夏鳴

【摘要】本文將詳細(xì)介紹幾種一元二次方程的技巧和方法，以期幫助同學(xué)們拓展思維，提高解題效率.

【關(guān)鍵詞】一元二次方程;解題效率

1 妙用韋達(dá)定理.

韋達(dá)定理能夠有效反應(yīng)兩個(gè)根之間的關(guān)系，是求解一元二次方程的有效手段，對(duì)于形如ax2+bx+c=0a≠0的一元二次方程，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，方程必定存在一個(gè)根等于1，另一個(gè)根等于ca;當(dāng)a-b+c=0時(shí)，方程必定有一個(gè)根等于-1，另一個(gè)根為-ca.

利用此方法求解的主要步驟為：①根據(jù)題意確定a+b+c=0或a-b+c=0;②由上述結(jié)論分析兩個(gè)根的取值，利用韋達(dá)定理計(jì)算求解.

例1 解方程：9406x2-8289x-1117=0.

剖析 此方程的各個(gè)系數(shù)的絕對(duì)值都很大，但通過分析可知，上述方程的各個(gè)系數(shù)之和恰好等于零，進(jìn)而可知原方程必定有一個(gè)根等于1，則利用韋達(dá)定理即可求解.

解析 因?yàn)?406-8289-1117=0，

所以原方程一定存在一個(gè)根等于1，

假設(shè)x1=1，

所以根據(jù)韋達(dá)定理可解得其另一根的值為x2=ca=-11179406.

2 妙用a2+b2=a+b2→ab=0.

求解一元二次方程的解還可以通過a2+b2=a+b2→ab=0求解，當(dāng)a2+b2=a+b2，即已知的方程兩邊的次數(shù)相等，并且等號(hào)右邊冪的底數(shù)與左邊兩項(xiàng)的冪的底數(shù)的和a+b相等時(shí)，存在ab=0.利用此方法求解的主要步驟為：①根據(jù)題意分析已知方程的兩邊的次數(shù)與底數(shù)的特點(diǎn);②直接利用a2+b2=a+b2→ab=0計(jì)算求解即可.

例2 解方程：4-x2+x2=16.

剖析 已知方程等號(hào)兩邊的次數(shù)和底數(shù)的特點(diǎn)可知，滿足a2+b2=a+b2，則直接可得ab=0成立，進(jìn)而求解.

解析 由題意可得，原方程可以轉(zhuǎn)化為：4-x2+x2=42，

因?yàn)?-x+x=4，

所以4-xx=0，

解之得x1=0，x2=4，即為方程4-x2+x2=16的解.

3 妙用換元.

換元法是求解一元二次方程問題的常用手段，主要是指引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量替換某些舊變量，將變量求出結(jié)果以后再返回求解原變量的值.利用此方法求解的主要步驟為：①根據(jù)題意分析，確定換元的變量，并進(jìn)行換元;②求解換元后的一元二次方程的解;③利用換元后的變量的取值計(jì)算原一元二次方程的解.

例3 解方程：144x2-36x+2=0.

剖析 本題首先對(duì)原式進(jìn)行換元，發(fā)現(xiàn)原式存在144x2=12x2，且-36x=-312x，則利用整體換元將12x替換，進(jìn)而求解，化繁為簡(jiǎn).

解析 令y=12x，

所以y2-3y+2=0，

所以y1=2或y2=1，

等價(jià)于12x=2或12x=1，

因此x1=16，x2=112.

4 妙用零點(diǎn)分段討論.

當(dāng)求解含有絕對(duì)值的一元二次方程問題時(shí)，可以利用零點(diǎn)分段法討論求解，主要是利用絕對(duì)值的幾何性質(zhì)或者在數(shù)軸上標(biāo)出零點(diǎn)后再分類討論進(jìn)行求解.利用此方法求解的主要步驟為：①根據(jù)題意計(jì)算絕對(duì)值等于零時(shí)自變量的取值，即確定零點(diǎn);②根據(jù)零點(diǎn)分段討論，分析每一段的取值;③整理解得待求一元二次方程的解.

例4 解方程：x2-2x-1-4=0.

剖析 本題是很明顯的含有絕對(duì)值的一元二次方程問題，故直接利用零作為臨界值對(duì)其進(jìn)行分段討論.

解析 令2x-1=0，

故x=12，

經(jīng)檢驗(yàn)可得x=12不是原方程的解，

故當(dāng)2x-1>0，即x>12時(shí)，原方程可轉(zhuǎn)化為x2-2x-1-4=0，

等價(jià)于x2-2x-3=0，

解之得x=3或x=-1舍，

當(dāng)2x-1<0，即x<12時(shí)，原方程可轉(zhuǎn)化為x2+2x-1-4=0，

等價(jià)于x2+2x-5=0，

解之得x=-1- 6或x=-1+ 6舍，

綜上所述，原方程的根為x1=3

或x2=-1- 6.

5 妙用配方法.

配方法是把一個(gè)算式或者一個(gè)算式中的某一個(gè)部分以恒等變形的方式變成完全平方或者幾個(gè)完全平方式的和.在初中數(shù)學(xué)解題過程中，適當(dāng)運(yùn)用配方法解答相應(yīng)的問題，有利于提升解題的正確率與解題速度.

例5 解方程：x2-4x-2018=0.

剖析 該例題中的方程中的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)-4，因此，在該例題中應(yīng)用配方法進(jìn)行解題較為簡(jiǎn)便.配方法可以對(duì)任何一個(gè)有解的一元二次方程進(jìn)行解答.

解析 移項(xiàng)得到x2-4x=2018，

配方得到x2-4x+4=2018+4，

即（x-2）2=2022，

開平方可到得到x-2=± 2022，

即x-2= 2022或x-2=- 2022，

所以x1=2+ 2022，x2=2- 2022.

6 妙用因式分解.

因式分解法是解一元二次方程首先應(yīng)當(dāng)考慮并使用的方法，因式分解能夠簡(jiǎn)便易行且快速的對(duì)問題進(jìn)行求解.但是它的缺陷只適合一些特殊的方程，即方程的左邊能分解成兩個(gè)因式的乘積，且方程右邊是0.

例6 x（2x-1）=3（1-2x）.

剖析 把方程右邊的式子整體移到方程的左邊，可以通過提公因式的方法把左邊的內(nèi)容分解成兩個(gè)因式的乘積，因此在該例題中借助因式分解法較為簡(jiǎn)單.

解析 移項(xiàng)可以得到x（2x-1）-3（1-2x）=0，

即x（2x-1）+3（2x-1）=0，

分式因解可得（2x-1）（x+3）=，0

所以2x-1=0或x+3=0，

所以x1=12，x2=-3.

7 結(jié)語

求解一元二次方程的方法有很多，最重要的是要學(xué)會(huì)觀察方程的特點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)公式和性質(zhì)并能夠靈活運(yùn)用，就能順利求解一元二次方程.

本文介紹的這幾種技巧對(duì)某些陌生且抽象的一元二次方程尤為有效，同學(xué)們務(wù)必靈活使用.