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含恒功率負(fù)載的直流微網(wǎng)穩(wěn)定性分析

2022-06-05 06:27劉海濤徐旖旎
關(guān)鍵詞:微網(wǎng)階躍平衡點(diǎn)

劉海濤 ,熊 雄 ,徐旖旎 ,張 海 ,邵 瑤

(1.國(guó)網(wǎng)上海能源互聯(lián)網(wǎng)研究院有限公司,上海 201210;2.中國(guó)電力科學(xué)研究院有限公司,北京 100192)

隨著可再生能源和電力電子負(fù)載的發(fā)展,直流微網(wǎng)以其轉(zhuǎn)換次數(shù)少、控制結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、不需要對(duì)電壓的相位和頻率進(jìn)行跟蹤等優(yōu)點(diǎn),成為未來家庭、樓宇和社區(qū)的主要供電架構(gòu)[1]。然而,直流微網(wǎng)中包含恒功率負(fù)荷CPL(constant power load),電壓變化時(shí)呈現(xiàn)負(fù)阻抗特性,極易引起母線電壓振蕩甚至崩潰,因此穩(wěn)定性分析是直流微網(wǎng)研究中的核心問題之一[2]。

直流微網(wǎng)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析主要涉及靜態(tài)穩(wěn)定分析、小擾動(dòng)穩(wěn)定分析和大擾動(dòng)穩(wěn)定分析3個(gè)方面。靜態(tài)穩(wěn)定分析主要研究系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn),是小擾動(dòng)和大擾動(dòng)穩(wěn)定分析的基礎(chǔ)。小擾動(dòng)穩(wěn)定分析則通過建立直流微網(wǎng)系統(tǒng)的小信號(hào)模型,利用Middlebrook阻抗比判據(jù)或特征值分析法對(duì)直流微網(wǎng)系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性進(jìn)行分析[3-6]。前者是通過設(shè)定不同的穩(wěn)定裕度和禁止區(qū),基于阻抗比對(duì)直流微網(wǎng)進(jìn)行小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析的,其缺點(diǎn)是它規(guī)定了功率流向,但實(shí)際直流微電網(wǎng)中,有些微源如并網(wǎng)變換器或儲(chǔ)能單元既可以作為電源運(yùn)行也可以作為負(fù)載運(yùn)行,無法明確區(qū)分電源輸出阻抗和負(fù)載輸入阻抗[5]。特征值分析法通過判斷系統(tǒng)雅克比矩陣的特征值來判斷系統(tǒng)的小擾動(dòng)穩(wěn)定性,其對(duì)于功率流向沒有限制。文獻(xiàn)[6]運(yùn)用該方法對(duì)直流微網(wǎng)系統(tǒng)的小擾動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析,得到了系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定的判據(jù),并探究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響,但得到的穩(wěn)定判據(jù)不僅與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān),還與由系統(tǒng)參數(shù)決定的系統(tǒng)的工作點(diǎn)有關(guān),因而該穩(wěn)定判據(jù)不能很好的指導(dǎo)直流微網(wǎng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

小擾動(dòng)穩(wěn)定分析只能研究直流微網(wǎng)系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性,但實(shí)際直流微網(wǎng)中,負(fù)載突變或母線電壓跌落等大擾動(dòng)不可避免,因而對(duì)直流微網(wǎng)進(jìn)行大擾動(dòng)穩(wěn)定分析,從全局角度評(píng)估系統(tǒng)穩(wěn)定性十分有必要[4]。目前,較為成熟的非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法是李雅普諾夫直接法[7-10]。應(yīng)用該方法的難點(diǎn)在于建立李雅普諾夫函數(shù)LF(Lyapunov function),目前已取得一些研究成果。文獻(xiàn)[8]提出Takagi-Sugeno(TS)模糊模型的穩(wěn)定性分析工具,但利用該方法需要求解線性矩陣不等式,且其個(gè)數(shù)與非線性的數(shù)目滿足指數(shù)關(guān)系,因而計(jì)算比較復(fù)雜;文獻(xiàn)[9]提出通過平方和SOS(sum-of-square)規(guī)劃法構(gòu)造系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù),但該方法是數(shù)值方法,當(dāng)利用該方法分析參數(shù)對(duì)系統(tǒng)估計(jì)吸引域EDA(estimated domain of attraction)的影響時(shí),參數(shù)每改變一次,就需要重新進(jìn)行數(shù)值計(jì)算構(gòu)造系統(tǒng)的LF,因而較難分析參數(shù)對(duì)EDA的影響;文獻(xiàn)[10]提出二次對(duì)角化LF(BDQLF)法,該方法利用非線性系統(tǒng)的線性化矩陣構(gòu)造LF,并運(yùn)用遺傳算法確定系統(tǒng)的EDA,但是遺傳算法編程實(shí)現(xiàn)復(fù)雜,且搜索速度慢,另外遺傳算法容易收斂到局部最優(yōu)解,因而該方法計(jì)算復(fù)雜,EDA的保守性較強(qiáng)。

