◇成都師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 楊馨 梁思帆 胡明月 林瓊英

傳染病是如今世界最嚴(yán)重的疾病之一，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型具有重要價(jià)值。本文以甲型H1N1流感為例，闡述微分方程在傳染病傳播中如何應(yīng)用，并對(duì)SIEIR模型進(jìn)行優(yōu)化。其對(duì)甲型H1N1流感防控工作具有一定意義，為避免此類高傳染型疾病的再次蔓延提供一些可行的啟發(fā)。

重大傳染病的爆發(fā)會(huì)嚴(yán)重威脅人們的生命安全和社會(huì)經(jīng)濟(jì)貿(mào)易，造成的危害遠(yuǎn)高于一般突發(fā)公共衛(wèi)生事件[1]。2009年初，墨西哥和美國(guó)廣泛爆發(fā)甲型H1N1流感，在三個(gè)月的時(shí)間傳播到世界上主要國(guó)家[2]，造成數(shù)千萬(wàn)人感染，超過(guò)數(shù)萬(wàn)人的死亡。甲型H1N1流感是一種在人與人之間傳播的疾病，通過(guò)直接接觸或飛沫傳播[3]。為避免再次出現(xiàn)此類大型公共衛(wèi)生危機(jī)，對(duì)人們的生產(chǎn)生活造成惡劣影響，需要建立甲型H1N1流感傳播模型并用以研究其傳播趨勢(shì)。由于不同類型的傳染病在傳播過(guò)程中會(huì)呈現(xiàn)不同的特點(diǎn)，其中流感治愈后個(gè)體內(nèi)產(chǎn)生穩(wěn)定的抗體且此流感具有一定的潛伏期，故而選取SEIR傳播模型，并結(jié)合甲型H1N1的傳播特點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化，對(duì)疫情防治有一定意義。

傳播模式較為復(fù)雜的傳染病的各個(gè)觀測(cè)對(duì)象之間具有較強(qiáng)相關(guān)性，因此常規(guī)的統(tǒng)計(jì)分析方法（如要求各觀測(cè)對(duì)象間相互獨(dú)立的統(tǒng)計(jì)分析方法）并不適用于傳染病傳播趨勢(shì)的分析。目前，傳染病傳播模型主要有SI模型、SIS模型、SIR模型以及SEIR模型。不同的傳染性疾病的傳播具有不同的特點(diǎn)，相應(yīng)的傳播模型也不同。其中，SI模型將人群分為易感者（Susceptible）和感染者（Infectious），屬于Logistic模型，適用于感染后沒(méi)有方法治愈或者極難治愈的傳染病，模型的微分方程組可以計(jì)算出解析解。若感染后可被治愈，治愈后仍可被反復(fù)感染，如普通感冒和細(xì)菌性痢疾此類傳染病，則建立SIS模型。SIS模型同樣將人群分為了易感者、感染者，但易感者與感染者之前可以互相轉(zhuǎn)換，用微分方程組建立的此模型有解析解。而對(duì)于有些傳染病，考慮到病人可以康復(fù)并且康復(fù)后個(gè)體體內(nèi)產(chǎn)生抗體不會(huì)被再次感染也不具有傳染其他個(gè)體的能力的情況，需要在易感者和感染者的基礎(chǔ)上再劃分一類恢復(fù)者（Recovered或Removal）建立SIR模型。SIR模型無(wú)法計(jì)算解析解，只能給定初始條件計(jì)算出數(shù)值解。

SIR模型是經(jīng)典的傳染病傳播模型，操作性強(qiáng)而且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，便于研究傳染病傳播整體趨勢(shì)，因此得到廣泛應(yīng)用[4]。但對(duì)于SIR模型的基本假設(shè)之一是易感者通過(guò)有效接觸立即被感染患病，對(duì)具有潛伏期的傳染病并不適合?？紤]潛伏期人群的傳染病模型是結(jié)構(gòu)相較于更為復(fù)雜的SEIR模型。

1 優(yōu)化SEIR模型

經(jīng)過(guò)學(xué)者研究與統(tǒng)計(jì)，人類對(duì)于甲型H1N1流感普遍缺乏免疫力易被感染，以人-人形式傳播，且甲型H1N1流感病毒具有潛伏期，潛伏期為1至7天[5]。感染后產(chǎn)生抗體，具有一定免疫力（為方便研究，假定免疫力持續(xù)）。因此，選擇SEIR傳播模型對(duì)甲型H1N1流感傳播趨勢(shì)進(jìn)行研究。

