牟天樂(lè)

【摘要】錯(cuò)題的有效利用是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)的重要方法之一，特別是高中數(shù)學(xué)，知識(shí)點(diǎn)繁多，很容易出錯(cuò).本文從錯(cuò)題本的重要性、使用方法與要點(diǎn)以及使用示例等方面系統(tǒng)地闡述如何高效利用錯(cuò)題本提高學(xué)習(xí)效率，同時(shí)通過(guò)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法與策略進(jìn)行指導(dǎo)，合理運(yùn)用錯(cuò)題本對(duì)做過(guò)的題目進(jìn)行反思，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，從而取得進(jìn)步.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);錯(cuò)題反思;學(xué)習(xí)策略

1 立足現(xiàn)狀，巧設(shè)反思

提起高中數(shù)學(xué)，很多學(xué)生就愁眉苦臉，難度大、知識(shí)點(diǎn)多，且很“拉分”.基礎(chǔ)較弱的學(xué)生花費(fèi)大量的時(shí)間學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，結(jié)果卻不盡如人意.而即使思維活躍的同學(xué)，每次成績(jī)也會(huì)有很大的波動(dòng).究其原因，是學(xué)生沒(méi)有將反思性的學(xué)習(xí)方式貫穿始終.

筆者認(rèn)為在學(xué)習(xí)過(guò)程中要學(xué)會(huì)總結(jié)，立足于平時(shí)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)積累，逐步克服學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的困難，才能提高數(shù)學(xué)成績(jī).以150分的試卷為例，60分左右是簡(jiǎn)單題，只要熟悉定理，很快就能得出答案;還有60分左右是中檔題，這些題目就需要考生能夠合理、靈活運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行解答，通常是要將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)進(jìn)行解題;最后30分是難題，對(duì)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、邏輯思維、運(yùn)算能力等均有很高的要求，得分率普遍較低.筆者對(duì)班級(jí)一些學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生的作業(yè)考試情況進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)在難題上，能做對(duì)的只是極少數(shù)同學(xué)，真正容易拉開(kāi)差距的是簡(jiǎn)單題和中檔題.高分的同學(xué)都是簡(jiǎn)單題和中檔題的正確率很高，面對(duì)難題他們也會(huì)不斷嘗試鉆研，而考得不理想的同學(xué)往往是在簡(jiǎn)單題和中檔題就錯(cuò)誤百出，對(duì)難題更是望而卻步，分?jǐn)?shù)自然就低.因此對(duì)于成績(jī)不理想的同學(xué)，提高簡(jiǎn)單題和中檔題的準(zhǔn)確率就顯得尤為重要.

由于數(shù)學(xué)學(xué)科，內(nèi)容包含了很多原理定理以及它們的特例，而這些特例往往是考試時(shí)命題者設(shè)置的“陷阱”，馬虎粗心、對(duì)知識(shí)點(diǎn)不夠熟悉、思考不夠全面等等都有可能導(dǎo)致錯(cuò)誤.這時(shí)，教育的首要任務(wù)就是讓這些學(xué)生學(xué)會(huì)反思，學(xué)會(huì)改錯(cuò)，遇到做錯(cuò)的題目要及時(shí)反思感悟，查漏補(bǔ)缺，錯(cuò)有所思才能有所得.因此，有一本自己的錯(cuò)題本，有一套整理錯(cuò)題的方案，懂得對(duì)特殊的知識(shí)點(diǎn)加以防范，是免入“陷阱”的好方法，今后再遇到類似的問(wèn)題時(shí)才能夠從容應(yīng)對(duì).

2 抓牢錯(cuò)因，提煉方法

知錯(cuò)改錯(cuò)是引導(dǎo)學(xué)生辨析正誤、自我提升的重要手段.現(xiàn)代教育心理學(xué)觀點(diǎn)認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生HYPERLINK"https：//baike.so.com/doc/3664705-3851758.html"＼t"https：//baike.so.com/doc/_blank"的現(xiàn)有水平，另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平.兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū).教學(xué)HYPERLINK"https：//baike.so.com/doc/2968805-3131790.html"＼t"https：//baike.so.com/doc/_blank"應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生提供帶有難度的內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能，不斷地產(chǎn)生錯(cuò)誤，糾正錯(cuò)誤，從而提高認(rèn)知水平.

