李清祿,王思瑤,張靖華

（蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院,蘭州 730050）

多孔材料是一種兼具功能和結(jié)構(gòu)雙重屬性的工程材料，其綜合性能優(yōu)異，可應(yīng)用于航空、航天、航海等諸多領(lǐng)域[1-2]。為適應(yīng)航空、航天、航海等在輕量化、多功能、高強(qiáng)度等方面的需要，制造了集功能梯度材料和多孔材料兩者特點(diǎn)于一身的新型工程材料——梯度多孔材料。梯度多孔材料是一類輕質(zhì)材料，其材料性能的變化是連續(xù)的，即這些性能隨結(jié)構(gòu)一個(gè)或多個(gè)方向的位置變化而變化，以達(dá)到所需的目的。梯度多孔材料結(jié)構(gòu)由于其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，在航空、航天、海洋等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。近二十年來，由于梯度多孔材料的應(yīng)用，使得人們對(duì)這些材料力學(xué)行為進(jìn)行了大量的研究[3-5]。飛機(jī)起飛后進(jìn)入大氣層，跟大氣層的摩擦溫度會(huì)急劇增加，另外會(huì)遇到雷雨等極端濕度環(huán)境，其濕-熱環(huán)境下的力學(xué)行為是科技工作者關(guān)注的問題。從工程實(shí)際考慮，機(jī)械結(jié)構(gòu)的很多連接部分在力學(xué)角度都簡(jiǎn)化為鉸接，因此研究簡(jiǎn)支梁的力學(xué)行為更符合工程實(shí)際問題。

多孔梯度材料的研究主要集中在材料的制備方面。楊保軍等[6]對(duì)梯度多孔金屬材料制備工藝和研究應(yīng)用概況做了詳細(xì)報(bào)道。李元偉等[7]介紹納米多孔金屬材料的幾種制備方法，指出其應(yīng)用及其力學(xué)性能的研究現(xiàn)狀。郭亞周等[8]研究閉孔泡沫金屬的單軸壓縮性能，基于 LS-DYNA 軟件分析閉孔泡沫金屬壓縮力學(xué)性能。劉培生等[9-11]運(yùn)用自行提出的“八面體模型”，比較全面地研究網(wǎng)狀泡沫金屬的系列力學(xué)性能，包括拉伸強(qiáng)度、彈性模量、雙向拉伸、多向拉壓、疲勞指標(biāo)及其彎曲、扭轉(zhuǎn)、剪切等方面。梁結(jié)構(gòu)是工程中常見的結(jié)構(gòu)之一，因此有必要對(duì)梯度多孔梁在機(jī)械或其他環(huán)境下的力學(xué)行為進(jìn)行研究。

Magnucki 等[12]利用總勢(shì)能的穩(wěn)態(tài)原理，計(jì)算軸向受壓多孔梁的臨界屈曲荷載，并給出了兩種孔隙率分布多孔材料。Jasion 等[13]對(duì)三層泡沫夾芯梁進(jìn)行分析、數(shù)值和實(shí)驗(yàn)研究，比較不同方法得到的臨界屈曲荷載值。Chen 等[14]采用Ritz 方法研究功能梯度多孔Timoshenko 梁的屈曲和靜態(tài)彎曲行為。李麗等[15]基于多孔介質(zhì)理論，分析大撓度彈性梁在微觀不可壓飽和情況下的擬靜態(tài)響應(yīng)解，但在研究中沒有考慮梁的軸線伸長(zhǎng)。Navvab 等[16]對(duì)二維梯度多孔錐形Euler-Bernoulli 梁的屈曲行為進(jìn)行詳盡的分析。

工程中存在一種隨結(jié)構(gòu)的變形而方向發(fā)生變化的隨從力。例如，航空航天的火箭和噴氣式飛機(jī)均引起隨從力，這種非保守的隨從力將引起機(jī)翼的顫振。另外機(jī)箱儲(chǔ)油罐內(nèi)液體的壓力也屬于這類力。因此研究這類載荷下的力學(xué)行為具有現(xiàn)實(shí)的工程背景。李清祿等[17]研究熱環(huán)境下非對(duì)稱FGM 梁受到隨從載荷的非線性力學(xué)響應(yīng)，指出均勻和非均勻升溫對(duì)梁彎曲和屈曲行為有較大的影響。正如文獻(xiàn)[18]指出，梯度材料的力學(xué)性能是制約其應(yīng)用的一個(gè)重要因素，梯度多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的研究是目前國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)問題之一，但大都集中在綜述和制備方面。從文獻(xiàn)的調(diào)研來看，關(guān)于梯度多孔梁在外載荷下的力學(xué)行為的研究不多，而隨從載荷下的力學(xué)行為的文獻(xiàn)報(bào)道十分鮮見。

