李桂艷

【摘要】“奧數(shù)教程”叢書由王元院士擔(dān)任顧問，數(shù)學(xué)奧林匹克國家隊(duì)領(lǐng)隊(duì)單墫和熊斌教授任主編，由國家集訓(xùn)隊(duì)教練執(zhí)筆聯(lián)合編寫.《奧數(shù)教程》系列符合相應(yīng)年級學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知和智力發(fā)展水平，內(nèi)容安排上從課本知識出發(fā)，由淺入深，逐步過渡到競賽，內(nèi)容涵蓋了競賽的全部考點(diǎn)和熱點(diǎn).本文通過對系列《奧數(shù)教程》7-9年級的例題解題優(yōu)化詳解，闡述數(shù)學(xué)中的思想和方法.

【關(guān)鍵詞】奧數(shù)教程;解題優(yōu)化;初中數(shù)學(xué)

1 八年級《奧數(shù)教程》第七版89頁例題5

例5 如圖1正方形ABCD被直線OE分成面積相等的兩部分，已知線段OD、AD的長都是正整數(shù)，CEBE=20.求滿足上述條件的正方形ABCD面積的最小值.

分析 根據(jù)直線將正方形分成面積相等的兩部分，可見OE必過正方形ABCD的中心O′.設(shè)BE=a，OD=m，表示出O′的坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入OE的解析式y(tǒng)=kx，求出m的值，再根據(jù)線段OD、AD的長都是整數(shù)，求出a的最小值.

解1 OE一定過正方形ABCD的中心O′，不妨設(shè)BE=a，OD=m，所以CE=20a，正方形的邊長為21a;

則O′（m+10.5a，10.5a），E（m+21a，20a）.

設(shè)OE解析式為y=kx，所以k（m+10.5a）=10.5a，k（m+21a）=20a.

即m+10.5am+21a=10.5a20a，化簡得m=2119a，因?yàn)榫€段OD、AD的長都是整數(shù)，即m、21a都是正整數(shù)，所以21a的最小值為19，此時(shí)m=1，此時(shí)正方形ABCD的最小面積為21a2=192=361.

解2 因?yàn)檎叫伪恢本€OE分成面積相等的兩部分.

所以它必過正方形的中心.

所以BE=DF=a，

則有DFEC=ODOC，

即a20a=mm+21a，

得19m=21a，

因?yàn)閙、21a為整數(shù)且21a最小.

所以m=1，正方形的邊長21a=19，面積為（21a）2=192=361.

2 《奧數(shù)教程》八年級第六版18頁

例題1 ab（a+b）2-（a+b）2+1因式分解.

解 ab（a+b）2-（a+b）2+1

=ab瘙簚a2+2a2b2+ab瘙簚b2-a2-2ab-b2+1

=（ab瘙簚a2-ab）+（a2b2-b2）-（a2-1）+（a2b2+ab瘙簚b2-ab）

=ab（a2-1）+b2（a2-1）-（a2-1）+ab（ab+b2-1）

=（a2-1）（ab+b2-1）+ab（ab+b2-1）

=（ab+b2-1）（a2+ab-1），

，

-a2-ab -ba-b2=-（a+b）2

ab（a+b）2-（a+b）2+1=aa+b-1·ba+b-1=（ab+b2-1）（a2+ab-1）.

3 《奧數(shù)教程》八年級第六版54頁

例題7 化簡

x-y3+2xx+yyxx+yy+3xy-3yx-y，

原解1 設(shè)x=a+b，y=a-b，

則 xy=a2-b2，x+y=2a，

x-y=2b，

原式=2b3+2a+b3+a-b3a+b3+（a-b）3

+3a2-b2-3（a-b）24ab

=3a3+3a2b+9b3+9ab22a3+6ab2+6ab-6b24ab

=3a+ba2+3b22aa2+3b2+3a-3b2a

=3a+3b+3a-3b2a=3

解2 設(shè)x=a，y=b則

原式=a-b3+2a3+b3a3+b3+3ab-3b2a2-b2=a3-3a2b+3ab2-b3+2a3+b3a3+b3+3b（a-b）a-b（a+b）

=3a3-3a2b+3ab2a3+b3+3ba+b

=3（a+b）a+b=3.

4 《奧數(shù)教程》八年級第六版83頁

例題5 如圖2，y=kx+b的圖象過點(diǎn)P（1，4），且與x軸、y軸的正半軸交于A、B，原點(diǎn)為O，問k、b為何值時(shí)，△AOB的面積最??？

解1因點(diǎn)P（1，4）在一次函數(shù)，y=kx+b的圖象上，所以，一次函數(shù)可表示為y=kx+（4-k）.

令x=0，

得B（0，4-k）;

令y=0，

得A（k-4k，0）.

連接PO，則S△AOB=S△BOP+S△POA

=121×4-k+12×4×k-4k

=4-12k+16k.

顯然，k<0，

令u=-k，

v=-16k，

則u>0，v>0，

且uv=16，

故 S△AOB=4+12u+v

=12[（u-v）2+2uv]

≥4+uv=8，

當(dāng)且僅當(dāng)u=v，即k=-u=-4時(shí)，取等號，S△AOB取最小值8，此時(shí)，b=4-（-4）=8.

解2 S△AOB=12OAOB

=12（4-k）k-4k

=4-12（k+16k）

=4+12（-k+16-k）≥8.