一本好的錯(cuò)題本，是融入自己的思考與探索的.學(xué)生制作錯(cuò)題本的過(guò)程應(yīng)該是進(jìn)行自我對(duì)話的過(guò)程，它強(qiáng)調(diào)學(xué)生在制作過(guò)程中不斷調(diào)整自我認(rèn)識(shí)，進(jìn)行自我完善.當(dāng)然，盲目地接受，將所有錯(cuò)題一股腦全盤摘抄，不去思考，這樣效果肯定是微乎其微的.做好錯(cuò)題本確實(shí)需要花費(fèi)一些精力，尤其是剛開(kāi)始做的時(shí)候.堅(jiān)持一段時(shí)間熟練以后，必然能讓你的學(xué)習(xí)效率大大提高.用好錯(cuò)題本，當(dāng)你整理吸收的錯(cuò)題達(dá)到一定量以后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)你的失誤會(huì)逐漸減少最后不會(huì)再犯，并且很享受每次題目設(shè)置的“陷阱”被你識(shí)破的過(guò)程，成績(jī)也能穩(wěn)步提升.

筆者根據(jù)不同學(xué)生的錯(cuò)題摘錄情況提出以下幾點(diǎn)建議：

2.1分類摘錄

摘錄錯(cuò)題是做好錯(cuò)題本的第一步，主要有兩個(gè)原則：一、不是所有錯(cuò)題都要往錯(cuò)題本上搬;二、不是只有錯(cuò)題才能記到錯(cuò)題本上.先解釋第一條原則，在日常學(xué)習(xí)中，會(huì)遇到大大小小各種類型的錯(cuò)題，這時(shí)就需要你根據(jù)自己的實(shí)際情況先對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行分析，是何種原因?qū)е洛e(cuò)誤.重視基礎(chǔ)性、概念性的錯(cuò)誤，適當(dāng)放棄一些你根本就沒(méi)有思路的問(wèn)題或者明顯是超過(guò)你能力范圍的問(wèn)題.摘錄錯(cuò)題更多的是為了鞏固基礎(chǔ)，基礎(chǔ)牢固后才能攻克難題.另外，在整理錯(cuò)題本時(shí)也不能僅僅局限于錯(cuò)的題目，一些好的題目，涉及好的解題方法，好的解題思路等也可往錯(cuò)題本上記.同時(shí)要把錯(cuò)題本分成幾個(gè)模塊，對(duì)記上去的題目進(jìn)行分類，哪些是基礎(chǔ)性錯(cuò)誤，哪些是發(fā)展性錯(cuò)題，哪些是好的解題方法等等.

例1 在△ABC中，AC=5，AB=6，cosA=34，點(diǎn)O滿足4OA+5OB+6OC=0→，若OP=xOB+yOC，其中0≤x≤1，0≤y≤1，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋的面積為.

思路解法 綜合運(yùn)用等和線、奔馳定理等知識(shí)點(diǎn)，將條件4OA+5OB+6OC=0→運(yùn)用奔馳定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，OP=xOB+yOC，0≤x≤1，0≤y≤1，動(dòng)點(diǎn)P軌跡覆蓋的區(qū)域即兩個(gè)三角形OBC.

在遇到例1這個(gè)問(wèn)題時(shí)，第一類同學(xué)可能束手無(wú)策，無(wú)法對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化;第二類同學(xué)可能想到用等和線或者奔馳定理相關(guān)結(jié)論，但當(dāng)多種情形結(jié)合起來(lái)時(shí)卻又算不下去;第三類可能會(huì)想到用別的方法（比如坐標(biāo)法）解決，但過(guò)程繁瑣.因此，對(duì)不同學(xué)生而言，這道題的價(jià)值就不一樣.分類摘錄錯(cuò)題，也就是學(xué)生根據(jù)自己實(shí)際情況，綜合評(píng)判一道題對(duì)你的幫助在哪里.

在摘錄錯(cuò)題的時(shí)候還要注意，錯(cuò)題本在進(jìn)行整理時(shí)，要用不同顏色的筆進(jìn)行區(qū)分，例如黑筆用于抄錄原題和解答，紅筆用于寫下該題錯(cuò)誤原因以及自己的總結(jié)反思，藍(lán)筆用于寫題目的類別等等.

2.2 分析問(wèn)題

題目摘錄好以后，一定要對(duì)題目進(jìn)行及時(shí)分析.對(duì)于錯(cuò)題，要從以下兩個(gè)方面入手分析，一是是否為馬虎性錯(cuò)誤，如審題不清、條件看漏、看錯(cuò)、計(jì)算錯(cuò)誤、書(shū)寫格式等等;二是概念定理不清、題目條件應(yīng)用不到位、隱藏條件沒(méi)有充分挖掘等等.對(duì)于好題，主要是要分析思想方法好在哪里，是對(duì)某個(gè)條件的巧妙轉(zhuǎn)化，還是對(duì)某個(gè)定理的靈活運(yùn)用.簡(jiǎn)而言之，分析題目就是借助各種錯(cuò)題資源，針對(duì)錯(cuò)因形成自己的理解.