針對(duì)上述問題,本文從靜態(tài)穩(wěn)定、小擾動(dòng)穩(wěn)定及大擾動(dòng)穩(wěn)定3個(gè)方面對(duì)含CPL的直流微網(wǎng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了系統(tǒng)性分析,主要工作包括4個(gè)方面:①建立了直流微網(wǎng)系統(tǒng)的等效降階數(shù)學(xué)模型,并通過仿真軟件Matlab/Simulink對(duì)該等效降階模型的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證;②分析了直流微網(wǎng)系統(tǒng)存在靜態(tài)工作點(diǎn)的條件,得到系統(tǒng)靜態(tài)穩(wěn)定的判據(jù),并在此基礎(chǔ)上,利用李雅普諾夫穩(wěn)定性第一定理,得到了直流微網(wǎng)系統(tǒng)的小擾動(dòng)穩(wěn)定判據(jù),為直流微電網(wǎng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供參考依據(jù);③利用混合勢(shì)函數(shù)理論并結(jié)合LaSalle不變集定理得到了系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定平衡點(diǎn)的EDA;④對(duì)所得穩(wěn)定性判據(jù)和EDA進(jìn)行仿真驗(yàn)證,證明了其正確性。

1 直流微網(wǎng)結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)模型

1.1 直流微網(wǎng)結(jié)構(gòu)

直流微網(wǎng)系統(tǒng)通常包含儲(chǔ)能單元ES(energy storage)、分布式發(fā)電單元DGs(distributed generations)、并網(wǎng)變換器單元和負(fù)載單元等[5]。其中:儲(chǔ)能單元具有平衡功率的作用,可作為恒功率單元或電源運(yùn)行,作為電源運(yùn)行時(shí)源變換器采用電壓-電流下垂控制方式平衡母線電壓;DGs通常由再生能源構(gòu)成,為最大限度利用可再生能源并考慮其波動(dòng)性和間歇性,DGs常采用最大功率跟蹤控制策略,可看作CPL;并網(wǎng)變換器單元作為直流微電網(wǎng)與電網(wǎng)的接口可作為CPL運(yùn)行或電源運(yùn)行;負(fù)載單元包括直接接入母線的負(fù)載和通過變換器接入母線的負(fù)載,后者可看作CPL。本文選擇儲(chǔ)能單元作為電源,通過源變換器接入母線;恒功率單元由荷變換器連接可變電阻來表示,系統(tǒng)的具體結(jié)構(gòu)如圖1所示,詳細(xì)系統(tǒng)參數(shù)見表1。

圖1 直流微網(wǎng)系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Topological structure of DC microgrid system

表1 直流微網(wǎng)系統(tǒng)的參數(shù)Tab.1 Parameters of DC microgrid system

1.2 直流微網(wǎng)的等效降階模型和模型驗(yàn)證

忽略圖1中源、荷變換器的電壓電流控制動(dòng)態(tài),則圖1左側(cè)可等效為理想電壓源串電阻電路,右側(cè)可等效為CPL。因而圖1中的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可以簡(jiǎn)化為如圖2所示的等效電路模型,圖中:P為DGs、并網(wǎng)變換器單元和負(fù)載單元中CPL的功率之和;RL和Ld分別是線路電阻和電感,C是母線電容,R是負(fù)荷電阻,I是電感電流,V是電容電壓,Rk和Vref是源變換器電壓-電流下垂控制的下垂系數(shù)和參考電壓。

圖2 直流微網(wǎng)系統(tǒng)等效電路模型Fig.2 Equivalent circuit model of DC microgrid system

根據(jù)圖2所示,以I和V為狀態(tài)變量,系統(tǒng)的非線性降階數(shù)學(xué)模型可表示為

式中,Rd=Rk+RL。

式(1)即為本文分析的直流微網(wǎng)系統(tǒng)的等效降階數(shù)學(xué)模型。為驗(yàn)證其正確性,在Matlab/Simulink中分別搭建如圖1所示的開關(guān)模型和等效降階數(shù)學(xué)模型,并做仿真驗(yàn)證。

