李勇中學高級教師，縣級優(yōu)秀班主任，縣級優(yōu)秀教師，市級骨干教師。在貴州省教育科學院、貴州省教育學會組織的教育教學科研論文、教學設計評選中榮獲過叁、貳、壹等獎;曾多次在《數(shù)理天地》上發(fā)表過文章。

題目 已知：如圖1所示，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點E，F(xiàn)分別在邊BC和CD上.求證：∠CEF=∠CFE.

證明1 因為四邊形ABCD是正方形，

所以AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，

又因為三角形AEF是等邊三角形，

所以AE=AF，

所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）.

所以BE=DF，

因為四邊形ABCD是正方形，

所以BC=DC，

所以CE=CF，

所以∠CEF=∠CFE（等邊對等角）.

證明2 因為四邊形ABCD是正方形，

所以AB=AD，

∠ABE=∠ADF=90°，

所以BE2=AE2-AB2，

DF2=AF2-AD2=AF2-AB2，

又因為三角形AEF是等邊三角形，

所以AE=AF，

所以DF2=AF2-AB2=AE2-AB2.

所以BE2=DF2，

即BE=DF.

因為四邊形ABCD是正方形，

所以BC=DC，

所以CE=CF，

所以∠CEF=∠CFE（等邊對等角）.

證明3 因為四邊形ABCD是正方形，

所以AB=AD，

∠ABE=∠ADF=90°，

又因為三角形AEF是等邊三角形，

所以AE=AF，

∠AEF=∠AFE=60°，

所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）.

所以∠BEA=∠DFA，

又因為∠CEF=180°-∠BEA-∠AEF，

∠CFE=180°-∠DFA-∠AFE，

所以∠CEF=∠CFE（等量代換）.

證明4 連接AC.

因為四邊形ABCD是正方形，

所以AB=AD，

∠ABE=∠ADF=90°，

又因為三角形AEF是等邊三角形，

所以AE=AF，

所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

所以∠BAE=∠DAF，

因為四邊形ABCD是正方形，

所以∠BAC=∠DAC=45°，

又因為∠CAE=∠BAC-∠BAE，

∠CAF=∠DAC-∠DAE，

所以∠CAE=∠CAF（等量代換）.

又因為三角形AEF是等邊三角形，

所以AE=AF，

又AC=AC，

所以△AEC≌△AFC（SAS）.

所以CE=CF，

所以 ∠CEF=∠CFE（等邊對等角）.

證明5 連接AC.

因為四邊形ABCD是正方形，

所以AB=AD，

∠ABE=∠ADF=90°，

又因為三角形AEF是等邊三角形，

所以AE=AF，

所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

所以∠BAE=∠DAF，

因為四邊形ABCD是正方形，

所以∠BAC=∠DAC=45°，

又因為∠CAE=∠BAC-∠BAE，

∠CAF=∠DAC-∠DAE，

所以∠CAE=∠CAF（等量代換）.

又因為三角形AEF是等邊三角形，

所以AE=AF，

又AC=AC，

所以△AEC≌△AFC（SAS），

所以∠AEC=∠AFC，

又因為三角形AEF是等邊三角形，

所以∠AEF=∠AFE=60°，

又因為∠CEF=∠AEC-∠AEF，

∠CFE=∠AFC-∠AFE，

所以∠CEF=∠CFE（等量代換）.