陸云儀

【摘要】函數(shù)與方程思想應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題時(shí)，最重要的作用在于可以使學(xué)生明確函數(shù)與方程二者之間的深度聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化相關(guān)的知識(shí).在此基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠從統(tǒng)一的角度思考函數(shù)與方程，最終形成綜合性的問題分析和問題解決能力.在這個(gè)過程中，教師需要注意：①函數(shù)概念對(duì)應(yīng)的范疇是“透明與不透明”，根據(jù)題設(shè)條件完成函數(shù)表達(dá)式（關(guān)系式）的建立即可;②方程可以被視為一種特殊情況下的函數(shù)，是指某些處于未知狀態(tài)的變量關(guān)系已經(jīng)在一定程度上得到了明確，足以支撐建立多個(gè)未知量之間的等價(jià)關(guān)系.在解題過程中具體應(yīng)用函數(shù)與方程思想時(shí)，應(yīng)避免陷入“恒等”境地.只有當(dāng)學(xué)生能夠深度理解函數(shù)與方程，才會(huì)提高解決數(shù)學(xué)問題的效率和正確率.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);函數(shù)思維;方程思維

1 引言

函數(shù)思想是指以“運(yùn)動(dòng)變化”有關(guān)的觀點(diǎn)、方法，針對(duì)數(shù)學(xué)問題內(nèi)的數(shù)量關(guān)系完成函數(shù)的構(gòu)建，之后運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決其中的問題.

從某種程度上來看，方程思想可以被理解成函數(shù)思想的一部分——函數(shù)是指通過函數(shù)表達(dá)式展現(xiàn)某些變量之間的關(guān)系、趨勢(shì)，而方程則是根據(jù)某些變量之間的相等、不等關(guān)系建立方程或方程組，根據(jù)題設(shè)條件、方程性質(zhì)，通過轉(zhuǎn)化問題等方式，最終求解出正確答案.

實(shí)際上，函數(shù)與方程思想與數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合等解題思維有異曲同工之妙，教師應(yīng)教導(dǎo)學(xué)生善加應(yīng)用，以達(dá)到提高解題效率和正確率的目的.

2 函數(shù)與方程思想應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題過程中的內(nèi)涵分析

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)與方程是非常重要的知識(shí)，相關(guān)內(nèi)容及由此形成的解題思想在多個(gè)部分的教學(xué)中均有所滲透，故長期以來都是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容.函數(shù)關(guān)系的建立是指用“運(yùn)動(dòng)變化”的觀點(diǎn)，對(duì)題設(shè)條件中某些變量相互之間的數(shù)量關(guān)系的變化趨勢(shì)進(jìn)行表示.

比如最基本的一元一次函數(shù)y=2x中存在兩個(gè)變量，x為自變量，y為因變量，2是系數(shù)，表明y隨著x的變化而變化，且y的具體值在非零點(diǎn)狀態(tài)下永遠(yuǎn)是x的2倍.隨著函數(shù)表達(dá)式的復(fù)雜程度提高，y逐漸被f（x）替代，這種“變量表示”方面直接發(fā)生的變化實(shí)際上便是函數(shù)思想的深度開發(fā)實(shí)現(xiàn)了升級(jí)——希望鍛煉學(xué)生的思維，使學(xué)生不必執(zhí)著于傳統(tǒng)x、y的思維定式，而是以更加寬廣的思維視域?qū)瘮?shù)解題過程進(jìn)行深入了解，并逐漸形成函數(shù)思維.

筆者在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生經(jīng)常受函數(shù)與方程的“定義”困擾.具體而言，如果以x、y表示函數(shù)關(guān)系，則學(xué)生很容易便會(huì)理解;而以f（x）與x表示函數(shù)關(guān)系，則很多學(xué)生便會(huì)感到困惑.筆者認(rèn)為，造成上述現(xiàn)象的原因在于，在基礎(chǔ)定義方面，部分高中數(shù)學(xué)教師予以忽略，并沒有向?qū)W生講清“升級(jí)變化”的關(guān)系.相關(guān)理解如下：傳統(tǒng)變量關(guān)系之中，所謂的“因變量y”根據(jù)“自變量x”的變化而變化.明確此點(diǎn)之后可得出一個(gè)結(jié)論——y與x有關(guān).基于此，y便會(huì)被改寫成f（x），意為“與x取值有直接關(guān)系的變量”.這實(shí)際上揭示了一個(gè)高中數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)教學(xué)困境——部分學(xué)生缺乏解題思維的根本原因在于學(xué)生對(duì)一些基礎(chǔ)知識(shí)究竟如何演化、升級(jí)轉(zhuǎn)變的過程無法有效理解，造成的結(jié)果是：教師以及一些基礎(chǔ)扎實(shí)、思維敏捷的學(xué)生認(rèn)為很簡(jiǎn)單的知識(shí)內(nèi)容，對(duì)一些基礎(chǔ)較差、思維相對(duì)遲緩的學(xué)生來說便是難以理解的內(nèi)容.如果對(duì)此類基礎(chǔ)認(rèn)知問題予以忽視，則很多學(xué)生便無法跟上教師的思維，導(dǎo)致成績(jī)?cè)絹碓讲?，遑論形成函?shù)思維.

