楊文軍

【摘 要】 分類討論思想是數(shù)學(xué)學(xué)科中一項重要的思想方法，是在解決問題出現(xiàn)不確定性時的有效方法，在探究新的數(shù)學(xué)知識與解答數(shù)學(xué)問題方面，均有著廣泛而重要的運用.分類討論思想能夠幫助學(xué)生有效解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題，能培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、數(shù)學(xué)邏輯思維能力等.中考數(shù)學(xué)試題中越來越多地滲透了這種思想.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)明確分類討論思想的本質(zhì)內(nèi)涵，探析分類討論思想的類型原則，進(jìn)而構(gòu)建科學(xué)的分類討論思想滲透的策略.

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué);分類討論;思想內(nèi)涵

數(shù)學(xué)思想方法是在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展、運用中形成的，是對數(shù)學(xué)知識與方法的高度抽象與概括，需要用到抽象、分類、演繹、歸納、模型、方程等的思想方法.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，融合了數(shù)量關(guān)系與平面幾何等各類項目的數(shù)學(xué)知識，對學(xué)生的思維能力與學(xué)習(xí)能力提出了更高的要求，運用簡單的思維與單一的方法可能無法解答數(shù)學(xué)問題，需要運用一定的數(shù)學(xué)思想方法.因此培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法顯得非常重要，分類討論思想已經(jīng)融人到整個中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，具有邏輯性強、探究性突出、綜合程度高等特點，通過有效培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想，可以培養(yǎng)學(xué)生條理性、縝密性、概括性等的思維，教師要指導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、綜合等，以此運用分類討論思想解答數(shù)學(xué)問題.

1 分類討論思想的本質(zhì)內(nèi)涵

當(dāng)遇到一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，我們需要將其分解為若干的小問題，或者分為一系列的步驟，進(jìn)行分類和分別進(jìn)行討論，這種思想方法被統(tǒng)稱為分類討論思想或者分類討論法[1].分類討論思想是由于數(shù)學(xué)本身以及研究過程中自然形成的，主要因素是：一是數(shù)學(xué)概念往往是分類定義的，數(shù)學(xué)定理、公式、法則、運算性質(zhì)等很多都是分類提出的;二是在求解數(shù)學(xué)問題時，得出的結(jié)論往往有多種可能或者多個結(jié)論;三是數(shù)學(xué)問題中含有參變量，參變量的取值會導(dǎo)致不同結(jié)果.分類討論思想是化整為零、積整為零的思想方法與解題方法，能讓復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得較為簡單.在分類討論的過程，可以培養(yǎng)學(xué)生多種思維能力.近年來分類討論思想越來越多滲透到中考數(shù)學(xué)試題中，所占分值比重通常較大，因此做好分類討論的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想至關(guān)重要.

2 分類討論思想的類型原則

初中數(shù)學(xué)解題中運用的分類討論思想，主要分為以下類型：解答絕對值的問題;應(yīng)用題中的方案設(shè)計;概率統(tǒng)計中的分類討論;分式方程無解的分類討論;對于一元二次方程系數(shù)的分類討論;三角形形狀不定、等腰三角形、相似三角形的對角線（或邊）不確定時等，都需要分類討論;幾何問題中，需分類討論的有：平面問題中動點問題，一次函數(shù)、二次函數(shù)與平面圖形等組合中動點問題，圓等.

在解答以上相關(guān)的初中數(shù)學(xué)問題時，運用分類討論思想往往需要遵循一定的原則，主要分為：一是當(dāng)分類問題中的相關(guān)條件時，需要按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行;二是需要完整分類，不能重復(fù)，也不能遺漏項目;三是分類可能無法一次進(jìn)行，需要逐級分類，分類不同級，在分類上標(biāo)準(zhǔn)可能不統(tǒng)一等[2].

3 分類討論思想滲透的策略

通過日常教學(xué)中的觀察，以及進(jìn)行問卷調(diào)查和文獻(xiàn)研究，可以明確學(xué)生在解答分類討論相關(guān)問題時，或者遇到需要進(jìn)行分類討論的項目時，會出現(xiàn)混淆不清、重復(fù)或者遺漏等現(xiàn)象，因此教師應(yīng)當(dāng)重視在教學(xué)中滲透分類討論思想，加強分類討論相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)，以此啟發(fā)學(xué)生分類意識，培養(yǎng)學(xué)生分類討論習(xí)慣，提高學(xué)生分類討論能力等.這不是一蹴而就的，需要在教學(xué)中循序漸進(jìn)滲透.

