。Gu 等通過對不同編織角的二維編織碳環(huán)氧復(fù)合管狀繩索進行了漸進式全場變形仿真分析，研究繩索的扭轉(zhuǎn)漸進損傷和失效機理，得出45°的編織角更有利于提高結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)性能[8]。Miao 等提出了一種確定織物微觀幾何形狀模型的靜態(tài)松弛方法，模擬了二維編織過程，采用該方法生成了二維編織織物，并且該方法能夠節(jié)省大量的計算資源[9]。

丁許等研究了編織角對芳綸纖維編織繩索拉伸性能的影響，發(fā)現(xiàn)編織角逐漸增大時紗線在編織繩索軸向的應(yīng)力分量逐漸減小[10]。馬曉紅等對8 種不同工藝參數(shù)的碳纖維管狀編織繩索進行研究，得出編織節(jié)距減小會加重纖維束磨損而出現(xiàn)織物表面的起毛現(xiàn)象[11]。Xu 等通過實驗的方法對尼龍、聚酯、高模量聚乙烯的非線性力學(xué)特性進行了模型實驗研究，采用擴展卡爾曼濾波器準確估計了系統(tǒng)繩索動態(tài)剛度的經(jīng)驗表達式參數(shù)[12]。魏雅斐等介紹了適用于柔性繩索的不同應(yīng)變測試方法，總結(jié)了電測法和光測法的研究進展[13]。韓雷等通過實驗研究了玄武巖纖維二維編織繩索拉伸性能，測得了繩索試件抗拉強度均值[14]。Vu 等采用有限元模擬的方法研究了合成編織繩索力學(xué)性能，并進行了拉伸實驗的驗證，結(jié)果表明，摩擦使得纖維束之間的負荷轉(zhuǎn)移，導(dǎo)致應(yīng)力的不均勻分布[15]。楊超越等對不同節(jié)距二維編織繩索進行研究，結(jié)果表明，拉伸性能隨繩芯節(jié)距增加呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢[16]。

本工作根據(jù)十二股二維編織繩索的編織規(guī)律，建立不同結(jié)徑比的十二股二維編織繩索模型，并截取模型的代表性體積單元，施加周期邊界條件進行有限元分析，針對不同結(jié)徑比的繩索進行拉伸實驗，探究結(jié)徑比對繩索強度的影響。

1 十二股繩索編織規(guī)律

二維編織機按編織物成形的方向分為豎直式編織機和水平式編織機，豎直式編織機的編織物按豎直方向成形，水平式編織機的編織物按水平方向成形，編織機的攜紗器形成一個圓環(huán)，有偶數(shù)個攜紗器，最少8 個，可以以4 的倍數(shù)遞增。

本工作研究的十二股二維編織繩索采用豎直式編織機，主要由機器底盤、驅(qū)動器和攜紗器組成，如圖1（a）所示，機器底盤上有6 個驅(qū)動器，驅(qū)動器工作原理見參考文獻[17]，驅(qū)動器帶動攜紗器做周期性循環(huán)運動，有紅色和黃色各6 個攜紗器，攜紗器帶動纖維束進行編織，得到繩索預(yù)制件。

圖1 圓形編織機（a）和攜紗器運行軌跡（b）Fig.1 Circular knitting machine（a）and yarn carrier running track（b）

攜紗器運行軌跡和初始位置的俯視圖如圖1（b）所示，有2 條運行軌跡，分別用紅色和黃色實線表示，組成6 個相切的圓；紅色和黃色實心點表示攜紗器；攜紗器沿著各自對應(yīng)顏色的軌跡做周期性循環(huán)運動，線速度大小相同，箭頭表示攜紗器的運動方向；以6 個驅(qū)動器的對稱中心為原點，建立平面直角坐標系，當(dāng)攜紗器1 在x軸上時，攜紗器2 與攜紗器1 相對所在驅(qū)動器中心夾角為90°，其他攜紗器的位置可以根據(jù)周期性確定，假設(shè)某個攜紗器沿著軌跡運動一圈回到原始位置視為一個周期，則同一種顏色的攜紗器的相鄰兩個攜紗器間隔為1/6 周期。

