孫國濤

【摘要】用基本不等式解決某些含有多元等式條件的最大值或最小值問題是一種常見手段，但有些題目的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，條件隱晦，會(huì)出現(xiàn)相對(duì)比較難的題目，需要有扎實(shí)的基本功和一定的解題技巧，那么這些能力的來源是接受規(guī)范的解題方法指導(dǎo)和有一定量的典型題目的訓(xùn)練，本文從介紹常用解題方法的角度，以題例說方法，希望給讀者朋友有一點(diǎn)啟發(fā).

【關(guān)鍵詞】多元等式;解題方法;數(shù)學(xué)解題

1 配湊等式

例1 已知a，b為實(shí)數(shù)，且a>0，b>-1，若a+b=1，求a2+2a+b2b+1的最小值.

分析 因?yàn)閍2+2a+b2b+1=a+2a+b2-1+1b+1=a+2a+b-1+1b+1=2a+1b+1

=12（2a+1b+1）[a+（b+1）]=12[2+1+2（b+1）a+ab+1]≥12（3+22）.當(dāng)且僅當(dāng)a=2（b+1），即a=4-22，b=22-3時(shí)取等號(hào)，故最小值為12（3+22）.

點(diǎn)評(píng) 分析題目發(fā)現(xiàn)，結(jié)論式子中的分母是a和b+1，利用好條件化去分母才可以解題，所以由a+b=1配得a+（b+1）=2是必由之路.

2 合理拼湊

例2 若x>0，y>0且x+y=1，求x+12+y+12的最大值.

分析 因?yàn)閤>0，y>0且x+y=1，

則x+12+y+12=（x+12）·1+（y+12）·1≤x+12+12+y+12+12=12（x+y+3）=2 當(dāng)且僅當(dāng)x+12=1且y+12=1且x+y=1即x=y=12時(shí)，等號(hào)成立，所以最大值是2.

點(diǎn)評(píng) 在給出的條件式或結(jié)論式中，先進(jìn)行化簡(jiǎn)處理是常規(guī)的解題手段，其中包括化簡(jiǎn)復(fù)雜的分式、根式等，本題中利用基本不等式化去根號(hào)就是設(shè)法化簡(jiǎn)的一種思路.

3 適當(dāng)變形

例3 已知正數(shù)x，y滿足1x+1y=1，求4xx-1+9yy-1的最小值.

分析 由1x+1y=1，得x+y=xy，則4xx-1+9yy-1=4（x-1）+4x-1+9（y-1）+9y-1

=13+4x-1+9y-1=13+9x+4y-13xy-x-y+1=9x+4y=（9x+4y）（1x+1y）=13+4yx+9xy

≥13+236=25.當(dāng)且僅當(dāng)3x=2y且1x+1y=1，即x=53，y=52時(shí)，等號(hào)成立，所以最小值為25.

點(diǎn)評(píng) 本題先把給出的條件進(jìn)行變形，然后再將結(jié)論進(jìn)行連續(xù)變形轉(zhuǎn)化，達(dá)到了解題目的，可以說是不斷變形的結(jié)果.

4 連續(xù)放縮

例4 已知a>0，b>0，c>2，且a+b=2，求acb+cab-c2+5c-2的最小值.

分析 由于a+b=2，則ab+1ab-12=ab+14（a+b）2ab-12=ab+14（ab+2+ba）-12

=54ab+14ba≥52;又c>2，則c-2>0于是acb+cab-c2+5c-2 =c（ab+1ab-12）

+5c-2≥52c+5c-2=5（c-22+1c-2）+5≥10+5.當(dāng)且僅當(dāng)b=5a且c=2+2時(shí)等號(hào)成立，所以原式的最小值為10+5.

點(diǎn)評(píng) 由于本題的結(jié)論式比較復(fù)雜，解題中使用了兩次基本不等式進(jìn)行放縮，如果連續(xù)放縮時(shí)取等號(hào)的條件一致或互相之間沒有影響，是完全可行的.

5 整體構(gòu)造

例5 若實(shí)數(shù)a、b滿足ab-4a-b+1=0（a>1），求（a+1）·（b+2）的最小值.

分析 由a>1，得a-1>0，由ab-4a-b+1=0得，ba-1-4a-1=3，b-4=3a-1，b+2=6a-3a-1，于是（a+1）·（b+2）=（6a-3）（a+1）a-1=

6（a-1）2+15（a-1）+6a-1=6（a-1）+6a-1+15≥6×2+15=27.當(dāng)且僅當(dāng)6（a-1）=

6a-1，即a=2時(shí)，（a+1）·（b+2）取最小值為27.

點(diǎn)評(píng) 本題中沒有直接告訴相關(guān)的分式，通過挖掘已知條件，整體思考，對(duì)條件式和結(jié)論式子進(jìn)行重新整理，構(gòu)造出可用均值不等式求解式子，化解了問題的難點(diǎn).

6 及時(shí)換元

例6 已知正實(shí)數(shù)a，b滿足1（2a+b）b+2（2b+a）a=1，求ab的最大值.

分析 ab=ab（1（2a+b）b+2（2b+a）a）=a2a+b+2b2b+a，令2a+b=x，2b+a=y，則a=2x-y3，b=2y-x3，所以ab=2x-y3x·2（2y-x）3y=2-13（yx+2xy）≤2-23yx·2xy=2-223.當(dāng)且僅當(dāng)y=2x時(shí)，ab有最大值為2-223.

點(diǎn)評(píng) 本題中的條件式中的分母結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，通過對(duì)分母換元后使式子簡(jiǎn)單明朗，出現(xiàn)了可使用基本不等式的規(guī)范模型，從而后面的解題手到功成了.

以上通過針對(duì)具體題目，講述了用基本不等式解決含有多元等式條件的最大值或最小值問題處理方法，當(dāng)然還有許多其他的實(shí)用方法，這里只是展示幾種常見的，拋磚引玉，可能有失偏頗或以偏概全，不到之處，請(qǐng)讀者朋友批評(píng)指正.