徐智勇

幾何最值計(jì)算是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，涉及到的知識(shí)豐富，方法靈活！解題實(shí)踐中借助一些成熟的最值模型往往可以事半功倍，本文從一個(gè)實(shí)例開(kāi)始引入一類簡(jiǎn)便的最值模型并給出初步應(yīng)用.

引例 如圖1，點(diǎn)C為線段BD上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），在同側(cè)作等邊△ABC及等邊△ECD，且BD=2，連接AE.求AE的最小值.

常用解法如下.

解 如圖2，分別過(guò)點(diǎn)A，E作AF⊥BC，EG⊥CD，交BC，CD于點(diǎn)F，G，再過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EG，交EG于點(diǎn)H.于是，G四邊形AFGH為矩形，

故AH=FG=FC+CG

=12BC+12CD=12BD=1，

且AH≤AE，

進(jìn)而AE最小=1.

注 容易知道當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，AE取得最小值1，此時(shí)，EG=HG=AF，即BC=CD，點(diǎn)C為BD的中點(diǎn).同時(shí)，注意到在點(diǎn)C移動(dòng)過(guò)程中，△ACE始終保持∠ACE=60°及AC+EC=BC+DC=BD=2，因此猜想以下結(jié)論成立.

結(jié)論1 如圖2，在△ABC中，∠A=θ及AB+AC=m，則當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時(shí)，BC最小=m·sinθ2.

證明 如圖4，若AB=AC，易知BC=m·sinθ2，故僅需證明AB≠AC時(shí)，BC>m·sinθ2即可.不妨設(shè)AB

AD=AE=m2，

即BD=CE，

分別過(guò)點(diǎn)D，C作DF∥BC，CF∥AD，CF交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，進(jìn)而B(niǎo)C=DF，

BD=CE=CF，

且由AD=AE及CF∥AD可知

CG=CE，

進(jìn)而CG=CE=CF，

則∠FEG=90°，

從而B(niǎo)C=DF>DE=m·sinθ2.

證畢.

由以上構(gòu)造可以知道，C，E兩點(diǎn)越靠近，|AB-AC|越小，結(jié)合CE∶CF∶EF為定值（由θ決定），可知EF越小，進(jìn)而B(niǎo)C（DF）逐漸減小并接近于DE.因此，可以得到一個(gè)三角形全等的判定結(jié)論，即“兩個(gè)三角形有一對(duì)角及其對(duì)邊相等，且這對(duì)相等角的夾邊之和亦相等，則這兩個(gè)三角形全等”.

下面給出一些基本應(yīng)用.

例1 如圖3，點(diǎn)P為邊長(zhǎng)為2等邊△ABC邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC，PE⊥AC，交BC，AC于點(diǎn)D，E，連接DE.求DE的最小值.

解 由已知條件可知

sinB=PDPB=32，

sinA=PEPA=32，

故PD+PE=32（PB+PA）=32×2=3，

且易知∠DPE=120°，

故滿足結(jié)論1使用條件，進(jìn)而DE最小=3·sin120°2=32，此時(shí)PD=PE，即點(diǎn)P為AB中點(diǎn).

注 這種計(jì)算最值的方法關(guān)鍵在于找到含有定角且?jiàn)A邊之和為定值的三角形.本例中對(duì)使用結(jié)論1同樣可行，且與一般的利用P，D，C，E四點(diǎn)共圓來(lái)解決問(wèn)題的方法比較也顯得更直接一些！

例2 如圖4，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，D為AB中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足DE⊥DF，連接EF.求EF的最小值.

解 如圖7，連接CD，則由已知條件易知

△CED≌△BFD，

故CE=BF，

即CE+CF=BF+CF=BC=22AB=1，

且∠ACB=90°，

進(jìn)而由結(jié)論1可知

EF最小=1·sin90°2=22.

注 解決本例的另一方法是由條件先證得△DEF為等腰直角三角形，發(fā)現(xiàn)EF與DF存在固定比，即EFDF=2，從而將EF的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為DF的最值問(wèn)題，易知當(dāng)DF⊥BC時(shí)，DF取最小值12，即EF最小=22.

例3 如圖5，點(diǎn)O是△ABC邊AC的中點(diǎn)，連接BO，且∠ABC=60°，AB+CB=2.求AC+BO的最小值.

解 如圖9，延長(zhǎng)BO至點(diǎn)D，使得BO=DO，連接AD，CD.

結(jié)合條件知四邊形ABCD為平行四邊形，

進(jìn)而AB+CB=DC+BC=2，

且∠BCD=180°-∠ABC=120°，

故可對(duì)△ABC及△DCB同時(shí)使用結(jié)論1，即當(dāng)AB=BC=DC時(shí)，AC與BD同時(shí)取得最小值，且BO=BD2，

故AC+BO亦取得最小值，即得

（AC+BO）最小=1+32.

注 本例若僅對(duì)△ABC使用結(jié)論1只能得到AC的最小值，并不能解釋AC+BO亦取得最小值，需要借助類似于上述構(gòu)造方法，得到一個(gè)整體最值判斷！

再作變式延伸，保持結(jié)論1中的定角條件不變，將對(duì)邊改為定值，則存在關(guān)于夾邊之和與夾邊之積的兩個(gè)最值結(jié)論如下：

結(jié)論2 如圖6，在△ABC中，∠A=θ及BC=n，則（AB+AC）最大=nsinθ2，當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時(shí)取得最大值.

證明 如圖，若AB=AC，易知AB+AC=nsinθ2，故僅需證明AB≠AC時(shí)，AB+ACAC，作△ABC的外接圓⊙O，取弧BAC中點(diǎn)A′，則A′B=A′C，∠BA′C=∠BAC，現(xiàn)在僅需證明A′B+A′C>AB+AC.延長(zhǎng)BA′，使得A′B=A′C=A′D，連接CD，再延長(zhǎng)BA，交以A為圓心AC為半徑的圓于點(diǎn)E，連接DE，A′E，AA′.由點(diǎn)A′是弧BAC中點(diǎn)可知

∠A′AB=∠A′BC，

且∠A′AB+∠A′AE=180°及∠A′BC+∠A′AC=180°，

故∠A′AE=∠A′AC，結(jié)合AE=AC，A′A=A′A.可知

△A′EA≌△A′CA，

進(jìn)而A′E=A′C=A′B=A′D，

即∠BED=90°，從而B(niǎo)D>BE，亦即

A′B+A′D=A′B+A′C>AB+AE=AB+AC.證畢.

結(jié)論3 在△ABC中，∠A=θ及BC=n，則（AB·AC）最大=n24sinθ2，當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時(shí)取得最大值.

可以借助面積法加以解決，具體證明留作練習(xí).圖7

練習(xí)

1.如圖7，△ABC中，∠BAC=120°，AB+AC=23.求△ABC外接圓半徑最小值.

2.證明結(jié)論3.