2 繩索材料和尺寸測量

十二股二維編織PBO 繩索具有優(yōu)良的性能，繩索的性能主要取決于繩索的結(jié)構(gòu)和所采用的纖維的材料。結(jié)構(gòu)上，此類十二股編織繩索的橫截面呈圓形，磨損多發(fā)生于繩股端點處，但因其圓形截面，使得磨損不如橫截面呈方形的八股編織繩索明顯，強度比一般捻制的繩索更高，由于采用兩組相反方向纖維束編織而成，使得繩內(nèi)的力矩平衡，不易發(fā)生自旋或者起皺；PBO 纖維是一種高性能有機纖維，具有優(yōu)良的性能，與其他高性能纖維比較見表1。由表1 可以看出，PBO 纖維的強度、模量和斷裂伸長率均最高，密度稍高于芳綸纖維但比碳纖維低，由于其性能優(yōu)異，所以備受航空航天領(lǐng)域的廣泛關(guān)注，具有廣闊的應(yīng)用前景[18]。

表1 PBO 纖維與其他高性能纖維的性能比較Table 1 Performance comparison between PBO fiber and other high performance fibers

為建立繩索的二維編織繩索模型，需要測量繩索的外形尺寸，如圖2(a)所示，包括花結(jié)長度L（繩索最小循環(huán)段的長度）和繩索直徑d；花結(jié)長度L和繩索直徑d的比值L/d定義為結(jié)徑比。

圖2 繩索尺寸示意圖（a）繩索的外部尺寸；（b）繩索的內(nèi)部尺寸Fig.2 Schematic diagram of rope dimension（a）external dimension of rope；（b）internal dimension of rope

繩索為直徑相同、花結(jié)長度不同的繩索。取纖維束AB作為研究對象，如圖2（b）所示，纖維束中心線在A、B兩點處的切線水平，繩索直徑d和兩切線之間的距離d1、纖維束半徑r的關(guān)系為：

實際編織相同直徑、不同結(jié)徑比的繩索時，通過調(diào)節(jié)編織機和工藝可以使d1相同，采用同一批次的纖維束則可以保證纖維束半徑r相同，只要d1和纖維束半徑r均相同，根據(jù)式（1）即可編織出直徑d相同的繩索。

選取5 種直徑相同、結(jié)徑比不同的十二股二維編織PBO 繩索作為研究對象，如圖3 所示,各繩索直徑均為d=4 mm，從上到下依次編號為1～5。

圖3 不同結(jié)徑比的繩索Fig.3 Ropes with different knot diameter ratios

各繩索的尺寸測量結(jié)果如表2 所示。

表2 各繩索尺寸測量結(jié)果Table 2 Measurement results of each rope size

3 繩索模型的建立

繩索的每股纖維束隨著位置的變化成周期性變化，每6 個花結(jié)長度為一個周期，在實際繩索6 個花結(jié)長度中，等間距切取繩索的橫截面確定其中一股纖維束截面的中心位置后，保證模型不重疊且交叉方式與實際一致，得到其中心線的三維軌跡，如圖4(a)所示，然后假設(shè)纖維束橫截面為圓形，掃掠得到如圖4(b)所示的一股纖維束的模型，將其平移、旋轉(zhuǎn)后得到繩索模型，如圖4(c)所示。

圖4 繩索模型建立過程示意圖（a）纖維束中心線軌跡；（b）一股纖維束；（c）繩索模型Fig.4 Schematic diagram of rope model building process（a）fiber bundle centerline trajectory；（b）a bundle of fibers；（c）rope model

假設(shè)每股纖維束橫截面為圓形的依據(jù)是：

（1）實際繩索橫截面照片如圖5（a）所示，從圖5（a）可以看出，纖維束斜截面近似為橢圓，因為纖維束與繩索方向有一定的傾斜角度；幾何上，如圖5（b）所示，圓柱的斜截面近似為橢圓，所以纖維束橫截面可以假設(shè)為圓形。

