梁宗巨

現(xiàn)在，我們主要是通過用僧侶文寫成的《賴因德紙草書》（Rhind Papyrus）來了解古埃及的數(shù)學(xué).《賴因德紙草書》是一部古老的埃及數(shù)學(xué)著作，約成書于公元前1650年.阿梅斯（Ahmes）不是原著者，《賴因德紙草書》是他從別的書上抄下來的，間或還有一些筆誤. 該書最早被發(fā)現(xiàn)于埃及底比斯的廢墟中.公元1858年由英國的賴因德（A. H. Rhind）購得，后將其命名為《賴因德紙草書》.現(xiàn)藏于倫敦大英博物館.該紙草書全長544厘米，寬33厘米.它大概是當(dāng)時(shí)比較實(shí)用的一種計(jì)算手冊，記述了千余年來埃及的一些數(shù)學(xué)問題.

全書共列有84個(gè)題目，可以分為4部分.

2.第1-40題屬于算術(shù)與代數(shù)問題.

3.第41-60題是有關(guān)幾何學(xué)的問題.

4.第61-84題是雜題.

研究賴因德紙草書的文章和書籍很多，其中較有名的是艾森洛爾（A.Eisenlohr）的《古埃及的數(shù)學(xué)手冊》（1877年）.這是最早出版的文獻(xiàn).接著有不列顛博物館刊行的《賴因德數(shù)學(xué)紙草書的摹真本》.近代補(bǔ)缺后出版的有皮特（T.E.Peet）的《賴因德數(shù)學(xué)紙草書》（1923 年），更新的有蔡斯本（1927年-1929年），日文本的有高崎升著《古代エジプトの數(shù)學(xué)》（1937年）.

一、算術(shù)運(yùn)算

僧侶文的記數(shù)法屬分級符號制.整數(shù)的加、減法很簡單，只要將表示數(shù)目的符號累積起來，再轉(zhuǎn)寫成相應(yīng)的符號即可.但分?jǐn)?shù)的加減法卻相當(dāng)復(fù)雜，因?yàn)樗械姆謹(jǐn)?shù)都要化成單分?jǐn)?shù).

符號和術(shù)語），先寫1和25（表示1×25=25），作為第1行，再寫2和50（表示2×25=50），以下依次加倍，加到16可不必再加下去.因?yàn)樵偌颖?，則所得的結(jié)果就會超過乘數(shù)18.從左邊那列數(shù)（1，2，4，8，…）中選出若干個(gè)，使其和湊成18.本例中用的是2與16，在其前面都打上*號，再將右列中與*號對應(yīng)的數(shù)相加，即得25×（2+16）=50+400=450.其計(jì)算過程如下：

除法的原理與乘法的一樣，只需將運(yùn)算的步驟倒過來.仍以此題為例，計(jì)算：25×________=450，就要將乘法運(yùn)算變成除法運(yùn)算，即計(jì)算：450÷25=________.原來的積變成被除數(shù)，而被乘數(shù)變成了除數(shù).現(xiàn)在要在右列中選出一些數(shù)，使其和湊成450.本例中用的是50、400，在其旁邊標(biāo)上*號.再將左列中和·號對應(yīng)的數(shù)2、16相加，即得商18，其計(jì)算過程如下：

再舉一例：若一個(gè)數(shù)（包括分?jǐn)?shù)）乘上8等于19，則這個(gè)數(shù)為多少？

二、代數(shù)問題

第24-29題屬于現(xiàn)在代數(shù)中的一元一次方程問題.圖1是第24題，上面是僧侶文，下面是象形文字的譯文.象形文的每個(gè)字上面都標(biāo)有相應(yīng)的拉丁字母或阿拉伯?dāng)?shù)碼.

三、等差、等比數(shù)列

第79題（圖2）是等比數(shù)列題，其等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比都是7.原題分左右兩列，右列是2801×7=19607 的算式，左列列出了數(shù)列的前5項(xiàng)，每一項(xiàng)的旁邊注有一個(gè)字，但沒有作任何說明，最后用加法算出5項(xiàng)的總和，其運(yùn)算過程如下：

有人猜測作者的原意是：有7間房子，在每間房子里養(yǎng)7只貓，每只貓吃7只鼠，每只鼠吃7粒麥子.若將這些麥子種在土地里，每粒麥子產(chǎn)出的可裝滿7個(gè)容器，問一共有多少個(gè)容器？著者最后用加法算出這些數(shù)的總和為19607，和右列的2801×37相同，可見著者對求和更有興趣.

右列的2800是數(shù)列前4項(xiàng)之和，而2801×37=19607是前5項(xiàng)之和.著者大概想用此例來說明一個(gè)規(guī)律：若等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比都是r，那么前n項(xiàng)的和S等于前n-1項(xiàng)和加1再乘以r.

S_n=（S_n-1+1）r

S_n=rⁿ+r^n-1+…+r²+r

=（r^n-1+r^n-2…+r+1）r

=（S_n-1+l）r

這是很顯然的.

這一類問題經(jīng)常出現(xiàn)在不同年代、不同地區(qū)的書籍中，饒有趣味.如斐波那契的《算盤書》（LiberAbaci，1202）中就有這樣的問題：“7個(gè)老婦去羅馬，每人牽著7匹騾，每匹騾馱7個(gè)袋，……”后來在算術(shù)書中又有這樣的歌謠：

我赴圣地艾夫西（Saint Ives），

途遇婦女?dāng)?shù)有七，

一人七袋手中提，

一袋七貓數(shù)整齊，

一貓七子緊相依，

婦與布袋貓與子，

幾何同時(shí)赴圣地？

中國的《孫子算經(jīng)》卷下（3世紀(jì)）有這樣一道題：“今有出門望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾何？”這樣和前面的題異曲同工.

古埃及人在長期的生產(chǎn)活動(dòng)中積累了豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn).但古埃及人的數(shù)學(xué)知識是零碎的、片斷的，尚未形成嚴(yán)整的體系，還缺乏邏輯.古埃及數(shù)學(xué)在算術(shù)方面采用了單分?jǐn)?shù)，使得四則運(yùn)算非常麻煩，它實(shí)際上是阻礙數(shù)學(xué)前進(jìn)的絆腳石.