祁曉莉

【摘要】數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育（HPM）是數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要研究分支.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2017中也強(qiáng)調(diào)“如何將數(shù)學(xué)史融入到數(shù)學(xué)教育是一個(gè)重要的課題”[1].基于此現(xiàn)狀，筆者對(duì)2000-2021年數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教育的相關(guān)研究進(jìn)行分析和整理，并以“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”這一節(jié)課為例，進(jìn)行融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)設(shè)計(jì).針對(duì)只有少部分一線教師會(huì)在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的現(xiàn)狀，提出相應(yīng)的教學(xué)建議：加強(qiáng)數(shù)學(xué)史與歷史、現(xiàn)實(shí)和其他學(xué)科的聯(lián)系.為職前教師開展數(shù)學(xué)史課程，高校數(shù)學(xué)史研究人員與高中一線教師進(jìn)行合作，將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)史轉(zhuǎn)化為學(xué)生可接受的教學(xué)材料，具有一定的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);HPM;教學(xué)設(shè)計(jì)

1 HPM發(fā)展歷程

1.1 HPM的誕生

1976年，HPM正式隸屬于ICMI，它的主要目標(biāo)是：聯(lián)合數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)歷史學(xué)家、社會(huì)科學(xué)家、數(shù)學(xué)老師和其他數(shù)學(xué)工作者，以提倡和推動(dòng)跨學(xué)科研究;對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展方式以及導(dǎo)致這種發(fā)展的驅(qū)動(dòng)力有更深入的了解;為了促進(jìn)教學(xué)和課程開發(fā)，將HPM和數(shù)學(xué)的發(fā)展聯(lián)系起來(lái);方便教師和其他數(shù)學(xué)工作者得到數(shù)學(xué)史等有關(guān)資料;促進(jìn)人們對(duì)數(shù)學(xué)歷史的思考[2].

1.2 歷史相似性研究

歷史相似性是指?jìng)€(gè)體認(rèn)知的發(fā)展遵循人類認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.克萊因（Klein）認(rèn)為：“個(gè)人成長(zhǎng)必須以相同的順序.數(shù)學(xué)教學(xué)與其他事物一樣，遵循這項(xiàng)定律[3].”國(guó)內(nèi)研究經(jīng)歷了這種成長(zhǎng)的所有階段，但是所需的時(shí)間卻減少了，后者在這方面也下了功夫，華東師范大學(xué)汪曉勤教授所在的團(tuán)隊(duì)考察了高中一年級(jí)的學(xué)生對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)求和和虛數(shù)乘法這兩個(gè)問題的理解程度，結(jié)果顯示，學(xué)生們對(duì)這兩個(gè)問題的認(rèn)知水平和歷史上數(shù)學(xué)家的理解很相似.

根據(jù)以上數(shù)學(xué)家的論述不難看出：個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)的理解遵循數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過程.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，歷史是教學(xué)的指導(dǎo).講解新課時(shí)，教師可以根據(jù)前人在研究此問題時(shí)遇到的困難來(lái)推測(cè)學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)可能遇到的困難，從而做到有的放矢，有針對(duì)性地教學(xué).

2 數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教育

2.1 研究現(xiàn)狀

有關(guān)數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教育的研究可以分為以下幾個(gè)維度：

（1）教育價(jià)值的探索和實(shí)踐;

（2）如何有效地融入數(shù)學(xué)史;

（3）相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì).

數(shù)學(xué)史的相關(guān)研究可以追溯到很多年前，并且大量研究表明，數(shù)學(xué)史可以促進(jìn)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展.但數(shù)學(xué)史并沒有真正走進(jìn)高中數(shù)學(xué)課堂，很少有一線教師在日常教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史.

近年來(lái)，有學(xué)者認(rèn)為，職前教師的數(shù)學(xué)史課程不應(yīng)局限在講故事、看圖片的膚淺層面，這樣只會(huì)在形式上將數(shù)學(xué)史融入到教學(xué)中，并未發(fā)揮出數(shù)學(xué)史的作用[4].