圖5 纖維束橫截面為圓形的依據(jù)（a）繩索橫截面；（b）圓柱斜截面；（c）繩索模型橫截面；（d）纖維束橫截面Fig.5 Basis for round fiber bundle cross section（a）rope cross section；（b）cylindrical oblique section；（c）rope model cross section；（d）fiber bundle cross section

（2）在編織過程中，首先得到的是與實際繩索編織路徑一致的繩索預(yù)制件，然后經(jīng)過拉緊工序后得到最終繩索；拉緊工序使纖維束之間相互擠壓，橫截面會變形，所以可以假設(shè)纖維束橫截面為圓形建立繩索預(yù)制件模型，有限元分析時對繩索預(yù)制件模型施加拉伸載荷，纖維束之間會相互擠壓，橫截面形狀會逐漸趨向于與實際一致，如圖5（c）所示。

（3）取出一股纖維束，再垂直于纖維束切線方向切，得到纖維束的橫截面照片如圖5（d）所示，可以看出，纖維束橫截面近似為圓形。

為了使模型的體積與實際繩索的體積相同，首先采用量筒排水法測量出實際繩索6 個花結(jié)長度的實際體積，以此調(diào)整模型的體積，使6 個花結(jié)長度的繩索模型的體積與實際相符。

4 周期性邊界條件的施加和材料損傷本構(gòu)

4.1 RVE 模型

選取繩索模型一個花結(jié)長度作為代表體積性單元（RVE），通過對繩索RVE 上下表面施加周期性邊界條件以實現(xiàn)對整股繩索的模擬，邊界條件選取一般周期性邊界條件[19]，得到結(jié)果如圖6 所示，其中圖6（a）為周期性邊界條件施加后的RVE，圖6（b）為有限元仿真模擬結(jié)果。

圖6 代表性體積單元強度有限元分析（a）代表性體積單元；（b）有限元仿真模擬結(jié)果Fig.6 Finite element analysis of representative volume element strength（a）representative volume element；（b）finite element simulation results

4.2 周期邊界條件

具有相對平行的成對界面的單胞模型中沿著X軸方向相對平行界面的周期性位移場如式（2）所示：

式中：上標x+和x?表示沿著X軸的正軸方向及負軸方向；ui,?在周期性單胞模型相對面上相等，式（2）中兩式相減得到：

式中：xk,x表示沿著X軸平行相對面的間距，對于一個周期結(jié)構(gòu)xk,x是常數(shù)，當(dāng)給定了平均應(yīng)變載荷后，等式右側(cè)為常數(shù)值，即兩個相對平行的表面位移差為常數(shù)值，因此擴展到其他方向可以寫成：

式（4）可以通過ABAQUS 中的多點約束（multi-point constrains，MPC）來實現(xiàn)，相鄰RVE 之間可以滿足應(yīng)力連續(xù)和位移連續(xù)條件；本節(jié)研究的繩索是非常見的立方體單胞，其只在Y方向陣列，因此只需要在Y方向的對應(yīng)平行面上施加周期邊界條件即可，對于立方體的規(guī)則RVE 結(jié)構(gòu)可以劃分周期性網(wǎng)格，同時基本保證對應(yīng)平行相對面的節(jié)點一一對應(yīng)，本工作研究的繩索結(jié)構(gòu)由于其螺旋的特殊結(jié)構(gòu)無法保證對應(yīng)面節(jié)點一一對應(yīng)，這就導(dǎo)致了常用的周期性邊界條件無法滿足要求，因此采用一般周期性邊界條件。

4.3 一般周期性邊界條件

由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，顯然不適用周期性的網(wǎng)格劃分，非周期性的網(wǎng)格將直接導(dǎo)致主平面單元的某個節(jié)點M位移到對應(yīng)面的某個單元內(nèi)，通過與包含節(jié)點M投影的單元節(jié)點位移插值，節(jié)點M的位移可表達為：

