張瑞鵬 李仲勤,2 吳夢瑤
1 蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院,甘肅蘭州,730070
2 蘭州交通大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院,甘肅蘭州,730070
3陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院測繪與檢測學(xué)院,陜西渭南,714000
近幾十年來,高速鐵路建設(shè)中以橋代路的比率越來越高,由于復(fù)雜地質(zhì)條件的影響,橋梁在鐵路運營過程中會產(chǎn)生相應(yīng)的變形。因此,橋梁變形監(jiān)測工作為高速鐵路施工提供了有力保障。影響橋梁變形監(jiān)測的主要因素有儀器精度、監(jiān)測環(huán)境和人為因素,所以監(jiān)測數(shù)據(jù)包含了真實信號和噪聲信號。其中,噪聲信號會對實際變形信息產(chǎn)生一定的影響,對噪聲信號進(jìn)行一定的消除和減弱,可以提高變形數(shù)據(jù)的精度,為后期的預(yù)測預(yù)報提供高質(zhì)量的基礎(chǔ)信息[1?4]。
本文針對橋梁變形監(jiān)測數(shù)據(jù)噪聲的特點,比較了小波去噪、卡爾曼濾波去噪以及小波?卡爾曼濾波、卡爾曼濾波?小波組合模型的去噪效果,并根據(jù)去噪后的數(shù)據(jù)建立了GM(1,1)模型,結(jié)合相關(guān)高速鐵路橋梁變形數(shù)據(jù),分析模型的去噪效果和預(yù)測效果。
小波變換是用小波函數(shù)系表示或逼近一個信號或者函數(shù)。小波函數(shù)系由一個基本小波函數(shù)經(jīng)過伸縮和平移得到。
設(shè)一個基本小波Ψ(t)∈L2(R),其中,t表示時間,L2(R)表示平方可積的函數(shù)空間。其傅里葉變換滿足以下條件[4,5]:
{Ψa,b(t)}是Ψ(t)進(jìn)行平移和伸縮的小波函數(shù)集,表示如下:
式中,a、b分別表示平移和伸縮因子。
任意函數(shù)f(t)∈L2(R)的連續(xù)小波變換為:
式(3)為連續(xù)小波函數(shù)。在實際工程應(yīng)用中,變形監(jiān)測所得數(shù)據(jù)都是有限長的離散信號。為了使數(shù)值計算簡便,將連續(xù)小波函數(shù)進(jìn)行離散化。連續(xù)小波函數(shù)離散化針對的是平移參數(shù)和伸縮參數(shù),而不是時間變量[6,7]。
令a=,b=,其 中,a>1;b0∈R;j、h∈Z。將其代入式(2),便可得到離散小波函數(shù):
卡爾曼濾波是一種通過估計觀測值來進(jìn)行濾波的算法。由于卡爾曼濾波能夠剔除隨機干擾噪聲,獲得逼近真實信號的有用信息,因此經(jīng)常被用于多噪聲干擾的數(shù)據(jù)去噪[6]??柭鼮V波由基本方程、觀測方程構(gòu)成,離散化形式如下:
式中,Xk是系統(tǒng)k時刻的狀態(tài)向量(n×1維);Fkk?1是系統(tǒng)k?1時刻到k時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(n×n維);Gk?1是系統(tǒng)k?1時刻的動態(tài)噪聲矩陣(n×r維);Wk?1是系統(tǒng)k?1時刻的動態(tài)噪聲(r×1維);Lk是系統(tǒng)k時刻的觀測向量(m×1維);Vk是系統(tǒng)k時刻的觀測噪聲(m×1維);Hk是系統(tǒng)k時刻的觀測矩陣(m×n維)。
根據(jù)最小二乘原理推導(dǎo)卡爾曼濾波遞推公式:
①狀態(tài)向量一步預(yù)測值為:
②狀態(tài)向量一步預(yù)測值方差陣為:
式中,Qk?1表示k?1時刻動態(tài)噪聲的方差陣。
③狀態(tài)向量估計值為:
式中,Jk表示濾波增益矩陣,可表示為Jk=Pkk?1HΤk(Hk Pkk?1HΤk+Rk)?1,其 中,Rk為 觀 測 噪聲的方差陣。
④狀態(tài)向量估計值方差陣為:
設(shè)非負(fù)離散數(shù)列為:
式中,n為序列長度。對x(0)進(jìn)行一次累加生成,即可得到一個生成序列x(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)},對此生成序列建立如下一階微分方程,并將其記為GM(1,1):
式中,v和u是灰參數(shù),其白化值為a?=[vu]Τ。用最小二乘法求解,可得:
求出a?后代入式(11),解出微分方程:
或
式(13)、式(14)即為灰色預(yù)測的兩個基本模型。當(dāng)k
模型精度的評價方法有3種,分別是殘差大小檢驗、關(guān)聯(lián)度檢驗、后驗差檢驗。常用后驗差檢驗對GM(1,1)模型進(jìn)行精度評價,后驗差檢驗是對殘差分布的統(tǒng)計檢驗,通常由后驗差比值C和小誤差概率P評價[12?16]。表1列出了根據(jù)C、P取值確定的模型精度等級。模型精度等級判別式為:模型精度等級=max{P所在的級別,}C所在的級別。