在函數(shù)思維的基礎(chǔ)上，高中數(shù)學(xué)教師還應(yīng)通過開設(shè)專題課程，將函數(shù)與方程二者之間的深度聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化相關(guān)的知識(shí)教授給學(xué)生，使學(xué)生能夠從統(tǒng)一的角度思考函數(shù)與方程，最終形成綜合性的解題思維.

高中數(shù)學(xué)教師需要幫助學(xué)生理清、總結(jié)的關(guān)鍵點(diǎn)在于：①函數(shù)概念對(duì)應(yīng)的范疇是“透明與不透明”，根據(jù)題設(shè)條件完成函數(shù)表達(dá)式（關(guān)系式）的建立之后，便可以在“只知道需要實(shí)現(xiàn)的功能”的情況下，隨時(shí)完成“對(duì)函數(shù)的調(diào)用”.這個(gè)過程無需清楚具體的映射關(guān)系（若要解決這個(gè)映射關(guān)系，本身便是函數(shù)內(nèi)部需要做的）.②方程與函數(shù)不同，可以被視為一種特殊情況下的函數(shù)，是指某些處于未知狀態(tài)的變量關(guān)系已經(jīng)在一定程度上得到了明確，足以支撐建立多個(gè)未知量之間的等價(jià)關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，可以通過合并或消除同類項(xiàng)的方式，對(duì)等價(jià)關(guān)系進(jìn)行進(jìn)一步計(jì)算、合理推斷，最終找到未知量的具體值.但在分析題設(shè)條件、構(gòu)建方程組的過程中，教師還應(yīng)注重一個(gè)問題——設(shè)立方程組時(shí)，應(yīng)避免出現(xiàn)恒等（即通過合并同類項(xiàng)、消除某個(gè)項(xiàng)之后無法形成未知量等于具體數(shù)值的情況，而是出現(xiàn)“x=x”的情況），否則便是做無用功.

3 函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中的具體應(yīng)用

3.1 函數(shù)與方程思想在解決高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題中的應(yīng)用

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，也是高考必考項(xiàng)目.最常見的考點(diǎn)為求等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、確定某個(gè)具體值等.進(jìn)入高三年級(jí)之后，針對(duì)數(shù)列的求解問題在難度方面會(huì)大幅度提升，考查的內(nèi)容不再是基本的數(shù)列知識(shí)，而是可能將基礎(chǔ)數(shù)列知識(shí)隱藏在題設(shè)條件中，且無論具體求解什么內(nèi)容，數(shù)列相關(guān)問題的解題過程均會(huì)與函數(shù)與方程思想高度契合（主要是函數(shù)思想）.基于此，在解決數(shù)列問題時(shí)，教師應(yīng)該教導(dǎo)學(xué)生充分利用與函數(shù)相關(guān)的知識(shí)，以“性質(zhì)”作為紐帶，在函數(shù)與數(shù)列之間成功架設(shè)橋梁，揭示二者之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，最終達(dá)到快速求解問題的目的.

例1? 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和表示為Sn，等差數(shù)列的公差d<0，如果存在正整數(shù)m（m≥3），能夠令am=Sm，n>m（n∈N+），那么當(dāng)n>m（n∈N+）時(shí)，下列關(guān)系中成立的一項(xiàng)是：

（A）Sn>an.? （B）Sn≥an.

（C）Sn

這道問題看似是等差數(shù)列問題，但實(shí)際上是考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，如果學(xué)生應(yīng)用函數(shù)與方程思想，通過畫圖、構(gòu)建函數(shù)的方式將Sn、an對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象一一列出，則此題便會(huì)迎刃而解.

具體而言：①通過題設(shè)條件——等差數(shù)列的公差d<0，故數(shù)列{an}與前n項(xiàng)之和{Sn}對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象的表達(dá)式分別為：y=dx+（a1-d）、y=d2x2+（a1-d2）x.前者為直線，后者為拋物線，結(jié)合a1=S1（這是一個(gè)題目中沒有提及但卻屬于常識(shí)的隱藏性條件——“第一個(gè)項(xiàng)”與“第一項(xiàng)之和”是一個(gè)概念，很多高中學(xué)生在解題過程中常常對(duì)這類代表性的隱藏條件予以忽視，最終導(dǎo)致的結(jié)果便是無法對(duì)這類隱藏條件進(jìn)行靈活運(yùn)用，造成解題過程進(jìn)展至一定程度時(shí)便無法繼續(xù)）、am=Sm這兩個(gè)條件，經(jīng)過代入轉(zhuǎn)化之后，便會(huì)形成兩個(gè)等式方程（如上文所述，這兩個(gè)方程、代入轉(zhuǎn)化的過程實(shí)際上都可以省略，進(jìn)行此種描述是為了讓讀者能夠更加清晰地理解函數(shù)與方程思想在此道等差數(shù)列相關(guān)問題中的具體應(yīng)用）.

