李敏

【摘?要】??數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓，是學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而逐步獲得的數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力及通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)養(yǎng)成的健全人格.數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心是數(shù)學(xué)思維，而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)思維的先導(dǎo)和工具，孕育在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)之中.本文以2021年高考三角函數(shù)試題為例，介紹數(shù)學(xué)思想在三角函數(shù)中的運(yùn)用及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)，希望對(duì)該部分的復(fù)習(xí)備考有一定的幫助.

【關(guān)鍵詞】??數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);高考

1?轉(zhuǎn)化與化歸思想

運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想可以起到鞏固舊知理解新知的效果，其本質(zhì)是轉(zhuǎn)化矛盾，變更問(wèn)題.也就是把一個(gè)不太熟悉的未知問(wèn)題通過(guò)某種手段變成可用自己所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程.常見(jiàn)的三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化有：抽象函數(shù)向具體函數(shù)的轉(zhuǎn)化、特殊函數(shù)向一般函數(shù)的轉(zhuǎn)化、多個(gè)三角函數(shù)向同一函數(shù)的轉(zhuǎn)化、等價(jià)轉(zhuǎn)化. 此外，像由未知角向已知角、統(tǒng)一三角函數(shù)名、降低三角函數(shù)公式的次數(shù)等也都是對(duì)三角恒等變換化簡(jiǎn)求值常用的處理手段.

例1???（北京卷·14）.若點(diǎn)P（?cos?θ，?sin?θ）與點(diǎn)Q（?cos?（θ+??π??6?），?sin?（θ+??π??6?））關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，寫(xiě)出一個(gè)符合題意的θ=?.

解析???由題意可得?cos?θ=-?cos?（θ+??π??6?），?sin?θ=?sin?（θ+??π??6?），

所以?cos?θ=-?cos?θ?cos???π??6?+?sin?θ?sin???π??6?，?sin?θ=?sin?θ?cos???π??6?+?cos?θ?sin???π??6?，

兩式相加得：?cos?θ+?sin?θ=（?cos?θ+?sin?θ）?sin???π??6?+（?sin?θ-?cos?θ）?cos???π??6?，

得??sin?θ+?cos?θ??sin?θ-?cos?θ?=?3?，即?1+?tan?θ?1-?tan?θ?=?tan?（??π??4?+θ）=?tan?（-??π??3?），

所以??π??4?+θ=-??π??3?+k?π?，k∈?Ζ?.可令k=1，則θ=?5?12??π?.

點(diǎn)睛???本題還可以從三角函數(shù)定義的角度結(jié)合兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)這個(gè)條件得到直接兩個(gè)角之間的關(guān)系，即θ+θ+??π??6?=?π?+2k?π?，k∈?Z?;解答本題時(shí)需進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理這兩種數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查不言而喻.

2?數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)與形是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面.數(shù)形結(jié)合思想是通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)抽象數(shù)量關(guān)系與圖形、抽象思維與形象思維有機(jī)結(jié)合的一種思想方法.比如，我們常常用三角函數(shù)線求解三角等式問(wèn)題;在涉及到三角函數(shù)與某一初等函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，常將其性質(zhì)和圖象特征與函數(shù)的圖形聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而將形的問(wèn)題和代數(shù)問(wèn)題巧妙結(jié)合.

例2???（全國(guó)甲卷·文15）已知函數(shù)f（x）=2?cos?（ωx+φ）的部分圖像如圖所示，則f（??π??2?）=?.

解析???由題意可得：?3?4?T=?13?π??12?-??π??3?=?3?π??4?，所以T=?π?，ω=?2?π??T?=2，

當(dāng)x=?13?π??12?時(shí)，ωx+φ=2×?13?π??12?+φ=2k?π?，所以φ=2k?π?-?13?π??6?（k∈?Z?），

令k=1，可得φ=-??π??6?，

所以f（x）=2?cos?（2x-??π??6?），

所以f（??π??2?）=2?cos?（2×??π??2?-??π??6?）

=2?cos??5?π??6?=-?3?.

點(diǎn)睛 ??此題難度不高，主要考查了直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)，牢牢記住解析式的求法是關(guān)鍵.