表1 GM(1,1)模型精度等級Tab.1 Accuracy Grades of GM(1,1)Model
表2為2009—2010年某高速鐵路大橋橋墩的變形監(jiān)測數(shù)據(jù),共40期(數(shù)據(jù)選用的是文獻(xiàn)[3]中所測數(shù)據(jù))。本文以此數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù),利用MATLAB進(jìn)行小波去噪、卡爾曼濾波去噪以及小波?卡爾曼濾波組合去噪,并運用GM(1,1)模型對變形進(jìn)行預(yù)測。
表2 沉降觀測數(shù)據(jù)Tab.2 Settlement Observation Data
本文用小波去噪、卡爾曼濾波、小波?卡爾曼濾波和卡爾曼濾波?小波模型對26~35期數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理。小波采用db10進(jìn)行3層分解。去噪前后的數(shù)據(jù)如圖1所示。
由圖1可知,經(jīng)小波去噪、小波?卡爾曼濾波組合去噪的數(shù)據(jù)較卡爾曼濾波去噪和卡爾曼濾波?小波去噪更加光滑、波動變化小,且保留了有用信號的完整性,很好保持了橋梁變形的本質(zhì)特征和變化規(guī)律,其去噪效果較另外兩種模型去噪效果更好。
圖1 去噪前后數(shù)據(jù)對比Fig.1 Comparison of Data Before and After Denoising
在去噪數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上,選取26~35期數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,對36~40期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。選用原始實測數(shù)據(jù)、經(jīng)小波去噪的數(shù)據(jù)、經(jīng)卡爾曼濾波去噪的數(shù)據(jù)、經(jīng)小波?卡爾曼濾波去噪的數(shù)據(jù)和經(jīng)卡爾曼濾波?小波去噪的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測,得到圖2所示結(jié)果,并與實測值進(jìn)行對比,得到表3所示結(jié)果。
圖2 模型預(yù)測結(jié)果Fig.2 Prediction Results of Models
由圖2可知,與其他模型相比,小波?GM(1,1)模型和小波?卡爾曼濾波?GM(1,1)模型的預(yù)測值更加接近實測值。由表3也可以看出,小波?卡爾曼濾波?GM(1,1)模型預(yù)測值的最大殘差為?0.48 mm,最小殘差為0.04 mm,小于其他模型的殘差。
表3 預(yù)測值與實測值對比Tab.3 Comparison of Predicted and Measured Values
由表4可知,小波?卡爾曼濾波?GM(1,1)模型的后驗差比值為0.165 49,小誤差概率為1,其模型精度相比其他模型有明顯提高。這說明先進(jìn)行小波去噪后進(jìn)行卡爾曼濾波去噪,可以有效減弱隨機誤差噪聲對于預(yù)測結(jié)果的影響。
表4 模型精度對比Tab.4 Precision Comparison of Models
由表5可知,小波?卡爾曼濾波?GM(1,1)模型的預(yù)測誤差是5種模型中最小的。先進(jìn)行小波去噪能在一定程度上消除噪聲干擾,再進(jìn)行卡爾曼濾波可以優(yōu)化去噪效果,使數(shù)據(jù)更加接近真實的變形值。
表5 模型預(yù)測誤差/mmTab.5 Prediction Error Values of Models/mm
本文介紹了小波去噪、卡爾曼濾波和GM(1,1)模型的基本原理?;?種理論基礎(chǔ),建立去噪模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理,并用GM(1,1)模型對去噪后的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。對比分析4種模型的預(yù)測精度,可以發(fā)現(xiàn)小波?卡爾曼濾波?GM(1,1)模型的預(yù)測精度最高,小波?GM(1,1)模型的預(yù)測精度次之。分析可知,由于高速鐵路橋梁變形監(jiān)測過程中影響因素眾多,小波去噪可以一定程度上消除噪聲誤差的干擾,最大程度保留真實信號數(shù)據(jù)。但是,由于白噪聲的頻率覆蓋整個頻率軸,小波去噪難以消除白噪聲的影響,而卡爾曼濾波可以較好地消除白噪聲的影響,提高數(shù)據(jù)的有效性,為后續(xù)工作提供可靠的信息。由此可見,基于小波?卡爾曼濾波的GM(1,1)模型在含有復(fù)雜噪聲干擾的橋梁變形分析預(yù)測預(yù)報中有較強的適應(yīng)性。