本研究精確考慮梁的軸線伸長(zhǎng)，研究濕-熱-機(jī)(特指航空飛機(jī)上受到的隨從載荷)梯度多孔材料簡(jiǎn)支梁的非線性力學(xué)行為，假設(shè)材料性質(zhì)只沿材料厚度變化，考慮兩種孔隙率分布的梯度多孔梁，建立濕-熱-機(jī)多變量耦合梯度多孔材料簡(jiǎn)支梁的大變形數(shù)學(xué)模型，采用打靶法將多變量耦合的控制微分方程進(jìn)行數(shù)值求解，獲得簡(jiǎn)支多孔梁的在濕/熱環(huán)境下彎曲或屈曲的平衡路徑曲線和平衡構(gòu)形圖，分析對(duì)稱和非對(duì)稱模型下梁的非線性力學(xué)行為的不同。

1 梯度多孔材料梁

考慮處于濕熱環(huán)境中的梯度多孔材料梁，其長(zhǎng)、寬、高分別為l×b×h。軸線方向?yàn)閤軸，厚度方向?yàn)閦軸，坐標(biāo)原點(diǎn)置于梁左側(cè)且xoz位于幾何中面上。溫度T和濕度C沿厚度方向穩(wěn)態(tài)分布，且梁上作用沿軸線均勻分布的隨從載荷q如圖1 所示。

圖1 梯度多孔簡(jiǎn)支梁的變形示意圖Fig.1 Deformation diagram of gradient porous simply supported beam

1.1 梯度多孔材料

圖2 所示為兩種非均勻孔隙率分布或FG 孔隙率分布模型，分別是由Beam-Ⅰ和Beam-Ⅱ定義的模型。

圖2 兩種孔隙分布模式（a）對(duì)稱模型；（b）非對(duì)稱模型Fig.2 Two patterns of porosity distributions（a）symmetric model；（b）asymmetric model

假設(shè)多孔材料的力學(xué)性能沿厚度方向連續(xù)變化，材料屬性即楊氏模量E(z)、熱膨脹系數(shù)α(z)和濕膨脹系數(shù)β(z)，如下式所示[14]：

Beam-Ⅰ為關(guān)于幾何中面對(duì)稱模型

Beam-Ⅱ?yàn)殛P(guān)于幾何中面不對(duì)稱模型

式中：e0為材料的孔隙率系數(shù)，e0=1?E2/E1(0

1.2 溫度場(chǎng)和濕度場(chǎng)

記上表面的溫度和濕度記為Tt和Ct，下表面的溫度和濕度記為Tb和Cb，Tr=Tt/Tb，Cr=Ct/Cb；且梁兩側(cè)溫度和濕度都均勻分布。

對(duì)于線性濕熱上升，溫度和濕度特性可寫為：

當(dāng)多孔材料處于正弦濕熱上升時(shí)，溫度和濕度呈非線性變化：

取基礎(chǔ)溫度T0=300 K，濕度C0=0%(質(zhì)量分?jǐn)?shù)/%，下同)。

文獻(xiàn)[19]指出：對(duì)多孔材料，取非均勻線性變化的溫度和濕度場(chǎng)就能描述工程中濕熱帶來的影響。因此，本工作考慮只沿厚度方向呈線性變化的情況。

2 控制微分方程

式中：彈性應(yīng)變；溫度應(yīng)變?yōu)棣臫=α(z)·(T?T0)；濕度應(yīng)變?yōu)棣臗=β(z)·(C?C0)。θ為梁變形后撓曲線的切線與x軸正向夾角；η為軸線伸長(zhǎng)率。

結(jié)合文獻(xiàn)[17]，[20] 可給出無量綱形式的非線性控制微分方程如下：

式中：S為梁軸線弧長(zhǎng)；U和W分別為軸線上的點(diǎn)在x，z方向的位移；PH和PV代表橫截面內(nèi)沿x，z方向的內(nèi)力分量；M為彎矩。

上述方程的無量綱變換如下：

熱軸力和熱彎矩為：

濕軸力和濕彎矩為：

式中：τ=12δ2α1Tb，τ′=12δ2β1Cb。

對(duì)Beam Ⅰ模型：

對(duì)Beam Ⅱ模型：

相應(yīng)的量綱一邊界條件為：

式中：β為梁的左端轉(zhuǎn)角。這樣，梯度多孔簡(jiǎn)支梁在濕-熱-機(jī)(隨從載荷) 下的非線性力學(xué)問題就歸結(jié)為方程(12)～(14) 在邊界條件(26) 和（27）下的兩點(diǎn)邊值問題。

