徐夢瑤 郭俏婷

【摘? ?要】通過概念構(gòu)圖教學，可以實現(xiàn)思維可視化、知識結(jié)構(gòu)化、理解深刻化。以《周長與面積的關系》拓展課教學為例，教師可通過三次構(gòu)圖促使學生對“周長”與“面積”概念進行有效區(qū)分，以實現(xiàn)教學從“傳授知識點”向“培養(yǎng)理解力”的轉(zhuǎn)變，實現(xiàn)理解從“多點結(jié)構(gòu)水平”向“拓展抽象水平”的發(fā)展。

【關鍵詞】概念構(gòu)圖;理解;周長;面積

在小學數(shù)學概念教學中，“周長”和“面積”是與平面圖形有關的兩個概念。這兩個概念分別安排在人教版教材三年級上、下兩冊中。上冊教材在呈現(xiàn)“周長”概念后，安排了矩形（長方形、正方形）周長計算的相關內(nèi)容。下冊教材在呈現(xiàn)“面積”概念后，安排了矩形面積計算的相關內(nèi)容。圖形的周長和面積是兩種不同的度量問題，周長是關于圖形邊長的度量（矩形中，是邊長之和），面積是關于圖形大小的度量。這兩種度量的計算都關系到圖形的邊（矩形中的邊長），學生若不能深刻理解這兩個概念的內(nèi)涵，就非常容易將它們混淆。

為解決概念混淆的問題，我們借助概念構(gòu)圖設計了一節(jié)探究拓展課，通過三次構(gòu)圖促使學生對周長與面積進行有效區(qū)分，即初學構(gòu)圖，探究周長與面積的關系;二次構(gòu)圖，梳理周長與面積的關系;修正構(gòu)圖，完善周長與面積的關系。在這個過程中，學生將知識點串成線，連成網(wǎng)，進一步提高了抽象水平，實現(xiàn)從“點狀”到“網(wǎng)狀”的結(jié)構(gòu)化建構(gòu)。

一、初學構(gòu)圖，探究周長與面積的關系

我們知道，理解是建立在學生已有的知識經(jīng)驗基礎上的，教師只有充分把握學生的認知起點，才能精準、有效地開展課堂教學。于是，我們讓學生在學習周長與面積的基礎上，進行自主構(gòu)圖。從學生的課前構(gòu)圖（如圖1）中可以看出，學生的理解表現(xiàn)出這樣兩個特點：（1）頭腦中有很多知識點（如周長與面積的概念、單位、相關的計算公式等），但這些知識點是分散零碎的。（2）“周長”與“面積”是兩個獨立的教學內(nèi)容，它們的學習有半年的間隔時間，因此有的學生在“關系”這里打了問號，提出“周長與面積之間是否存在一定的關系”“當周長一定或面積一定時，周長與面積存在怎樣的關系”等問題。

由于尋找“周長”與“面積”間的關系需要用到較多的知識點，學生在關系理解中往往會表現(xiàn)出混亂、模糊的狀態(tài)。讓學生課前把自己的認識用概念構(gòu)圖呈現(xiàn)出來，不僅有利于喚醒學生已有的知識經(jīng)驗，而且能暴露學生存在的疑惑和學習需求，為深入學習奠定基礎。

二、二次構(gòu)圖，梳理周長與面積的關系

從學生的課前構(gòu)圖可知，學生對“周長”與“面積”這兩個獨立概念已經(jīng)有深刻的認識。因此教師可以從問題引入，激發(fā)學生思考。教師鼓勵學生先利用表格和圖式深入分析、探尋本質(zhì)屬性，再利用變式拓展，讓學生在變與不變中體會兩者的關聯(lián)，最后利用概念構(gòu)圖把自己的發(fā)現(xiàn)串聯(lián)成線，初步歸納周長與面積的關系，生發(fā)新的理解。

【核心活動一】

師：從大家的課前構(gòu)圖中看出，同學們對“周長與面積有什么關系”非常感興趣，接下來我們一起來研究。先思考這樣一個問題：用16厘米長的鐵絲圍長方形，長方形的面積情況是怎樣的？

（學生獨立思考后，教師呈現(xiàn)學生不同的作品，如圖2）

師：觀察思考這三個作品，你贊同誰的？說說你的理由。

生：作品①肯定是錯的。題目的意思是周長是16厘米，他理解成了面積是16平方厘米。

生：作品②也錯了。因為長方形的周長=（長+寬）×2，所以長+寬=16÷2=8（厘米），而這里長加寬的和變成了16厘米，所以肯定錯了。

生：我認為作品③是對的。我還發(fā)現(xiàn)這些長方形的周長都是16厘米，長和寬的長度越接近，面積就越大，圍成正方形時面積最大。

師：為什么當周長一定時，長和寬越接近，面積就越大？誰有辦法說清楚嗎？

生：我用的是數(shù)格子的方法。我發(fā)現(xiàn)當邊長是4格長的時候，面積的格子數(shù)是最多的（如圖3）。

生：長方形的長少了1格，寬多了1格，周長不變。格子數(shù)從1行變成2行，數(shù)量變多了（如圖4）。

生：長方形的寬多了1格，就增加了1行;長少了1格，就減少了1列，格子總數(shù)就是加6減1。周長沒有變，面積增加5格。（學生手指圖4進行講解）

通過錯例分析，尋找理解上的“模糊點”，是推動學生深化理解的有效途徑。教師以“數(shù)形結(jié)合”為理解手段，借助格子圖上的演示和比較，幫助學生明晰規(guī)律及其背后的原理。在這樣的過程中，學生自然而然地感悟到兩個概念的本質(zhì)區(qū)別，同時建立起“長方形的周長相等時，長度和寬度越接近，面積越大”的規(guī)律。