對(duì)于例1而言，更多的可能是概念定理不清、題目條件應(yīng)用不到位，即對(duì)奔馳定理、等和線的概念不清楚等，起到查漏的作用.

2.3 指導(dǎo)實(shí)踐

分析問(wèn)題過(guò)后，更重要的是實(shí)踐，即通過(guò)分析所得來(lái)指導(dǎo)以后再遇到類似的題目怎么辦，并及時(shí)記錄自己的所思所想.

對(duì)于例1，類似條件4OA+5OB+6OC=0→即要想到奔馳定理，看到條件OP=xOB+yOC就需要聯(lián)想到等和線.

例如高一數(shù)學(xué)第一章集合內(nèi)容中有這樣一道題目：

例2 已知集合A=x|-2

若A∪B=A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

對(duì)于這一類問(wèn)題，學(xué)生在解答的時(shí)候最容易忽略的情況就是集合B是空集的情況，這是馬虎嗎？其實(shí)不是，是對(duì)集合的運(yùn)算以及子集的概念不清晰導(dǎo)致的.所以對(duì)這道題目進(jìn)行反思，要提醒自己，做到類似求子集的問(wèn)題時(shí)要先考慮到空集，空集是任何集合的子集.

再比如三角函數(shù)板塊，三角函數(shù)大題是每年高考的必考題，難度適中，不容有失.這就需要考生能快速、準(zhǔn)確的作出判斷并解答.下面這道三角函數(shù)題就是一個(gè)很值得研究的題目：

例3 在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，2bcosB=acosC+ccosA.求角B的大小.

這一類題目仔細(xì)去研究，其實(shí)解題流程都類似，可以總結(jié)出來(lái)三個(gè)解題經(jīng)驗(yàn)：

（1）邊與角在同一式子中出現(xiàn)時(shí)，要用正弦定理把邊角統(tǒng)一，通常是化為角;

（2）三角形內(nèi)角A，B，C在同一式子出現(xiàn)，一定會(huì)用到內(nèi)角和為180度;

（3）三角形中同角的正弦可約而余弦不可，因?yàn)橛嘞铱赡転?而正弦不會(huì).

例如 本題條件2bcosB=acosC+ccosA，符合經(jīng)驗(yàn)1，把邊化為角以后再利用三角恒等變換可得2sinBcosB=sinA+C，這時(shí)，符合經(jīng)驗(yàn)2，因此可以得出

A+C=π-B，所以sinA+C=sinπ-B=sinB=2sinBcosB.

再根據(jù)經(jīng)驗(yàn)3，可得sinB≠0，所以cosB=12，B=π3.

即可求出結(jié)果，所以對(duì)于一類題型，做對(duì)只是一方面，更重要的是你能從這些題目中感悟出的經(jīng)驗(yàn)方法，來(lái)指導(dǎo)后續(xù)的實(shí)踐.

2.4 溫故知新

我國(guó)古代偉大的教育家孔子曾說(shuō)：溫故而知新，可以為師矣.錯(cuò)題本不是把錯(cuò)題改完了記到本子上就結(jié)束了.對(duì)于已經(jīng)思考過(guò)的錯(cuò)題，還需要經(jīng)常性地翻閱，再次建構(gòu)學(xué)習(xí).可以根據(jù)記憶遺忘曲線，剛開(kāi)始的時(shí)候多回顧，印象深刻之后頻率可以逐漸降低.每次回顧時(shí)，注重自己對(duì)錯(cuò)題的理解，不斷進(jìn)行延伸拓展.

通過(guò)試驗(yàn)，筆者發(fā)現(xiàn)此方法在考前效果最佳.很多學(xué)生在考試前仍然不斷地刷題，以為做的題越多效果就會(huì)越好.這種做法其實(shí)是不可取的，考前學(xué)生不需拼命做新的題目，只需把錯(cuò)題拿出來(lái)，有針對(duì)性地溫習(xí)一遍，就能起到事半功倍的效果.在今后遇到同類問(wèn)題時(shí)，會(huì)立刻回想起曾經(jīng)犯的錯(cuò)誤，從而避免再犯.做到同一道題不能錯(cuò)兩次，同一類題目不能錯(cuò)兩次，從而減少習(xí)題量.

