劉淑錦

【摘要】本文以九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)為例，分析拼圖法在解題內(nèi)的應(yīng)用，以解題形式呈現(xiàn)，旨在為初中九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)解題提供可靠參考意見(jiàn).

【關(guān)鍵詞】拼圖法;數(shù)學(xué)解題;初中數(shù)學(xué)

所謂“拼圖法”，是指由于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的需要，有意識(shí)地將幾個(gè)圖形拼在一起，然后根據(jù)拼圖前后圖形的面積（或周長(zhǎng)、角度等）之間的關(guān)系解決問(wèn)題.“拼圖法”不僅巧妙，而且為我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題尋覓到一個(gè)全新的思路，下面分類(lèi)說(shuō)明“拼圖法”在解決初中數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用.

1 圓的解題

問(wèn)題1 在圖1△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，求△ABC外接圓半徑R？

問(wèn)題2 在圖2圖形中，⊙O半徑是13，弦AB是24，AB的中點(diǎn)是M，P屬于圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM最大值？

問(wèn)題3 在圖3圖形中，AB、AC、弧BC是三條規(guī)劃路程，AB和AC的長(zhǎng)度分別是6km、3km，∠BAC=60°，弧BC對(duì)應(yīng)圓心角是60°，弧BC路邊要建立物資點(diǎn)P，而在AB、AC路邊需要建立E、F物資點(diǎn)，分別在弧BC、AB、AC上選取點(diǎn)P、E、F.為了向物資點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)輸，就規(guī)劃了道路PE、EF、FP.為保證道路的便捷性、成本得到節(jié)約，就需要保證PE、EF、FP之間距離最短，求三者之間的最小值.

在第1小題中，解題思路是：根據(jù)垂徑定理進(jìn)行分析.作出△ABC外接圓⊙O，OA是∠BAC的平分線，因此∠OAC=12∠BAC=60°，連接OC，這樣OC=OA，這時(shí)三角形OAC就是等邊三角形，這樣OC、OA、AC相等都是5.

第2個(gè)問(wèn)題的思路是：OM+OP≥PM，根據(jù)點(diǎn)圓模型原理，當(dāng)O、P、M這三點(diǎn)共線時(shí)，PM值最小，這時(shí)PM⊥AB，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，PM就是PO和OM的和，即18.

在第3小題中，求的是三條線段和的最小值，一般來(lái)說(shuō)，解決問(wèn)題的策略是先利用軸對(duì)稱變換，然后再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，在共線的時(shí)候選擇等號(hào).

解題的原理是作出兩次對(duì)稱，兩點(diǎn)之間線段是最短的，所以，本題中就可以假設(shè)弧BC上的一個(gè)點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)，固定點(diǎn)P要在AB、AC上做出對(duì)稱點(diǎn)P′、P″，并連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接PP′、PE、PP″，根據(jù)對(duì)稱性，PE=P′E，F(xiàn)P=FP″，AP′=AP=AP″，那么∠P′AP″=2∠BAC=120°，此時(shí)，PE+EF+FP=P′E+EF+FP″≥P′P″=3 AP′，當(dāng)P′、E、F、P″共線時(shí)，P′P″就是最短的距離，長(zhǎng)度是直接取決于AP′，即AP的長(zhǎng)度.

根據(jù)上面的探究問(wèn)題中，作出弧BC圓心點(diǎn)O，連接AO，和弧BC相交于P點(diǎn)，這樣PA中最短的一個(gè)點(diǎn)就是P點(diǎn)，PE+EF+FP≥3 AP=321 -9，因此PE+EF+FP最小值就是（321-9）千米.在這個(gè)問(wèn)題中，將三角形的一個(gè)固定點(diǎn)放置在一個(gè)特定的圓心角弧上，使學(xué)生有一定的相似感.

2 三角形解題

我們知道，滿足“兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形”不一定全等，但是在某些特殊情況下全等.

例如 當(dāng)其中一邊的對(duì)角是鈍角時(shí)，這兩個(gè)三角形全等，即滿足“兩邊及其中一邊的對(duì)角（鈍角）對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形”，如圖5，在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，且∠B和∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF.

本題若用正弦定理，證明非常簡(jiǎn)單.即在△ABC中，由正弦定理，得ACsinB=ABsinC.在△DEF中，由正弦定理，得DFsinE=DEsinF.由AC=DF，∠B=∠E，得ABsinC=DEsinF.而AB=DE，則sinC=sinF.顯然∠C和∠F都是銳角，則∠C=∠F.根據(jù)“角角邊”可知△ABC≌△DEF.

由于初中階段我們沒(méi)有學(xué)習(xí)正弦定理，因此需要另想他法.一個(gè)好的辦法是運(yùn)用“拼圖法”.而且在運(yùn)用“拼圖法”時(shí)，只要將相等的邊拼在一起即可證明.如圖6，將AC與DF拼在一起，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，且使∠B與∠E分別在AC（或DF）的兩側(cè).連接BE.由AB=DE，得∠1=∠2.又∠ABC=∠DEF，則∠ABC-∠1=∠DEF-∠2，即∠3=∠4.則BC=EF.根據(jù)“邊邊邊”可知△ABC≌△DEF.

上述證法是將鈍角所對(duì)的相等的邊AC與DF拼在一起，也可以將銳角所對(duì)的相等的邊AB與DE拼在一起.如圖7，將AB與DE拼在一起，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，且使∠C與∠F分別在AB（或DE）的兩側(cè).連接CF.證明過(guò)程留給讀者完成.事實(shí)上，滿足“兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形”，當(dāng)其中一邊的對(duì)角是鈍角時(shí)，這兩個(gè)三角形全等，當(dāng)其中一邊的對(duì)角是直角時(shí)，這兩個(gè)三角形也全等.證明之時(shí)，既可將斜邊拼在一起，也可將直角邊拼在一起.

3 一元二次方程式

已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的和為7，面積為10，求該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的差的平方.本題若按常規(guī)方法，可設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，寬為b.

根據(jù)題意，得a+b=7，ab=10.而長(zhǎng)與寬的差的平方為（a-b）2.要求（a-b）2的值，可將（a-b）2變形為含有a+b和ab的式子.即（a-b）2=a2+b2-2ab=（a2+b2+2ab）-4ab=（a+b）2-4ab=72-4×10=49-40=9.

除了上述解法，也可運(yùn)用拼圖法巧解.將四個(gè)大小一樣的長(zhǎng)方形按照?qǐng)D8所示的方式拼在一起，正好拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)正好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的和，它的中間是一個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)正好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的差.要求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的差的平方，只要求出小正方形的面積即可.

觀察圖8可以發(fā)現(xiàn)，大正方形的面積減去4個(gè)長(zhǎng)方形的面積即為小正方形的面積.即S小正方形=S大正方形-4S長(zhǎng)方形=72-4×10=49-40=9.所以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的差的平方為9.這種解法顯然是對(duì)常規(guī)解法的創(chuàng)新，展現(xiàn)了用“拼圖法”解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的魅力.

4 結(jié)語(yǔ)

從以上幾例不難看出，運(yùn)用“拼圖法”解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，確實(shí)可以起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、事半功倍之效，展現(xiàn)了用“拼圖法”解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的魅力.希望大家認(rèn)真領(lǐng)會(huì)“拼圖法”，并在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)嘗試應(yīng)用“拼圖法”，讓“拼圖法”成為我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一項(xiàng)技能.