3.1 加強基礎(chǔ)概念教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生分類意識

初中學(xué)生已經(jīng)具備一定的生活經(jīng)驗，在實際生活中往往會對人物和事物進(jìn)行分類，結(jié)合這個基礎(chǔ)，可以遷移到數(shù)學(xué)教學(xué)中.在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念的課程教學(xué)中，無形或者有形滲透分類討論思想，以此啟發(fā)學(xué)生分類意識，為后續(xù)進(jìn)行分類討論打好堅實的基礎(chǔ)，

數(shù)學(xué)概念是指人們對現(xiàn)實的數(shù)量關(guān)系、空間形式以及本質(zhì)屬性，在思維中的一種抽象、概括的反應(yīng)，需要經(jīng)過一系列的觀察思考、分類比較、抽象概括等思維活動，最終形成相關(guān)數(shù)學(xué)概念.初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念中，很多概念是分類定義或者分類討論后給出的，針對這些數(shù)學(xué)概念，教師可以指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類，進(jìn)而加深學(xué)生對相關(guān)概念的理解，提高數(shù)學(xué)概念教學(xué)效果，啟發(fā)學(xué)生分類意識.

例如 人教版七年級上“有理數(shù)”的概念教學(xué)中，教師通過設(shè)置針對性的啟發(fā)式問題，引發(fā)學(xué)生積極思考與深入探究，以此啟發(fā)學(xué)生形成初步的分類意識.比如針對有理數(shù)的分類項目，在學(xué)習(xí)有理數(shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)等概念后，為更好學(xué)習(xí)有理數(shù)的分類，鞏固已學(xué)知識，讓學(xué)生初步體會分類討論思想，教師提出問題：根據(jù)定義分類，有理數(shù)可以如何分？引導(dǎo)學(xué)生答出按照定義分為整數(shù)和分?jǐn)?shù).為讓學(xué)生認(rèn)識O的分界作用，教師可以繼續(xù)提問：除了整數(shù)與分?jǐn)?shù)，還可以怎么分？先讓學(xué)生思考與探析，之后解答：整數(shù)分為正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)，分?jǐn)?shù)分為正分?jǐn)?shù)與負(fù)分?jǐn)?shù)，在此之后，教師可以根據(jù)符號進(jìn)行提問：有理數(shù)還可以按照什么分類劃分？引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識還可以分為正數(shù)、負(fù)數(shù)和0.通過這些方面的設(shè)問與啟發(fā)思考，可以讓學(xué)生認(rèn)識到不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)可以有不同的分類結(jié)果，要做到不重復(fù)、不遺漏，最后展示思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生識記有理數(shù)的分類.為鞏同這些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念，教師可以引入絕對值的概念，讓學(xué)生明確：lal，當(dāng)a>0，|a|-a;當(dāng)a=0，|a|=0;a<0，|a|=-a，以此讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識分類討論思想，形成分類解答意識.

3.2 匯總分類討論方法，打好分類討論基礎(chǔ)

對于分類討論思想，教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生分類，根據(jù)適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，結(jié)合研究對象的屬性，以不重復(fù)和不遺漏為原則，對其進(jìn)行分類分析與解答.因此，要想更好運用分類討論思想解答數(shù)學(xué)問題，還需要掌握分類討論思想的基本方法，以此打好分類討論的基礎(chǔ)[3].借助分類討論思想解答數(shù)學(xué)問題：一是解答代數(shù)式、函數(shù)、方程等數(shù)量關(guān)系的問題，要根據(jù)字母不同取值，分別在不同取值范圍上進(jìn)行分類討論;二是結(jié)合幾何圖形中的點與線出現(xiàn)不同位置情況，分別討論問題.教師可以結(jié)合實際情況，匯總分類討論方法，更好輔助學(xué)生分類與解題.

例如 通過研究分類討論思想在解答數(shù)學(xué)問題時的運用，可以明確分類的方法分為：一是結(jié)合數(shù)學(xué)概念分類，有時因為未關(guān)注一個可表示不同類別的數(shù)而出現(xiàn)錯誤，對數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分類討論可以避免這類錯誤;二是根據(jù)數(shù)學(xué)性質(zhì)、法則與其他規(guī)定等分類討論，比如方程問題中常見的結(jié)果大于0、等于0、小于0的情況要進(jìn)行分類討論;三是根據(jù)圖形特點與相互問關(guān)系分類，比如根據(jù)角的分類可以將三角形分為直角、銳角和鈍角三角形;根據(jù)圓和直線交點個數(shù)分為相切、相離、相交.比如，人教版九年級上的“圓周角的概念”，教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生掌握圓的基本概念與性質(zhì)，圓心角概念與性質(zhì)，探究圓周角等.在證明關(guān)于圓周角定理時，教師可以布置小組合作探究任務(wù)，讓學(xué)生利用分類討論的思想進(jìn)行分析與探討，分為三種情況分別討論證明，教師最后總結(jié)：一是證明圓心在圓周角一條邊上;二是作過圓周角頂點直徑，根據(jù)上述證明的結(jié)論分別解答在圓周角內(nèi)部和外部的情況，結(jié)合圖形點與線不同位置進(jìn)行分類討論，體現(xiàn)分類討論的思想，在弦切角定理證明中，教師指導(dǎo)學(xué)生分類討論圓心在弦切角一條邊上、內(nèi)部、外部三類情況，同樣運用分類討論思想方法.