2.5 把書(shū)讀“薄”

把書(shū)讀“薄”，即錯(cuò)題的再整理.當(dāng)錯(cuò)題本上的題目逐漸變多了以后，復(fù)習(xí)的時(shí)間會(huì)變久，對(duì)于靠前部分的題目可能看過(guò)很多次早已滾瓜爛熟，收效甚微.這個(gè)時(shí)候就需要把錯(cuò)題本讀“薄”，即錯(cuò)題本的再整理.高中階段，建議新課期間用好一本錯(cuò)題本，到總復(fù)習(xí)開(kāi)始之前重新準(zhǔn)備一個(gè)本子，將原有的題目重新整理，篩除一些已經(jīng)很熟悉的題目，留下一些還未完全吸收的題目，這樣我們后續(xù)再翻的時(shí)候能有的放矢，加深學(xué)習(xí)，提高效率.

2.6 扉頁(yè)應(yīng)用

扉頁(yè)，即一本本子的第一頁(yè)，我們把它稱為整個(gè)本子的風(fēng)水寶地，它的位置好，每次翻開(kāi)的時(shí)候基本上都能看到.這里可以用來(lái)記“精煉且重要的易錯(cuò)點(diǎn)”，最好能濃縮為一句話.

“二次項(xiàng)系數(shù)0的討論”“求子集注意空集”“方程的解、函數(shù)定義域值域要用集合表示”“對(duì)數(shù)函數(shù)注意定義域”“向量AB與BC的夾角是補(bǔ)角”等等.可能你會(huì)問(wèn)為什么要記“精煉且重要的易錯(cuò)點(diǎn)”？因?yàn)楸M管我們常常能翻到扉頁(yè)，但是停留的時(shí)間不會(huì)很長(zhǎng).精煉的語(yǔ)句能夠讓我們迅速提煉出有用的信息，一目了然.

2.7 相互學(xué)習(xí)

一個(gè)學(xué)生能整理的錯(cuò)題是有限的，而且因?yàn)椴煌瑢W(xué)生的數(shù)學(xué)能力與思維方式存在一定的差異，收集的錯(cuò)題也是千差萬(wàn)別，但不可否認(rèn)的是每一位學(xué)生收集的錯(cuò)題都有自己的“精華”部分，對(duì)一些題目也有自己獨(dú)特的理解與反思.因此每隔一段時(shí)間，學(xué)生之間可以組織相互傳閱錯(cuò)題本，相互借鑒，取長(zhǎng)補(bǔ)短.在這過(guò)程中，不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的交流，也是做錯(cuò)題本心得的分享，學(xué)生的不同思維會(huì)產(chǎn)生激烈的碰撞，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，共同進(jìn)步.

3 運(yùn)用策略，提升自我

學(xué)會(huì)一個(gè)好的學(xué)習(xí)方法很簡(jiǎn)單，但是將好的學(xué)習(xí)方法堅(jiān)持下去，成為一種習(xí)慣就很難.剛開(kāi)始整理錯(cuò)題的時(shí)候，由于不熟練速度會(huì)比較慢，要花很多的時(shí)間，這些都是正常的，速度慢，恰恰說(shuō)明你的認(rèn)真，你的用心.不要著急，耐心去做，提高效率與熟練度.

現(xiàn)代教育家提出的有意義的學(xué)習(xí)論，指要在新舊知識(shí)之間找到某種聯(lián)系，從而讓學(xué)習(xí)者在認(rèn)知框架中吸收新知識(shí).錯(cuò)題的反思感悟本來(lái)就是知識(shí)再次建構(gòu)的過(guò)程，不斷地將錯(cuò)題回爐重造，填補(bǔ)自己的知識(shí)漏洞，才能獲得新的體會(huì).同時(shí)從錯(cuò)題找出知識(shí)點(diǎn)漏洞、找出答題時(shí)自己思維習(xí)慣的弱點(diǎn)，加以修正完善，這才是錯(cuò)題本學(xué)習(xí)法的精髓.

所以，堅(jiān)持下去，讓回顧錯(cuò)題與好題成為你的習(xí)慣，特別是能力范圍之內(nèi)的知識(shí)點(diǎn)與題目，要保證100%拿下，稍微超出能力范圍的，那就是努力的方向，解決掉這些，你就會(huì)取得進(jìn)步，這也就是著名教育學(xué)家維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”.最后，希望各位讀者能著眼于最近發(fā)展區(qū)，不斷攻克它來(lái)擴(kuò)大自己的已有知識(shí)面，從而取得更好的成績(jī)！

【受汕頭市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃項(xiàng)目（2021GHB034）資助】

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