【核心活動二】

師：如果用12厘米長的鐵絲一面靠墻圍長方形，怎么圍面積最大？

生：當邊長是4厘米時正方形面積最大，最大面積是16平方厘米。

生：當長是6厘米、寬是3厘米的時候，面積有18平方厘米，更大。

師：不是說當周長一定時，正方形的面積最大嗎？這里為什么不對了？

生：這里是靠墻圍長方形，12厘米是鐵絲的長度，不是周長。

師：那是不是我們前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律不對呢？為什么面積為18平方厘米一定是最大值？誰有辦法說清楚？

生：如果我們在墻的另一邊也畫一個同樣的長方形，就變成了正方形。這個時候周長是24厘米，邊長是6厘米。這時靠墻圍成的長方形的長是寬的2倍，這時的面積最大。（學生手指圖5進行講解）

師：通過剛才的活動，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：一面靠墻圍長方形，當長是寬的2倍時，面積最大。

生：解決一邊靠墻圍長方形問題的辦法是將周長×2，也就是使長方形的2倍成為正方形的時候，面積最大。

生：周長相等，面積不一定相等，圍成正方形時面積最大。

學生習慣用遷移的方法把對一個問題的理解轉(zhuǎn)化到另一個問題的解決上，這樣的思考有時有助于學生理解，有時也會導致學生出現(xiàn)錯誤認知。教學中，教師要有效利用學生的主張進行思辨、探究，以推動學生形成更高級的認知。由此可見，受“核心活動一”的遷移，學生很容易認為當圍成正方形時面積最大。而事實并不是這樣，學生發(fā)生了認知沖突，很自然地會去追尋原因，從不同的角度進行延伸性思考。根據(jù)周長的本質(zhì)意義，并借助圖式進行理解，同樣能運用之前發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解釋“一面靠墻圍長方形，當長是寬的2倍時，面積最大”。學生在主動思考與交流的過程中會加深理解，提升數(shù)學思維能力。9BA11DD7-ECD9-40AD-8B7E-DA23BDE4241B

【核心活動三】

師：有同學在課前構(gòu)圖中提出“當周長一定或面積一定時，周長與面積存在怎樣的關系”，現(xiàn)在你能將概念構(gòu)圖補充得更完整嗎？

（學生獨立思考后呈現(xiàn)各自的想法）

師（出示圖6～圖8）：這是幾位同學的概念圖，你看懂了嗎？

生：我看懂了圖6。周長一定時，長與寬越接近面積越大，正方形的面積最大;當一面靠墻時，可以把墻看成對稱軸，變成正方形，當圖形的長是寬的2倍時，面積最大。

生：圖7指出了周長是邊線長度的總和，面積是邊線圍成區(qū)域的大小。它們的關系和圖6表示的是一樣的。

生：圖8比圖7更完善，它指出了“正方形的面積最大”是屬于“長與寬越接近，面積越大”的一種特殊情況。

學生的深度理解需要思維的積極參與，讓思維可見對于促進學生深度理解有著重要的作用。教師利用直觀的概念圖，把不可見的思維過程和結(jié)構(gòu)直觀地呈現(xiàn)出來，能讓學生精準地把握重點，理解知識點之間的關聯(lián)。

三、修正構(gòu)圖，完善周長與面積的關系

通過以上構(gòu)圖過程，學生可以在一個輕松自由的對話環(huán)境中相互補充、完善理解。這個過程能夠促使學生進行主動思辨，在與同伴的對話中不斷地修正、拓展和超越原始理解。

師：根據(jù)剛才幾位同學表示出的周長與面積的關系，你們有新的想法或補充嗎？可以四人小組相互討論完成。

（小組討論重新構(gòu)圖，如圖9、圖10）

師：誰能來介紹一下你們組的想法？

生：圖9是我們組修正后的概念圖。它表示的規(guī)律和圖8是一樣的，我們還表示出了“一面靠墻時把墻看成對稱軸變成軸對稱圖形”這一規(guī)律。

生：圖10是我們組修正后的概念圖。我們認為要厘清周長與面積的關系，首先要明確這兩個概念的本質(zhì)區(qū)別。因此我們把兩者的意義放在前面，由此形成了一定的關系。

師（小結(jié)）：現(xiàn)在你對周長與面積的關系有了什么新的理解？請修正你的構(gòu)圖。

（學生修正構(gòu)圖，完成后在教室里展出）

學生通過不斷補充、修正概念圖來建立知識間的關聯(lián)。隨著構(gòu)圖、展圖、論圖、正圖活動的層層推進，學生對周長與面積的關系有了結(jié)構(gòu)化、整體性的認知，學生的理解得到了深化，思維能力得到了發(fā)展。

總之，利用概念構(gòu)圖可以幫助學生厘清概念之間的關系，實現(xiàn)橫向關聯(lián)和縱向融通。在這個過程中，學生會自主思考、相互傾聽、充分討論、積極反思，并形成關系結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)理解進階和知識遷移。

參考文獻：

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