如何讓數(shù)學(xué)史課程真正起到作用？如何讓數(shù)學(xué)史真正走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，成為日常教學(xué)的一部分？這些問題其實(shí)都沒有解決.筆者認(rèn)為，HPM研究者在向一線教師介紹可供教學(xué)的數(shù)學(xué)史料外，同時(shí)需要將更多形式的史料轉(zhuǎn)化為可供教育的數(shù)學(xué)史，讓教師親身體會(huì)數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教育的構(gòu)思、設(shè)計(jì)、調(diào)整和實(shí)施的全過程，從中汲取思想養(yǎng)料，探索教學(xué)方法.

2.2 發(fā)展趨勢(shì)

數(shù)學(xué)史具有回顧與前瞻并存的特點(diǎn)，基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)堅(jiān)守科學(xué)的態(tài)度和理性的精神.HPM成立的目的是探討數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系，為將數(shù)學(xué)史整合到數(shù)學(xué)教育中提供理論和實(shí)踐方法，提高數(shù)學(xué)教育水平.

數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)的相關(guān)研究發(fā)展趨勢(shì)如下：

（1）注重教師教育中的數(shù)學(xué)史課程;

（2）為中學(xué)課堂提供數(shù)學(xué)史素材;

（3）如何在教學(xué)設(shè)計(jì)中有意義地融入數(shù)學(xué)史.

2.3 數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教育的價(jià)值

2.3.1 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

Gulikers和Blom從“動(dòng)機(jī)視角”總結(jié)了數(shù)學(xué)的價(jià)值：增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、使數(shù)學(xué)變得更加親和[5].國(guó)際數(shù)學(xué)泰斗陳省身在《數(shù)學(xué)史概論》一書的題詞中寫道：“理解歷史的變化是理解這門學(xué)科的重要一步”[6].”麥克布萊德（McBride）認(rèn)為，在課上講一點(diǎn)數(shù)學(xué)故事，可以點(diǎn)燃學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的激情，促使學(xué)生獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣[7].

還有數(shù)學(xué)家認(rèn)為：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該關(guān)注原始的理論，主動(dòng)尋找數(shù)學(xué)家們留下來(lái)的思想方法，而不是依賴“重造的思想”.這就要求教師與學(xué)生要關(guān)注數(shù)學(xué)的歷史，關(guān)注概念、公理的產(chǎn)生過程.

綜上，數(shù)學(xué)史為學(xué)生理解數(shù)學(xué)提供了重要依據(jù).教師用歷史趣事來(lái)豐富數(shù)學(xué)枯燥的解題過程，擴(kuò)展了課堂的廣度和深度.學(xué)生在梳理知識(shí)脈絡(luò)時(shí)，用現(xiàn)有的方法解決歷史中的數(shù)學(xué)問題，加深對(duì)知識(shí)的理解，獲得成就感并增加對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.

2.3.2 提高學(xué)生審美水平

數(shù)學(xué)史的導(dǎo)入，可以讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的趣味美;數(shù)學(xué)史解惑，可以讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的邏輯美;數(shù)學(xué)史閱讀，可以讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的內(nèi)涵美.

例如 在講授《集合》這一部分時(shí)，可以由被稱為科學(xué)界的“瘋子”康托爾的故事導(dǎo)入.他證明了直線上的點(diǎn)可以一對(duì)一地對(duì)應(yīng)于平面上的點(diǎn)和空間中的點(diǎn)，進(jìn)而發(fā)表了關(guān)于無(wú)窮集合的相關(guān)論文.

以數(shù)學(xué)史的方式導(dǎo)入新課，師生可以共同品鑒其中的樂趣，體會(huì)數(shù)學(xué)之美.例如在學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系時(shí)，了解笛卡爾的發(fā)現(xiàn)過程，他用觀察的眼光發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)問題，用質(zhì)疑精神去探索，最后創(chuàng)立了坐標(biāo)幾何.對(duì)數(shù)學(xué)的了解越深，越能發(fā)現(xiàn)其中的美感.