3 數(shù)值結(jié)果及討論

方程(12)～(14)是多變量相互耦合的強(qiáng)非線性方程組，只能通過數(shù)值方法求其數(shù)值解。常用的數(shù)值方法有插值法、利茲法、微分求積法等。而打靶法在求兩點(diǎn)邊值微分方程中具有不可比擬的優(yōu)勢(shì)，計(jì)算結(jié)果不依賴于前面幾種方法需要依賴網(wǎng)格的劃分，計(jì)算耗時(shí)少且精度高，本研究采用打靶法進(jìn)行數(shù)值模擬。其原理可參考文獻(xiàn)[21]的描述。

對(duì)鋼做成的開孔泡沫金屬梁，其E0=200 GPa，α1=1.2×10?5/K?1，β1=5×10?4。為了分析濕-熱條件下的多孔材料梁的力學(xué)行為與非濕-熱環(huán)境下有何不同，只考慮隨從載荷的情況下(T=0，C=0)，繪制出了圖3 和圖4。

圖3 不同孔隙率下β-Q 的關(guān)系曲線（Beam Ⅰ）Fig.3 β vs Q for different porosity e0（Beam Ⅰ）

圖4 不同孔隙率下β-Q 的關(guān)系曲線（Beam Ⅱ）Fig.4 β vs Q for different porosity e0（Beam Ⅱ）

圖3 和圖4 給出了左端轉(zhuǎn)角隨載荷Q的變化情況。顯然，Beam I 模型下梯度多孔梁會(huì)發(fā)生屈曲失穩(wěn)，而Beam II 模型梁則不會(huì)出現(xiàn)屈曲，而是在外力影響下產(chǎn)生彎曲變形。同時(shí)，圖3 中反映出孔隙率越大，梁發(fā)生失穩(wěn)時(shí)的臨界載荷越小，其臨界載荷隨孔隙率變化的關(guān)系曲線單獨(dú)在圖5 中給出，可以看出，臨界載荷隨孔隙率的變化是線性遞減的，特別地，e0=0時(shí)，梯度多孔梁退化成了均勻材料梁，其相應(yīng)發(fā)生屈曲的臨界載荷Qcr=18.97。這個(gè)結(jié)果和文獻(xiàn)[22]中的解析解完全吻合，說明打靶法在該問題中的適用性，以及計(jì)算結(jié)果的可靠性。另外，圖3 和圖4 表明：梁屈曲和彎曲之后，同一個(gè)載荷會(huì)對(duì)應(yīng)兩個(gè)屈曲和彎曲構(gòu)形圖，這個(gè)問題工程上需要引起重視。

圖5 e0-Q 的關(guān)系曲線（Beam Ⅰ）Fig.5 Realationship curves of e0-Q（Beam Ⅰ）

給定非均勻溫度和非均勻濕度條件下，圖6 和圖7 分別為Beam Ⅰ和Beam Ⅱ模型梁在不同孔隙率系數(shù)下的非線性力學(xué)行為。顯然Beam Ⅰ和Beam Ⅱ下，多孔梯度梁的力學(xué)行為存在顯著的差異。首先從圖6 和圖3 比較來看，濕-熱環(huán)境下多孔梁和非濕-熱環(huán)境下的多孔梁力學(xué)行為是不同的，濕-熱環(huán)境下梁也不會(huì)表現(xiàn)出屈曲，而是彎曲行為。剛開始隨隨從載荷的增加，梁的變形幾乎為零，說明機(jī)械載荷作用的初始，梁具有很大的抗彎曲變形的能力。之后，隨著變形的增加，需要的機(jī)械載荷減小，然后隨變形增加所需隨從載荷又增加，大約在β=125°，隨從載荷出現(xiàn)極值，之后載荷再次減小。說明非濕-熱條件下，梁發(fā)生屈曲后，屈曲構(gòu)形對(duì)應(yīng)著兩種平衡路徑，而濕-熱環(huán)境中，梁的彎曲構(gòu)形是三種平衡路徑。其他載荷(保守載荷)下對(duì)應(yīng)著單構(gòu)形是不同的力學(xué)現(xiàn)象。

圖6 濕-熱條件下Beam Ⅰ梁在不同孔隙率下β-Q 的關(guān)系曲線Fig.6 β vs Q of Beam Ⅰfor different porosity under wet-heat condition

圖7 濕-熱條件下 Beam Ⅱ 梁在不同孔隙率下β-Q 的關(guān)系曲線Fig.7 β vs Q of Beam Ⅱ for different porosity under wet-heat condition