運(yùn)行工況:t=3 s時(shí)功率P由300 W階躍到500 W,仿真結(jié)果如圖3所示。由圖3可見,暫態(tài)過程中,開關(guān)模型和本文所提的降階數(shù)學(xué)模型具有較好的擬合度,說明該降階數(shù)學(xué)模型可以較好地反映系統(tǒng)的暫態(tài)特性,驗(yàn)證了降階數(shù)學(xué)模型的正確性。

圖3 基于開關(guān)模型和數(shù)值模型的仿真結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of simulation result between switch model and numerical model

2 穩(wěn)定性分析

直流微網(wǎng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析可分為3個(gè)步驟。

步驟1 靜態(tài)穩(wěn)定分析。分析系統(tǒng)是否存在平衡點(diǎn)。

步驟2 小擾動(dòng)穩(wěn)定分析。分析系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是否為小擾動(dòng)穩(wěn)定平衡點(diǎn)SEP(stable equilibrium point)。

步驟3 大擾動(dòng)穩(wěn)定分析。分析系統(tǒng)經(jīng)受大擾動(dòng)后的暫態(tài)過程的穩(wěn)定性。

需要強(qiáng)調(diào)的是,上述步驟中,系統(tǒng)靜態(tài)穩(wěn)定是進(jìn)行步驟2的前提,系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定是進(jìn)行步驟3的前提。

2.1 靜態(tài)穩(wěn)定分析

系統(tǒng)的平衡點(diǎn)滿足系統(tǒng)狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)等于0,故令式(1)左邊等于0,得系統(tǒng)的平衡點(diǎn)ei=[Ii,Vi],其中Ii是系統(tǒng)第i個(gè)平衡點(diǎn)的電感電流分量,Vi是系統(tǒng)第i個(gè)平衡點(diǎn)的電容電壓分量。則有

基于式(2)可知,系統(tǒng)靜態(tài)穩(wěn)定的充要條件為

將式(3)中小于號(hào)右側(cè)式子記作P1。

由上述分析可知,功率P小于P1時(shí)系統(tǒng)存在2個(gè)平衡點(diǎn),系統(tǒng)靜態(tài)穩(wěn)定。

2.2 小擾動(dòng)穩(wěn)定分析

由李亞普諾夫穩(wěn)定性第一法可知,如果系統(tǒng)平衡點(diǎn)的雅克比矩陣特征值的實(shí)部皆小于0,則該平衡點(diǎn)是小擾動(dòng)穩(wěn)定的[3]。本文利用該定理分析直流微網(wǎng)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)e1和e1是否為SEP,或者在什么條件下是SEP,即系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定的判據(jù)。

對(duì)式(1)線性化,各平衡點(diǎn)的雅可比矩陣為

對(duì)于式(4),矩陣J(ei)的特征特征值λ1、λ2的實(shí)部小于0與λ1+λ2<0且λ1λ2>0等價(jià)。而λ1+λ2等于J(ei)的跡tr(J(ei)),λ1λ2等于J(ei)的行列式。因而可得

2.2.1 平衡點(diǎn)e1的小擾動(dòng)穩(wěn)定性

將式(2)的e1代入式(4)可得J(e1),求其行列式得

2.2.2 平衡點(diǎn)e2的小擾動(dòng)穩(wěn)定性

將式(2)的e2代入式(4)可得J(e2),求其行列式得

電容C取不同值所對(duì)應(yīng)的2種情況討論tr(J(e2))與0的大小關(guān)系。

將式(10)小于號(hào)右側(cè)式子記作P2。

圖4 小擾動(dòng)穩(wěn)定分析示意Fig.4 Schematic of small disturbance stability analysis

2.3 基于混合勢(shì)函數(shù)法的大擾動(dòng)穩(wěn)定分析

本文將在系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上,利用混合勢(shì)函數(shù)理論并結(jié)合LaSalle不變集定理給出直流微網(wǎng)系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定平衡點(diǎn)的估計(jì)EDA。

2.3.1 混合勢(shì)函數(shù)理論

Brayton和Moser基于基爾霍夫定律證明了對(duì)于非線性電路可以描述[11-12]為

式中:I為電感電流;V為電容電壓;L和C分別為電路中電感和電容組成的對(duì)角矩陣;P(x)為混合勢(shì)函數(shù)MPF(mixed potential function)的標(biāo)量函數(shù)。文獻(xiàn)[11]給出MPF的一般形式為