3 數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1 理論基礎(chǔ)

“再創(chuàng)造理論”認(rèn)為，重要的是讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程，而不是簡(jiǎn)單地學(xué)習(xí)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)理論.“再創(chuàng)造”思想主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面：

（1）在歷史發(fā)生原理的基礎(chǔ)上，再現(xiàn)數(shù)學(xué)過程;

（2）在教學(xué)過程中，教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造;

（3）基于現(xiàn)實(shí)的再創(chuàng)造;

（4）關(guān)注學(xué)習(xí)的過程，切忌從結(jié)果出發(fā)，思維顛倒的教學(xué).

“再創(chuàng)造”過程要求教師結(jié)合學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，切實(shí)引導(dǎo)學(xué)生親自把需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)，用自己的觀點(diǎn)看待問題.學(xué)生體會(huì)新知識(shí)的獲得和數(shù)學(xué)知識(shí)的演變、更新過程，獲得成就感.

例如 具體案例分析——以“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”為例.

泰姬陵是印度知名度最高的古跡之一，如圖1，陵寢中有一個(gè)由寶石點(diǎn)綴而成的三角形圖案，共一百層，由此可見，非常奢靡.你知道這個(gè)圖案中共有多少顆寶石嗎？本節(jié)課我們就來(lái)探討這個(gè)問題.

圖1 泰姬陵三角形寶石圖案

設(shè)計(jì)說明 本設(shè)計(jì)采用“附加式”融入數(shù)學(xué)史的方式，在新課導(dǎo)入的過程中，教師使用多媒體設(shè)備顯示泰姬陵中寶石的圖片，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)每一層寶石的數(shù)量比上一層多一顆，構(gòu)成等差數(shù)列，并提出問題：共有多少顆寶石？即計(jì)算等差數(shù)列的前100項(xiàng)和，進(jìn)而引出本節(jié)課的主題.將數(shù)學(xué)史納入新課的導(dǎo)入部分，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且學(xué)生渴望繼續(xù)探索，從而感受到了數(shù)學(xué)的美麗和學(xué)習(xí)的樂趣.

3.2 引入新知

在高斯小時(shí)候，有一天他的老師要求學(xué)生計(jì)算：

1+2+3+…98+99+100=？

對(duì)于小孩子來(lái)說，這道題的難度還是非常大的.但高斯很快就找到了答案，你知道高斯使用的是什么方法嗎？下面給同學(xué)們一點(diǎn)時(shí)間挑戰(zhàn)這位數(shù)學(xué)家.高斯的方法：正數(shù)第一項(xiàng)與最后一項(xiàng)的和：1+100=101;正數(shù)第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)的和：2+99=101;第五十項(xiàng)與倒數(shù)第五十項(xiàng)的和：50+51=101.因此，前一百項(xiàng)的總和為：101*50=5050.

設(shè)計(jì)說明 本設(shè)計(jì)仍然采用“附加式”融入數(shù)學(xué)史的方式，通過高斯的童年故事，介紹了本節(jié)課中一種重要的解題方法——倒序相加法.這樣可以加深學(xué)生對(duì)這一方法的印象，使其更生動(dòng)地理解其中的涵義.

3.3 解決問題

《張丘建算經(jīng)》中有言：“今有女子善織布，織布數(shù)逐日同數(shù)增，初日織五尺，計(jì)織三十日，共織九匹三丈，問日增幾何？

設(shè)計(jì)說明 本設(shè)計(jì)采用在課堂中“復(fù)制式”融入數(shù)學(xué)史的方式，首先，學(xué)生需要將文字形式的數(shù)學(xué)史料抽象為數(shù)學(xué)問題，在這個(gè)問題中已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為5，項(xiàng)數(shù)n和前n項(xiàng)和Sn，需要求公差d.學(xué)生需要將公式Sn=n·a1+n（n-1）d2進(jìn)行合理變形，從而求解出d=0.56.

學(xué)生利用剛剛學(xué)到的知識(shí)解決歷史上的數(shù)學(xué)問題，獲得成就感，增加學(xué)習(xí)興趣.教師引導(dǎo)學(xué)生“從史中學(xué)”，了解前人發(fā)現(xiàn)問題、思考問題及解決問題的過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維.