圖7 中反映出，Beam Ⅱ模型下的非線性力學(xué)行為和Beam Ⅰ下的巨大差異。數(shù)值計(jì)算表明：e0<0.48時(shí)BeamⅡ模型下的力學(xué)行為和BeamⅠ模型下的力學(xué)行為相似，即一個(gè)隨從載荷對(duì)應(yīng)三個(gè)彎曲構(gòu)形；當(dāng)e0接近0.45時(shí)，逐漸過渡到一個(gè)隨從載荷對(duì)應(yīng)兩個(gè)彎曲構(gòu)形的趨勢(shì)；當(dāng)e0=0.48時(shí)的這一時(shí)刻，梁發(fā)生彎曲時(shí)的左端轉(zhuǎn)角隨載荷的增加非線性單調(diào)增加。另外，將圖7 和圖4 比較發(fā)現(xiàn)，同樣是Beam Ⅱ梁，如果沒有濕-熱條件的影響，各種e0下的力學(xué)行為曲線具有相似的變化規(guī)律。而濕-熱環(huán)境下，e0>0.48時(shí)彎曲又是單構(gòu)形的，即一個(gè)載荷只對(duì)應(yīng)一個(gè)轉(zhuǎn)角。因此，e0=0.48是一個(gè)閥值，在這個(gè)值前后Beam Ⅱ梁的力學(xué)行為會(huì)出現(xiàn)突變。

圖8 為Beam Ⅰ梁的孔隙率一定(e0=0.2)，給定濕度Cb=1%，Ct=2%情況下，不同非均勻溫度場(chǎng)中的非線性力學(xué)響應(yīng)。圖8 中可見不同非均勻升溫下的多孔梁彎曲變形規(guī)律相似，且同一個(gè)外載荷仍然對(duì)應(yīng)著三個(gè)彎曲構(gòu)形，隨著非均勻升溫的增加，在三個(gè)構(gòu)形內(nèi)梁的變形交替增大或減小。從數(shù)據(jù)分析可知，不同濕度下的第一和第三彎曲構(gòu)形幾乎相同，而第二構(gòu)形(指中間的構(gòu)形)是顯著不同，這和圖8 給出的情況是一致的。

圖8 不同非均勻升溫下，梯度多孔Beam Ⅰ梁的U ?Q關(guān)系曲線Fig.8 U -Q curves of graded porous Beam Ⅰ under different non-uniform temperature rises

為了進(jìn)一步說明圖8 中刻畫出的力學(xué)響應(yīng)，圖9 給出了溫度一定(Td=300 K，Tt=600 K)，Q=20，非均勻濕度下，Beam I 梁的彎曲構(gòu)形圖。比如實(shí)線代表?C=1時(shí)的三種構(gòu)形，即相同載荷、相同濕熱條件下有β=1.8°、42.8°、173.2°三種彎曲狀態(tài)(這里稱為第一、第二和第三彎曲構(gòu)形)。由圖9 可見，不同濕度下，第一和第三彎曲構(gòu)形幾乎重合，而第二彎曲構(gòu)形差異較大，隨著濕度的增加，梁的變形減小。圖9 的彎曲構(gòu)形圖和圖8 的平衡路徑曲線是相一致的。

圖9 不同濕度下梯度多孔Beam Ⅰ梁的彎曲構(gòu)形圖Fig.9 Bending configuration of gradient porous Beam Ⅰ under different humidities

4 結(jié)論

（1）非濕熱環(huán)境下，Beam Ⅰ梁發(fā)生屈曲行為，且臨界載荷隨材料孔隙率線性單獨(dú)遞減；而BeamⅡ梁不發(fā)生屈曲。

（2）非均勻濕熱條件下，Beam Ⅰ梁和BeamⅡ梁都是發(fā)生彎曲變形；其中變形過程中，BeamⅠ梁的三個(gè)變形時(shí)刻會(huì)對(duì)應(yīng)同一個(gè)隨從載荷；當(dāng)孔隙率系數(shù)e0>0.48時(shí)，Beam Ⅱ梁的彎曲行為是隨載荷非線性增加的。

（3）給定濕度條件，隨著非均勻升溫的增加，BeamⅠ梁的變形先增加后減小然后再次增大。整個(gè)變形過程會(huì)對(duì)應(yīng)兩個(gè)極值載荷。

（4）非對(duì)稱孔隙率分布和均勻孔隙率分布下的濕-熱-機(jī)力學(xué)行為存在顯著差異，尤其對(duì)非對(duì)稱孔隙率分布梁來講，e0=0.48是一個(gè)閾值，該值之前的力學(xué)行為和對(duì)稱分布類似，即一個(gè)載荷對(duì)應(yīng)三個(gè)彎曲構(gòu)形時(shí)刻，而超過這個(gè)值之后，同一載荷只對(duì)應(yīng)一個(gè)彎曲構(gòu)形。