歐陽順銀

【摘要】本文以八年級《最短路徑問題》課題為例，設(shè)置一題三變，將最短路徑的問題經(jīng)歷從特殊到一般，從一個(gè)動點(diǎn)到兩個(gè)動點(diǎn)問題的變化.題型的靈活變換可以讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的建模思想、化歸思想，使學(xué)生的思維不斷發(fā)散，知識不斷遷移，從而提高學(xué)生的創(chuàng)造性素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】一題多變;幾何數(shù)學(xué);發(fā)散思維

問題1（將軍飲馬問題）：如圖1，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

分析 轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題如圖1，在直線l上找一點(diǎn)P，連接PA，PB，當(dāng)PA+PB的和有最小值時(shí)，求點(diǎn)P的位置.

知識遷移：如圖2，若點(diǎn)A1與點(diǎn)B分別在直線l的兩側(cè)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，連接A1B與直線的交點(diǎn)P即為所求.

思維材料遷移 “化折為直”，當(dāng)點(diǎn)A、B、P三點(diǎn)共線時(shí)，會使PA+PB的和有最小值.

知識遷移 通過將點(diǎn)A沿著直線l翻折得到點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A1得到PA=PA1，PA+PB=PA1+PB，問題轉(zhuǎn)化為圖2的問題.

解 如圖3，作點(diǎn)A關(guān)于直線l對稱點(diǎn)A1，連接A1B交直線l于點(diǎn)P，即點(diǎn)P為所求.

本題是通過將同側(cè)最短路徑問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)的最短路徑問題，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”的原理，求解問題.問題1的求解中也可以通過作點(diǎn)B關(guān)于直線l對稱點(diǎn)B1，連接AB1，與直線的交點(diǎn)就是所求.通過問題的轉(zhuǎn)化，知識的遷移滲透數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

變式1 如圖4，在等邊△ABC中，AB=4，△ABC的面積為43，BN平分∠ABC，點(diǎn)P為線段BN上一動點(diǎn)，點(diǎn)M為BC邊上一中點(diǎn)，連接PM，PC，求△PMC的周長的最小值.

問題分析 △PMC的周長就是求PM+PC+MC的值，若要周長最小，PM+PC+MC的值最小，MC的長是固定值，即當(dāng)PM+PC的和最小值時(shí)，周長為最小.此題的問題本質(zhì)就是將軍飲馬的問題，抽象模型如圖5，是同側(cè)求最短路徑問題，解決這題第一步是轉(zhuǎn)化為異側(cè)求最短路徑.由問題1可知，轉(zhuǎn)化為異側(cè)求最短路徑的問題是要找出對稱點(diǎn)，從點(diǎn)M或者點(diǎn)C的對稱點(diǎn)入手，在這題中，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可知線段BN就是線段AC的垂直平分線，因此點(diǎn)C關(guān)于BN的對稱點(diǎn)就是點(diǎn)A，將AM連接交BN就是PM+PC的最小值時(shí)動點(diǎn)P的位置，如圖6.因此PM+PC的最小值就是AM的長.

解 在等邊△ABC中：因?yàn)锽C=AB=4，BN平分∠ABC，

所以MC=12BC=12×4=2.

BN為AC的垂直平分線，

即點(diǎn)C關(guān)于BN的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，

所以PC=PA，

所以PM+PC=PM+PA.

當(dāng)點(diǎn)A、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，PM+PA的和有最小值即PM+PC的和有最小值;最小值為AM的長度.因?yàn)镾△ABC=12·BC·AM=43，所以AM=23，

所以C△ABC=PM+PC+MC

=PM+PA+MC=AM+MC

=23+2.

△PMC的最為23+2.

本題通過問題1的變式，將問題進(jìn)一步拓展，并讓學(xué)生能夠從更具體問題中找出數(shù)學(xué)將軍飲馬模型，挖掘知識之間的聯(lián)系，從舊知遷移到新知識上，鍛煉了學(xué)生的發(fā)散思維.

變式2 如圖7，在等腰△ABC中，AB=CB=3，△ABC的面積為25，BN平分∠ABC，點(diǎn)P為線段BN上一動點(diǎn)，點(diǎn)M為BC邊上一動點(diǎn)，連接PM，PC，求PM+PC的最小值.

變式2問題分析：從變式1的解題思路易抽象出將軍飲馬的同側(cè)求最短路徑的模型，易得點(diǎn)C關(guān)于BN的對稱點(diǎn)A，但此題從變式1的一個(gè)動點(diǎn)拓展成兩個(gè)動點(diǎn)，從具體數(shù)學(xué)問題中找出數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，對知識進(jìn)行遷移，根據(jù)“垂線段最短”，得當(dāng)AM⊥BC的時(shí)候，線段AM是點(diǎn)A到線段BC所有線段中最短的一條線段，從而確定點(diǎn)P、點(diǎn)M位置.如圖8，PM+PC最小值是當(dāng)AM⊥BC時(shí)AM的長.

解 在等腰△ABC中：因?yàn)锳B=CB=3，BN平分∠ABC，所以BN為AC的垂直平分線，所以點(diǎn)C關(guān)于BN的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，所以PC=PA，所以PM+PC=PM+PA.當(dāng)AM⊥BC交BN于P時(shí)，PM+PA有最小值即PM+PC有最小值;最小值為AM的長度.因?yàn)镾△ABC=12·BC·AM=25，所以AM=453，所以PM+PC為453.

本題是在變式1的基礎(chǔ)上的進(jìn)一步發(fā)散學(xué)生思維能力學(xué)習(xí)活動，通過從一個(gè)動點(diǎn)到兩個(gè)動點(diǎn)的變化，再根據(jù)垂線段最短解決兩動點(diǎn)怎樣才有最小值問題，讓學(xué)生感受到知識遷移帶來的思維多維角度分析問題，靈活應(yīng)變數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)解題思想.

本文通過《最短路徑問題》課例中的將軍飲馬問題，設(shè)置變式訓(xùn)練，通過 一題多變讓學(xué)生經(jīng)歷從一個(gè)動點(diǎn)到兩個(gè)動點(diǎn)，從特殊的等邊三角形到一般的三角形的求解中，激發(fā)學(xué)生思維碰撞，發(fā)散思維，通過一題多變的變式訓(xùn)練讓學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)散思維訓(xùn)練學(xué)習(xí)的過程中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)問題，感悟數(shù)學(xué)建模思想和化歸思想，內(nèi)化成數(shù)學(xué)能力.

在新課程標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)學(xué)教學(xué)中，設(shè)置一題多變能夠有助于在數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)有價(jià)值的問題環(huán)境，突破學(xué)生固有思維模式，充分發(fā)掘?qū)W生內(nèi)在的潛力，幫助學(xué)生創(chuàng)新意識生成，真正促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)成.

項(xiàng)目基金：本文是增城區(qū)教育科學(xué)規(guī)劃2021年度課題《通過發(fā)散思維訓(xùn)練提升中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究》的科研研究成果之一.

參考文獻(xiàn)：

[1] 袁東波.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的作業(yè)與命題設(shè)計(jì)[M]. 天津人民出版社， 2020.

[2] 張俊忠.基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)研究[M]，貴州大學(xué)出版社，2019.