查明鑫，謝 濤，司文曉

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

非線性系統(tǒng)的研究與分析一直是一個(gè)熱點(diǎn)問題。時(shí)滯系統(tǒng)在智能領(lǐng)域的精確建模和可伸縮控制器的設(shè)計(jì)等方面的應(yīng)用引起了人們的廣泛關(guān)注。魯棒性問題與系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性有密切的關(guān)系,后者主要取決于自身的參數(shù)配置和外界干擾。Li等[1-3]在含泄漏時(shí)滯的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，利用不等式得到了依賴于泄漏時(shí)變時(shí)滯上界的穩(wěn)態(tài)判據(jù)。Yang等[4]在一般的非線性模型中考慮了噪聲干擾，同時(shí)在非線性隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)上添加了時(shí)變時(shí)滯，得到了2個(gè)時(shí)滯項(xiàng)的系統(tǒng)模型，并刻畫了噪聲強(qiáng)度的上界。Li等[5-6]研究了具有泄漏時(shí)滯和脈沖效應(yīng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在唯一性和穩(wěn)定性問題。Zhang等[7]考慮了一種分段偏差變?cè)獣r(shí)滯，將關(guān)于時(shí)間序列分成超前項(xiàng)和滯后項(xiàng)，使得原來的系統(tǒng)變成了一個(gè)混合系統(tǒng),并通過加入隨機(jī)擾動(dòng), 分析了這種非線性系統(tǒng)的魯棒性。Zhu等[8]考慮了一種輸入到狀態(tài)魯棒穩(wěn)定性，在遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上加入馬爾可夫鏈和狀態(tài)輸入項(xiàng), 得到了一個(gè)新的系統(tǒng)。Huang等[9]將含有泄漏延時(shí)的整數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)推廣到了分?jǐn)?shù)階的雙向聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

對(duì)于其他非線性系統(tǒng)或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在外界干擾下的穩(wěn)定性，Aouiti等[10-12]給出了不同的理論和分析方法。因此，本文將分析帶有泄漏時(shí)滯和隨機(jī)干擾項(xiàng)的非線性系統(tǒng)指數(shù)的穩(wěn)定性問題,從而為提高受擾系統(tǒng)的穩(wěn)定性奠定基礎(chǔ)。

1 預(yù)備知識(shí)

考慮如下帶有時(shí)變時(shí)滯和隨機(jī)擾動(dòng)的混合遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

(1)

式(1)中,y(t)=(y1(t),y2(t),…，yn(t))T為神經(jīng)元的狀態(tài)向量；t0∈R+，φ(0)∈n為初始值；A=diag{a1,a2,…，an}∈Rn×n為常數(shù)矩陣；f:n×n×R+→n且f(t,0,0)=0，激活函數(shù)f是連續(xù)的且滿足全局Lipschitz條件,τ(t)：[t0，且τ'(t)≤ζ。

在沒有時(shí)滯和隨機(jī)擾動(dòng)的情況下, 系統(tǒng)將變成如下形式：

(2)

假設(shè)1 非線性函數(shù)f(·)滿足全局Lipschitz條件,即存在k>0使得：

(3)

式(3)中，?u,v∈Rn,f(0,0,t)=0。

由以上條件知，式(2)有初始解y=0，那么式(1)也有1個(gè)平凡存在解x=0?？紤]一般情形，若對(duì)任意初值t0和x0,式(2)有唯一解x(t；t0,x0)，則式(1)也有唯一解y(t；t0,x0)。為證明式(1)的穩(wěn)定性,給出式(1)的穩(wěn)定性定義。

定義1 對(duì)于任意t0∈+,x0∈n,存在α>0和β>0，使得|x(t;t0,y0)|≤α|x0|е-β(t-t0),t≥t0≥0成立，則式(2)的解x(t;t0,x0)是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的。

定義2 對(duì)于任意t0∈+,x0∈n,存在α>0和β>0，使得E|x(t;t0,x0)|2≤α|x0|2е-β(t-t0),t≥t0≥0成立，則式(2)的解x(t;t0,x0)是均方指數(shù)穩(wěn)定的。