1.1 模型建立

在某一封閉地區(qū)不考慮出生率和自然死亡率，設(shè)定人口總數(shù)為常數(shù)N。記未被感染且容易被感染的人群為易感者。接觸過(guò)感染者，但未發(fā)病不具有傳染其他個(gè)體能力正處于潛伏期的人群為潛伏者。被感染發(fā)病具有傳染能力的人群為感染者。經(jīng)治愈具有免疫力或者被隔離的人為恢復(fù)者。

則感染者群體 按此微分方程變化：

恢復(fù)者群體按此微分方程變化：

整理上面（1）（2）（3）（4）微分方程得：

圖1

這就是SEIR模型，該微分方程組無(wú)解析解，給定初始參數(shù)可利用計(jì)算機(jī)輔助求出數(shù)值解。

對(duì)于甲型H1N1流感傳播，該模型的感染者群體再此封閉區(qū)域中是均勻流動(dòng)的，未能考慮到政府和群眾采取的措施（如戴口罩、保持距離、居家等）。該模型假定潛伏期的潛伏者不具備將病毒傳染給易感者的能力，而甲型H1N1流感病毒在潛伏后期就具有一定的傳染力。該模型未考慮病死人群（有的研究或?qū)⒉∷勒邭w入恢復(fù)者[6]，也稱為移出者Removal）?；诖?，對(duì)SEIR模型進(jìn)行優(yōu)化。

1.2 模型優(yōu)化

為便于考慮人們的措施對(duì)病毒傳播的影響，設(shè)平均每個(gè)易感者接觸傳染者人數(shù)為，平均每個(gè)易感者接觸潛伏者人數(shù)為。將重設(shè)為傳染效率（感染者個(gè)體接觸傳播病毒的個(gè)體被傳染的概率），考慮到潛伏者具有一定的傳染力，且潛伏者與感染者的傳染效率不同，將另設(shè)為感染者的傳染效率和潛伏者的傳染效率。新增設(shè)由感染者病死群體，病死率。

故對(duì)（5）進(jìn)行優(yōu)化后的模型為：

將（6）整理為迭代式：

1.3 數(shù)據(jù)模擬

此微分方程模型雖不能求出解析解，但可設(shè)置初始值及相關(guān)參數(shù)對(duì)其求出數(shù)值解。在優(yōu)化模型中，設(shè)置，初始值。設(shè)定參數(shù)。利用matlab計(jì)算并繪圖（圖2）。

圖2

通過(guò)圖像可直觀看出，任由傳染病在人群中傳播而不采取應(yīng)對(duì)措施將造成嚴(yán)重的后果。如果采取及時(shí)隔離感染者，少去人群密集場(chǎng)所，戴口罩注意防護(hù)或者居家，注意公共場(chǎng)所的通風(fēng)及消毒等措施，可重新設(shè)置參數(shù)，不變。利用matlab求解并繪制圖像（圖3），將圖3局部放大得圖4，這時(shí)疫情產(chǎn)生的影響變得很小。因此，在疫情的防控中，及時(shí)隔離感染和疑似人群，采用必要防護(hù)措施（如帶口罩、注意安全距離）以及對(duì)公共場(chǎng)所及時(shí)通風(fēng)消毒，能夠較好地控制疫情的傳播。

圖3

圖4

1.4 模型優(yōu)缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)：①考慮潛伏者對(duì)易感者具有傳染性；②新增因感染傳染病死亡的人群（或?qū)⑺劳稣邚囊瞥稣咧蟹蛛x出來(lái)）并納入分析，疫情造成的危害更一步清晰；③考慮潛伏者與感染者分別在每日平均接觸人數(shù)以及傳染效率上的差異。

缺點(diǎn)：①未進(jìn)行參數(shù)估計(jì)及分析參數(shù)隨時(shí)間變化的可能（因?yàn)榧膊〉谋l(fā)是動(dòng)態(tài)過(guò)程，參數(shù)隨時(shí)間變化而改變[7]）；②未考慮區(qū)域之間的流動(dòng)，即節(jié)點(diǎn)間流動(dòng)。

2 結(jié)束語(yǔ)

微分方程在傳染病傳播中應(yīng)用廣泛，需要注意傳染病模型必須根據(jù)相應(yīng)傳染病的具體病理機(jī)制和傳播性質(zhì)進(jìn)行建立及修正。本文建立的甲型H1N1流感病毒傳染模型分析并解決了處于潛伏狀態(tài)的人群具有傳染性、潛伏者與感染者的傳染和流動(dòng)差異以及死亡人數(shù)，但影響傳染病傳播卻未能進(jìn)行分析的因素仍存在。接下來(lái)，將采用更多的模型和算法，使傳染病模型對(duì)傳播趨勢(shì)的預(yù)測(cè)更為準(zhǔn)確。