式中：矩陣u代表節(jié)點M的位移；矩陣N代表對應(yīng)面上包含節(jié)點M的單元形函數(shù)；矩陣δ為節(jié)點M周圍單元的節(jié)點位移。

單胞模型的網(wǎng)格選取四面體單元C3D4 進行劃分，因此主平面單元節(jié)點M周圍單元為三角形單元，因此節(jié)點M的位移可以表達為：

點M所對應(yīng)的三角形單元的節(jié)點表示為Si(i=1,2,3)，位移插值函數(shù)為Ni(i=1,2,3)。三角形面積坐標與所處平面直角坐標聯(lián)系如圖7。

圖7 三角形面積坐標與直角坐標之間的關(guān)系Fig.7 Relation between triangle area coordinates and cartesian coordinates

其中，S1(xi,yi),S2(xj,yj),S3(xm,ym)表示在直角坐標系中三角形單元頂點的位置，M(x,y)表示在直角坐標系中主平面單元節(jié)點M的位置，則△S1S2S3、△S2S3M、△S1S3M及△S1S2M面積A、Ai、Am、Aj在直角坐標系中可表示為：

其中

則面積坐標表達式為：

三角形單元的位移插值函數(shù)在面積坐標中可表示為：

4.4 材料本構(gòu)模型

由于存在明顯的塑性斷裂過程，采用彈塑性延性損傷本構(gòu)理論，塑性硬化采用各向同性硬化，采用ABAQUS 自帶的延性損傷準則判斷材料的損傷起始、擴展以及完全破壞。圖8 為材料在延性損傷準則下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

如圖8 所示，當(dāng)材料損傷曲線上出現(xiàn)明顯屈服應(yīng)力軟化和彈性退化時，表示出現(xiàn)了材料損傷，材料損傷由損傷變量D描述。斷裂能Gf表示如式（12）：

圖8 材料損傷累積應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.8 Cumulative stress-strain relationship curve of material damage

式中：L為單元特征長度，與單元網(wǎng)格尺寸有關(guān)；定義為材料完全損傷時的塑性位移。和分別表示損傷變量D為0（材料初始破壞）和1（材料完全破壞）時的等效塑性應(yīng)變。σy0為材料的應(yīng)力承載達到最大值時的屈服應(yīng)力。其中，等效塑性位移經(jīng)式（11）簡化得：

5 繩索強度影響因素的有限元數(shù)值分析與實驗

圖9 為繩索局部示意圖。繩索受到拉力時，纖維束C 受到相鄰兩個纖維束A、B 的擠壓力，其大小相等、方向相反、作用線相隔很近，兩擠壓力作用的截面沿著相反方向發(fā)生錯動，從而使纖維束C 發(fā)生剪切變形。由于繩索是周期性循環(huán)，且高度對稱結(jié)構(gòu)，所以每股纖維束都受到相鄰纖維束的擠壓力而形成剪切力，而拉力和剪切力大小影響繩索的強度且與繩索結(jié)構(gòu)有關(guān)，繩索結(jié)構(gòu)又由結(jié)徑比決定，結(jié)徑比越大相鄰纖維束之間的夾角θ越小。

圖9 繩索局部放大示意圖Fig.9 Schematic diagram of partial enlargement of rope

因為繩索結(jié)構(gòu)和纖維束之間的擠壓力即接觸面均非常復(fù)雜，本節(jié)運用第4 節(jié)的理論，對纖維直徑相同、結(jié)徑比不同的繩索模型進行有限元仿真分析，探究結(jié)徑比與繩索強度的關(guān)系。

5.1 結(jié)徑比對繩索強度的影響

繩索直徑一定時，花結(jié)長度越小則結(jié)徑比越??；圖10（a）為纖維束直徑相同、結(jié)徑比依次增大的繩索模型，本節(jié)通過對該系列繩索模型仿真分析，探究結(jié)徑比對繩索強度的影響，得到繩索模型能承受的最大拉力的仿真結(jié)果如表3 和圖10（b）、（c）所示。