定義3 對(duì)于任意t0∈+,x0∈n,存在α>0和β>0，使得E|y(t;t0,y0)|2≤α|y0|2е-β(t-t0),t≥t0≥0成立，則系統(tǒng)(1)的解y(t;t0,x0)是均方指數(shù)穩(wěn)定的。

結(jié)合上面的定義，可得系統(tǒng)解狀態(tài)的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定意味著均方指數(shù)穩(wěn)定，反之不成立。

引理1 由假設(shè)1，式(1)均方指數(shù)穩(wěn)定說明式(1)的解指數(shù)穩(wěn)定。

2 主要結(jié)論

由式(2)的解指數(shù)穩(wěn)定，分析有隨機(jī)擾動(dòng)和時(shí)變延時(shí)的非線性系統(tǒng), 要證明式(1)的指數(shù)穩(wěn)定性,有如下定理。

(4)

2α2e-2β(T-τ)+2m1e2Tm2=1

(5)

證明將式(1)和式(2)滿足初值的解向量寫成y(t;t0,x0)≡y(t),x(t;t0,x0)≡x(t)。對(duì)于任意t≥t0≥0，由式(1)和式(2)，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)和Cauchy-Schwarz不等式得：

(6)

由假設(shè)1得：

(7)

當(dāng)t≥t0+τ，由假設(shè)1并結(jié)合式(1)得：

(8)

式(8)中：

(9)

并且：

(10)

將式(9)和式(10)代入式(8)，對(duì)于t≥t0+τ有：

繼續(xù)縮放得：

(11)

應(yīng)用Gronwall不等式于式(11)，當(dāng)t0+τ≤t≤t0+2T,有：

(12)

(13)

(14)

由式(14)，對(duì)于t≥t0-τ+nT,有：

因此,對(duì)于任意t≥t0-τ+T,存在正整數(shù)n，使得t0-τ+nT≤t≤t0-τ+(n+1)T,

(15)

易知，式(15)對(duì)于區(qū)間t0≤t≤t0+ρ-α仍然成立，說明式(1)是均方指數(shù)穩(wěn)定的，根據(jù)引理1，得到系統(tǒng)(1)是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的。

3 應(yīng)用舉例

考慮如下二維混合系統(tǒng)：

(16)

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，當(dāng)α=1.2，β=0.9時(shí)，系統(tǒng)(16)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

當(dāng)存在時(shí)滯和隨機(jī)擾動(dòng)的情況下，系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

(17)

2×1.22e-1.8×0.6+1.6σ2e1.2×(10.464+4σ2)=1

(18)

2.88e-1.8×(0.6-τ)+2(0.1046+19.2τ(0.42τ+1.469τ2))e1.2×19.2τ×(3.39τ+0.04τ2+0.36τ3)=1

(19)

擾動(dòng)系統(tǒng)(17)解的穩(wěn)定和不穩(wěn)定狀態(tài)曲線分別如圖1和圖2所示。

圖1 擾動(dòng)系統(tǒng)(17)解的穩(wěn)定狀態(tài)曲線 圖2 擾動(dòng)系統(tǒng)(17)解的不穩(wěn)定狀態(tài)曲線

在參考文獻(xiàn)[13]的例1中，有擾動(dòng)強(qiáng)度的上界σ=8×10-9，例2中得到時(shí)滯上界τ=4.354×10-8，比較上述結(jié)果,可以明顯地看到本文所得的結(jié)果包含并改進(jìn)了文獻(xiàn)[13]的結(jié)果。同樣在參考文獻(xiàn)[14]的例1和例2中,得到擾動(dòng)強(qiáng)度的上界σ=4.859×10-7和時(shí)滯上界τ=5×10-4。與上述結(jié)果相比較, 可以看到本文所得的上界都優(yōu)于文獻(xiàn)[14]。

4 結(jié)束語

本文改進(jìn)了文獻(xiàn)[13]和[14]的結(jié)果，創(chuàng)新之處在于進(jìn)一步考慮了系統(tǒng)的泄漏時(shí)滯和非線性項(xiàng)中的時(shí)滯,做到了兩者的統(tǒng)一，將時(shí)滯和隨機(jī)擾動(dòng)進(jìn)行了整合，優(yōu)化了時(shí)滯和擾動(dòng)強(qiáng)度的上界,增強(qiáng)了系統(tǒng)(17)的魯棒穩(wěn)定性。