3.3 指導(dǎo)學(xué)生分類討論，提升解決問題能力

通過結(jié)合初中數(shù)學(xué)的定理、公式、法則等內(nèi)容，滲透分類討論思想，能夠啟發(fā)學(xué)生分類意識，讓學(xué)生掌握分類討論的基本方法，從而為運用分類討論思想解答綜合的數(shù)學(xué)問題打好基礎(chǔ)[4].在過去的初中數(shù)學(xué)習(xí)題講解中，不少教師多是就題論題，無法對問題進(jìn)行深入剖析，較少滲透分類討論的思想方法，根據(jù)這個基本情況，教師要結(jié)合這些類型的數(shù)學(xué)習(xí)題講解：代數(shù)式或函數(shù)或方程，結(jié)合字母不同取值情況，在不同取值范圍內(nèi)討論;幾何圖形中點與線出現(xiàn)不同位置的情況.先進(jìn)行總體的思想方法講解，之后出示題目讓學(xué)生解答，最后講解與訓(xùn)練.

例如 教師可以借助圖文并茂的教學(xué)課件，先講解關(guān)于分類討論思想在解答數(shù)學(xué)問題時的運用策略，包括：一是確定分類討論的對象，主要是確定分類討論的范圍、對象的性質(zhì)等，根據(jù)一定的屬性進(jìn)行分類，不能重復(fù)且不能遺漏，按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行科學(xué)劃分;二是明確分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)具體情況進(jìn)行分類討論，關(guān)于運用分類討論思想的習(xí)題，教師先引人類似題目：點C為線段AB的中點，點D為線段AC的三等分點，如果線段AB=12cm，那么線段BD長度是多少？這道題要根據(jù)線段中點定義、線段三等分點定義進(jìn)行分類討論，先讓學(xué)生自主分析與解答，之后再進(jìn)行展示講解，

3.4 重視進(jìn)行歸納總結(jié)，內(nèi)化分類討論思想

分類討論思想已經(jīng)融人到整個初中數(shù)學(xué)中，要更好培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想，指導(dǎo)學(xué)生運用這種思想方法分析問題、解答問題，教師還需要根據(jù)以往的教學(xué)情況，結(jié)合學(xué)生的實際運用表現(xiàn)等，重視進(jìn)行歸納總結(jié)，有目的、按步驟引導(dǎo)學(xué)生參與到分類討論思想運用數(shù)學(xué)解題的分析與討論[5].通過這樣的方式，可以有效增強學(xué)生對分類討論思想的運用意識，引導(dǎo)學(xué)生更加深入認(rèn)識這種思想方法，促進(jìn)學(xué)生積極運用它解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生歸納總結(jié)、抽象概括等能力，進(jìn)而內(nèi)化分類討論思想，提高初中數(shù)學(xué)中分類討論思想的滲透效果.

例如 經(jīng)過一定的分析與研究，帶領(lǐng)學(xué)生分析已經(jīng)做過的運用分類討論思想解答的數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過抽象概括、歸納總結(jié)，可以得出關(guān)于解答數(shù)量關(guān)系問題、幾何圖形問題的四個結(jié)論，這些結(jié)論包括：一是數(shù)學(xué)概念與定義中，要掌握數(shù)學(xué)概念以及定義，重點是絕對值、方程以及根的定義、函數(shù)的定義，要明確分類討論對象和原因，確定存在條件與標(biāo)準(zhǔn);二是字母取值情況與范圍，在函數(shù)相關(guān)問題中滲透較多，主要考查自變量取值范圍的分類，要注意數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)的運用條件和范圍等;三是圖形位置關(guān)系與形狀，需要熟練掌握直角三角形的直角、等腰三角形的腰與角、圓的對稱性，要結(jié)合圖形特殊性質(zhì)，明確討論對象進(jìn)行分類解決;四是圖形對應(yīng)關(guān)系的可能情況，一般是融合在三角形的全等或相似等等問題中，會出現(xiàn)關(guān)于角和邊的可能對應(yīng)情況，要結(jié)合具體情況分類討論.在做好這些方而的總結(jié)后，教師可以再讓學(xué)生運用分類討論思想解答相關(guān)題目.

4 結(jié)語

綜上所述，關(guān)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透分類討論思想，教師要明確這種思想方法在初中數(shù)學(xué)中的地位，認(rèn)識基本內(nèi)涵、運用原則等，根據(jù)當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)狀況與基本學(xué)情，引入豐富多樣的教學(xué)資源，構(gòu)建多元化的教學(xué)方法，啟發(fā)與滲透分類討論思想，讓學(xué)生逐步掌握和加以運用，培養(yǎng)學(xué)生分類討論思維，提高學(xué)生解決問題的能力，有效達(dá)成初中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，

參考文獻(xiàn)：

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