從表3 和圖10（c）結(jié)果得出，纖維束直徑相同時，隨著結(jié)徑比的增大，繩索能承受的最大拉力先增大后基本不變，因為繩索的結(jié)徑比較小時，更偏向于因纖維束之間的擠壓力而剪斷，因為纖維的剪切強度遠小于其拉伸強度，所以繩索能承受的最大拉力隨著結(jié)徑比的增大而先增大，當(dāng)結(jié)徑比增大到1.0 左右時，再繼續(xù)增大結(jié)徑比，纖維束之間的擠壓力減弱，繩索更偏向于被拉斷，因為纖維束直徑相同，所以繩索能承受的最大拉力先基本不變。本工作編織方法得到的十二股二維編織繩索有特定的臨界結(jié)徑比[N] 值，假設(shè)繩索模型結(jié)徑比用N表示，那么，如果N＜[N]，則更容易被纖維束之間的擠壓力剪斷；如果N=[N]，則繩索是處在被拉斷和纖維束之間的擠壓力剪斷臨界點；如果N＞[N]，則該材料的繩索受拉時更偏向于被拉斷，即纖維編織而成的繩索存在一個特定的結(jié)徑比，在該節(jié)徑比下繩索破壞模式發(fā)生轉(zhuǎn)變。

表3 不同花結(jié)長度的繩索模型能承受的最大拉力Table 3 Maximum tensile strength of rope models with different knot lengths

圖10 繩索模型及其有限元分析結(jié)果（a）纖維束直徑相同、結(jié)徑比依次增大的繩索模型；（b）仿真結(jié)果；（c）繩索模型能承受的最大拉力Fig.10 Rope model and its finite element analysis results（a）rope model with the same fiber bundle diameter and increasing knot diameter ratio；（b）simulation results；（c）maximum tensile force that the rope model can bear

5.2 不同結(jié)徑比的繩索拉伸實驗

實驗儀器采用SUNS 單軸拉伸試驗機及纏繞式夾具，將繩索的下端固定不動，上端與拉伸機夾具連接隨夾具向上運動，受到的拉力逐漸增大，直到拉斷，拉伸機實時記錄此拉力的變化過程。

通過對第2 節(jié)中不同結(jié)徑比的繩索進行拉伸實驗，每種結(jié)徑比的繩索做3 次實驗，得到繩索承受的最大拉力，然后分別求平均值，實驗結(jié)果如表4 所示。

表4 繩索的拉伸實驗結(jié)果Table 4 Tensile test results of rope

各試件能夠承受的最大拉力實驗值的平均值與模擬結(jié)果對比，如圖11 所示，可以看出，實驗結(jié)果與模擬結(jié)果一致：隨著結(jié)徑比增大，繩索能夠承受的最大拉力先顯著增大后基本不變。

圖11 模擬結(jié)果和實驗結(jié)果對比Fig.11 Comparison between simulation results and experimental results

6 結(jié)論

（1）實際十二股編織PBO 繩索在受到拉力時，繩索抗拉性能受拉力和各股纖維束之間擠壓力形成剪力兩個因素影響。

（2）通過施加周期性邊界條件進行有限元模擬，繩索直徑一定，當(dāng)結(jié)徑比較小時，纖維束之間的擠壓力而產(chǎn)生的剪切力為影響繩索強度的主要因素，繩索強度隨著結(jié)徑比的增大而增大；而結(jié)徑比增大到某一特定值時，再繼續(xù)增大結(jié)徑比纖維束之間的擠壓力減弱，繩索破壞因素轉(zhuǎn)為被拉斷，即繩索存在一個特定的臨界結(jié)徑比，大于該結(jié)徑比下材料抗拉強度才能充分發(fā)揮，但結(jié)徑比過大的繩索容易松散，適中的結(jié)徑比更具實用性。

（3）纖維束橫截面假設(shè)為圓形，不可避免會使模型中存在空隙，實際繩索是緊密結(jié)構(gòu)，而模型建立時已經(jīng)盡可能緊湊將空隙降到最小，使得模擬值與實驗值基本一致，能反映出實際規(guī)律。