4 教學(xué)建議

《新課標(biāo)》中強(qiáng)調(diào)要將數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)，因此，必須要加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史的理解程度.比如可以從橫向和縱向兩方面拓寬數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系.橫向指的是數(shù)學(xué)與其他學(xué)科如物理、化學(xué)、語(yǔ)文等的聯(lián)系.縱向指的是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，相關(guān)的數(shù)學(xué)史與現(xiàn)有的知識(shí)體系的聯(lián)系，比如在學(xué)到某個(gè)新概念、公理時(shí)，聯(lián)想到概念、公理產(chǎn)生和發(fā)展的過程.筆者認(rèn)為，可以改善以下幾方面，從而將數(shù)學(xué)史更有效地融入到高中數(shù)學(xué)教學(xué).

4.1 加強(qiáng)與歷史背景的聯(lián)系

在數(shù)學(xué)課堂中開展數(shù)學(xué)史教育要充分加強(qiáng)與本土歷史背景的聯(lián)系，對(duì)于具有相似開發(fā)背景的教學(xué)內(nèi)容，可以采用類似的演示和教學(xué)策略.《課標(biāo)》中強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)課程應(yīng)反映數(shù)學(xué)的歷史，這要求教師對(duì)數(shù)學(xué)的歷史背景與我國(guó)歷史背景之間的關(guān)系有深刻的認(rèn)識(shí).

在課堂上，教師可以介紹數(shù)學(xué)的相關(guān)背景知識(shí)，也可以介紹數(shù)學(xué)發(fā)展中的一些重要?dú)v史事件和人物.

4.2 加強(qiáng)與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系

數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)指的是運(yùn)用數(shù)學(xué)概念和方法對(duì)客觀事物的全面認(rèn)識(shí)，具體來(lái)說，既包括學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)問題，也包括學(xué)生原本的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

加強(qiáng)數(shù)學(xué)史與現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系可以通過巧妙地創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境來(lái)實(shí)現(xiàn)，為確保情境的新穎性、學(xué)科性，教師和學(xué)生要時(shí)刻關(guān)注社會(huì)上的新現(xiàn)象、新問題，并帶入課堂教學(xué)中.

4.3 加強(qiáng)與其他學(xué)科的聯(lián)系

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，因此，在編排內(nèi)容時(shí)，要考慮與其他學(xué)科之間的聯(lián)系.數(shù)學(xué)可以用來(lái)幫助解決一些跨學(xué)科問題，在解決復(fù)雜的社會(huì)問題時(shí)也能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性地位.

目前，現(xiàn)有的問題是數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系只停留在表面上，沒有深入到思維領(lǐng)域.數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系不應(yīng)只局限于研究對(duì)象和內(nèi)容上，更要在其他學(xué)科中滲透數(shù)學(xué)思維.在教學(xué)過程中，要利用它們之間的積極聯(lián)系，爭(zhēng)取減少他們之間的消極聯(lián)系.

5 結(jié)語(yǔ)

HPM的研究方向逐漸從“為何”轉(zhuǎn)變?yōu)椤叭绾巍?，即出現(xiàn)越來(lái)越多的HPM教學(xué)案例.但是到目前為止，數(shù)學(xué)史并沒有真正走進(jìn)高中課堂，只有少部分一線教師會(huì)在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史.

高中數(shù)學(xué)可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力、提高學(xué)生審美意識(shí)以及為他們建立起良好的數(shù)字價(jià)值與方法上.目前，教師運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式主要有點(diǎn)綴式，重構(gòu)式多用于探究課題，既可以滿足新課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)的探究要求，并且可以培養(yǎng)附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式教師和學(xué)生的再創(chuàng)造能力.

教師在教學(xué)中可以講講數(shù)學(xué)背后的故事，使枯燥無(wú)聊、晦澀難懂的課堂富有感染力.針對(duì)不同的教學(xué)內(nèi)容，選擇最合適的教學(xué)方法，并適當(dāng)運(yùn)用多媒體等輔助手段，更有效地將數(shù)學(xué)史融入課堂.

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