根據(jù)二元直角坐標(biāo)系中呈現(xiàn)出的直線與拋物線之間的交結(jié)情況，可以得出一個(gè)結(jié)論——兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為交點(diǎn)1（1，a1）和交點(diǎn)2（m，am）.按照?qǐng)D象從左向右的方向，可以得出如下結(jié)論：第一，在第一個(gè)交點(diǎn)之前，兩個(gè)函數(shù)沒有交集，直線的取值均在拋物線之上;第二，第一個(gè)交點(diǎn)以及第二個(gè)交點(diǎn)之間（兩個(gè)交點(diǎn)意味著兩個(gè)函數(shù)在兩個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)處的取值完全相同），拋物線的取值均在直線之上;第三，第二個(gè)交點(diǎn)之后，拋物線的取值便在直線之下.由于拋物線對(duì)應(yīng)Sn，直線對(duì)應(yīng)an，故在n>m的情況下，Sn必定小于an，故本題答案為C.

3.2 函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)等式、不等式方程相關(guān)問題中的應(yīng)用

前文提到，函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)多種類問題中均得到了滲透，多種形式的數(shù)學(xué)（包括物理學(xué)科涉及的距離類問題）問題均可以基于函數(shù)與方程思想，通過靈活設(shè)置函數(shù)、構(gòu)建方程組，最終完成問題的求解.需要注意，這種函數(shù)與方程（組）的設(shè)置除了等式之外，對(duì)于不等式也同樣適用.

例2 已知有兩個(gè)城市A、B，二者之間的距離總長度為150km.一輛汽車行駛完150km所需的時(shí)間為一個(gè)半小時(shí).現(xiàn)在這輛汽車與另一輛高速列車分別在A、B兩個(gè)車站同時(shí)發(fā)車并相向運(yùn)行.高速列車初始行車速度為0，以3m/s2的加速度進(jìn)行勻加速運(yùn)動(dòng)，求解兩輛車在途中相遇時(shí)，距離發(fā)車時(shí)刻的總行駛時(shí)間.

這道問題的解題思路為：題設(shè)條件中雖然并沒有給出汽車的行駛方式，但可基于“一輛汽車行駛完150km所需的時(shí)間為一個(gè)半小時(shí)”這一條件，首先求解出該汽車的平均時(shí)速，即為150km÷1.5h=100km/h.根據(jù)高中物理學(xué)知識(shí)可知，高速列車在初始速度為0的情況下，按秒計(jì)算的即時(shí)行車速度為V=V0+at（a=3m/s2）.如果設(shè)定兩車相遇的時(shí)間為x，則可以構(gòu)建出的函數(shù)方程為y=150×1000-100×100060×60x-（v0x+32x2）=150000-2509x-（v0x+32x2）.在上述函數(shù)方程中，y表示兩輛車在行駛過程中的距離.代入V0=0這一條件之后，原函數(shù)方程便會(huì)在一定程度上得到簡(jiǎn)化，最終獲得y=-32x2-2509x+150000.

至此階段，該題目便轉(zhuǎn)化成了一道“條件判定題”——只需判斷“是否存在滿足

Δ=b2-4ac=25092+4×32×150000，-32x2-2509x+150000

>0”的“距離的具體解”，便可以明確這道問題是否存在真實(shí)解.經(jīng)過整合之后，得出判定值=1002+3600，這個(gè)值必定>0，故原題有解.實(shí)際上，按照例1的解題思維，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將y=-32x2-2509x+150000.畫成一條拋物線，根據(jù)圖象變化趨勢(shì)，便可以確定最終值.

通過對(duì)上述幾道問題進(jìn)行分析后可知，應(yīng)用函數(shù)與方程思想實(shí)際上應(yīng)用了以下兩個(gè)更加具體的思維模式：其一，數(shù)形結(jié)合思想.在題設(shè)條件較為復(fù)雜，無法直接計(jì)算時(shí)，可通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，使相互之間的關(guān)系一目了然.其二，邏輯思維能力.題目中給出的條件存在另一種理解方式，而通過函數(shù)與方程思想便可實(shí)現(xiàn)對(duì)另一種理解方式的轉(zhuǎn)化，可使解題過程的難度降低.

4 結(jié)語

在解決高中數(shù)學(xué)問題時(shí)，基于函數(shù)與方程思想對(duì)題設(shè)條件中給出的已知量、未知量之間的關(guān)系進(jìn)行全面分析，之后完成函數(shù)以及方程（組）的設(shè)置.如此一來，題設(shè)條件相互之間的轉(zhuǎn)化規(guī)律便已明確，會(huì)對(duì)最終求解出正確答案產(chǎn)生意想不到的效果.但教師在培養(yǎng)學(xué)生形成函數(shù)與方程思想的過程中，首先需要幫助學(xué)生理清函數(shù)與方程的區(qū)別，特別是基礎(chǔ)函數(shù)與復(fù)雜函數(shù)表達(dá)式之間的演化升級(jí)關(guān)系.如果學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)缺乏足夠的了解，便無法有效形成函數(shù)與方程思想，這對(duì)學(xué)生未來的成長尤為不利.

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