結(jié)合式(1)可得MPT對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

由式(13)可知,如果電路中只有電感或電容,則-P(x)或P(x)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)小于0。這種情況可以運(yùn)用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但通常情況下,電路中電感和電容是同時(shí)存在的,故P(x)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)不定[11]。為了解決這一問題,Brayton和Moser在R和LC中至少存在1類線性元件的假設(shè)下,給出了3種構(gòu)造李雅普諾夫型能量函數(shù)LEF(Lyapunov-type energy function)的方法和3條相應(yīng)的穩(wěn)定性定理。其中第1、2條穩(wěn)定性定理要求R線性,第3條穩(wěn)定性定理則要求LC線性。本文分析系統(tǒng)的電感和電容是線性的,滿足第3條穩(wěn)定性定理的假設(shè)條件,故本文運(yùn)用該條定理分析直流微網(wǎng)系統(tǒng)的大擾動(dòng)穩(wěn)定性,為方便下文應(yīng)用,現(xiàn)重述如下[11]。

2.3.2 直流微網(wǎng)系統(tǒng)的MPF和LEF

選擇Γ的起始點(diǎn)和終點(diǎn)分別為圖2系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)(Ie,Ve)和任意點(diǎn)(I,V)。由于MPF與積分路徑無關(guān),因而本文選取電流的方向作為積分路徑,因而直流微網(wǎng)系統(tǒng)的MPF為

式中:Ipe為CPL的穩(wěn)態(tài)電流;等號(hào)右側(cè)各項(xiàng)依次為Rd、R、CPL和等效電壓源的電流勢(shì)函數(shù)以及電容支路的電壓和電流的乘積?;?jiǎn)式(15)可得

結(jié)合式(14)和式(16)可得直流微網(wǎng)系統(tǒng)的LEF為

由μ1+μ2>0可得到

將式(18)大于號(hào)右邊的式子記作Vmin。

由MPT理論的第3條穩(wěn)定性定理可知,當(dāng)μ1+μ2>0時(shí),dF(I,V)/dt<0成立。結(jié)合式(18)可知,當(dāng)V>Vmin時(shí),dF(I,V)/dt<0成立。

2.3.3 直流微網(wǎng)系統(tǒng)的估計(jì)吸引域

由上文分析可知,當(dāng)V>Vmin時(shí),dF(I,V)/dt<0成立,但F(I,V)的正定性仍不確定。不過LaSalle不變集定理并不要求F(I,V)正定,故本文運(yùn)用該定理刻畫直流微網(wǎng)系統(tǒng)的EDA。LaSalle不變集定理介紹如下[13]。

(2)在Ωl內(nèi),所有x滿足dV(x)/dt<0。則Ωl內(nèi)所有使得dV(x)/dt=0的點(diǎn)的集合叫做K,M是K內(nèi)的最大不變集。如果系統(tǒng)的初始點(diǎn)位于Ωl內(nèi),那么隨著t→∞,系統(tǒng)一定收斂于M中的點(diǎn)。

圖5 LEF的三維圖和二維等高線圖Fig.5 Three-dimensional plot and two-dimensional contour of LEF

根據(jù)圖5中LEF的等高線在狀態(tài)空間中圍成的區(qū)域隨LEF值的變化趨勢(shì),結(jié)合LaSalle不變集定理可得直流微電網(wǎng)系統(tǒng)的EDA為

根據(jù)式(19),可得直流微網(wǎng)系統(tǒng)的EDA如圖6所示。EDA的含義是:如果系統(tǒng)的初始點(diǎn)在其內(nèi),則隨著t→∞系統(tǒng)一定收斂于xe。此外,為驗(yàn)證該EDA的正確性,本文利用文獻(xiàn)[4]中的逆軌跡法,直流微網(wǎng)系統(tǒng)的真實(shí)吸引域邊界如圖6所示。由圖可見,該EDA在系統(tǒng)真實(shí)的吸引域邊界內(nèi),這說明本文所刻畫的EDA是正確的。此外圖6中灰色區(qū)域?yàn)槔肕PT理論刻畫的EDA的保守性對(duì)應(yīng)的區(qū)域。

圖6 直流微網(wǎng)系統(tǒng)的吸引域和EDAFig.6 Domain of attraction and EDA of DC microgrid system

3 仿真分析

為驗(yàn)證本文分析得到的靜態(tài)穩(wěn)定判據(jù)(3),小擾動(dòng)穩(wěn)定判據(jù)式(9)和式(10)以及系統(tǒng)EDA式(18)的正確性,借助Matlab/Simulink對(duì)工況1~3進(jìn)行仿真,如無特殊說明系統(tǒng)參數(shù)與表1保持一致。

圖7 工況1的仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results under working condition 1

圖8 工況2的仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results under working condition 2

圖9 工況3的仿真結(jié)果Fig.9 Simulation results under working condition 3

對(duì)于工況1,從圖7(b)和7(c)所示的仿真結(jié)果中可以看出,當(dāng)P小幅階躍但小于P1時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)定。但是P小幅階躍超過P1時(shí),系統(tǒng)失穩(wěn)。該仿真結(jié)果驗(yàn)證了判據(jù)(3)和判據(jù)(9)的正確性。

對(duì)于工況2,由圖8(b)和8(c)可以看出,當(dāng)P小于P2時(shí),功率小幅階躍,系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。此外,t=34 s時(shí)P階躍到890 W,此時(shí)P與P2非常接近,系統(tǒng)等幅振蕩。當(dāng)t=42 s時(shí),P小幅階躍超過P2,系統(tǒng)振蕩失穩(wěn)。該仿真結(jié)果驗(yàn)證了判據(jù)式(10)的正確性。

對(duì)于工況3,由圖9(b)和9(c)中的實(shí)線可知,P由8.0 kW階躍到8.7 kW然后再階躍到8.9 kW時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)定。說明P為8.0、8.7和8.9 kW時(shí),系統(tǒng)都是小擾動(dòng)穩(wěn)定的。但是,功率P直接由8.0 kW階躍到8.9 kW,如圖虛線所示,系統(tǒng)失穩(wěn),因此圖9(b)和9(c)呈現(xiàn)的失穩(wěn)現(xiàn)象無法通過小擾動(dòng)穩(wěn)定分析解釋。然而,通過構(gòu)建系統(tǒng)平衡點(diǎn)的EDA能夠很好地解釋該失穩(wěn)現(xiàn)象,為便于下述分析,定義P=8.0、8.7和8.9 kW時(shí),系統(tǒng)的SEP分別為xs1、xs2和xs3。

圖10展示了P=8.7 kW與P=8.9 kW對(duì)應(yīng)的SEP的EDA(Ω2與Ω3)和工況3對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)相軌跡。由圖10可見,P=8.0 kW對(duì)應(yīng)的SEP(xs1)在Ω2內(nèi)、P=8.7 kW對(duì)應(yīng)的SEP(xs2)在Ω3內(nèi),因而由李雅普諾夫穩(wěn)定性定理可知,P由8.0 kW階躍到8.7 kW然后再階躍到8.9 kW對(duì)應(yīng)的暫態(tài)過程必然暫態(tài)穩(wěn)定,這與圖9(b)和9(c)的仿真結(jié)果一致。此外,由圖10可見,xs1在Ω3外,這說明P直接由8.0 kW階躍到8.9 kW時(shí),系統(tǒng)有可能暫態(tài)失穩(wěn),這也解釋了圖9(b)和9(c)中P直接由 8.0 kW 階躍到8.9 kW時(shí),系統(tǒng)失穩(wěn)的原因。

圖10 工況3的機(jī)理解釋Fig.10 Mechanism interpretation under working condition 3

4 結(jié) 論

本文對(duì)含恒功率負(fù)載的直流微網(wǎng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了系統(tǒng)性的分析,得到了系統(tǒng)靜態(tài)穩(wěn)定、小擾動(dòng)穩(wěn)定的判據(jù)和系統(tǒng)SEP的EDA,并通過仿真對(duì)理論分析結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證,得到以下結(jié)論。

(2)系統(tǒng)遭受大擾動(dòng)時(shí),即使擾動(dòng)后系統(tǒng)是小擾動(dòng)穩(wěn)定的即存在SEP,該暫態(tài)過程仍有可能不穩(wěn)定。只有系統(tǒng)的初始狀態(tài)在擾動(dòng)后系統(tǒng)SEP的吸引域內(nèi)時(shí),該暫態(tài)過程才是穩(wěn)定的。

綜上,本文得到的靜態(tài)穩(wěn)定、小擾動(dòng)穩(wěn)定的判據(jù)和系統(tǒng)SEP的EDA對(duì)工程應(yīng)用有一定的借鑒意義。

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