3?函數(shù)與方程思想

三角函數(shù)的本質(zhì)是圓函數(shù)，其性質(zhì)是圓函數(shù)的代表.因此，通過(guò)函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)分析三角函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題有助于抓住主變量，把握問(wèn)題的本質(zhì).其中，該思想最直接的應(yīng)用體現(xiàn)就是通過(guò)消元法求解三角函數(shù)的值.此外，對(duì)于含參三角函數(shù)的方程問(wèn)題也可以通過(guò)該思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.函數(shù)也是連接方程與不等式的關(guān)鍵一環(huán)，在高考試題中函數(shù)與方程思想在主客觀題中都有考查.

例3???（北京卷·7） .已知函數(shù)f（x）=?cos?x-?cos?2x，則該函數(shù)（??）

（?A?）奇函數(shù)，最大值為2.

（?B?）偶函數(shù)，最大值為2.

（?C?）奇函數(shù)，最大值為?9?8?.

（?D?） 偶函數(shù)，最大值為?9?8?.

解析???因?yàn)閒（-x）=?cos?（-x）-?cos?（-2x）=?cos?x-?cos?2x=f（x），所以f（x）是偶函數(shù).

因?yàn)?cos?2x=2??cos???2x-1，所以f（x）=-2??cos???2x+?cos?x+1，

令?cos?x=t，則f（t）=-2t?2+t+1，t∈[-1，1]，當(dāng)且僅當(dāng)t=?1?4?，f（x）取得最大值，故選?D?.

點(diǎn)睛???本題建立在余弦函數(shù)為背景的基礎(chǔ)上側(cè)重考查函數(shù)的奇偶性和最值.其中在判斷奇偶性時(shí)，可直接利用偶函數(shù)的性質(zhì)：偶+偶=偶;在求函數(shù)最值時(shí)一定要考慮自變量的取值范圍，這里?cos?x∈[-1，1].

例4???（上海卷·15）已知f（x）=3?sin?x+2，對(duì)任意的x?1∈[0，??π??2?]都存在x?2∈[0，??π??2?]使得f（x?1）+2f（x?2+θ）=3成立，則θ的可能取值為（??）

（?A?） ?3?π??5?.??（?B?） ?4?π??5?.???（?C?） ?6?π??5?.?（?D?） ?7?π??5?.

點(diǎn)睛???這道題實(shí)質(zhì)是在求三角函數(shù)的值域，通過(guò)關(guān)鍵詞“任意”“存在”與方程構(gòu)建了以集合間關(guān)系為解題的“切入點(diǎn)”.原問(wèn)題可結(jié)合f（x?1）的取值等價(jià)轉(zhuǎn)化成：當(dāng)x?2∈[0，??π??2?]時(shí)，即x?2+θ∈[θ，θ+??π??2?]，?sin?（x?2+θ）取遍[-1，-?1?2?]上所有的數(shù)，所以一定存在整數(shù)k，

使得：[2k?π?+?7?6??π?，2k?π?+?3?2??π?][θ，θ+??π??2?]或者[2k?π?+?3?2??π?，2k?π?+?11?6??π?][θ，θ+??π??2?].

最后根據(jù)求解的θ的范圍發(fā)現(xiàn)只有?D?符合要求.

4?整體思想和分類(lèi)討論思想

整體思想在三角函數(shù)問(wèn)題應(yīng)用最多的是整體換元，比如可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行降次或萬(wàn)能代換公式轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算. 在研究正弦型函數(shù)時(shí)，常把它看做一個(gè)整體進(jìn)行處理.分類(lèi)討論是通過(guò)將相似問(wèn)題分類(lèi)，實(shí)現(xiàn)縮小解題范圍和化繁為簡(jiǎn)解決問(wèn)題的目的.其中在分類(lèi)時(shí)應(yīng)做到：不發(fā)生遺漏、不重復(fù)分類(lèi)、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一且在所給范圍內(nèi)分類(lèi)，在分完類(lèi)討論各種情況后要注意整合，即有分有合，先分后合.

例5???（新高考Ⅰ卷·19）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b?2=ac，點(diǎn)D在邊AC上， BD?sin?∠ABC=a?sin?C.

（1）證明：BD=b;

（2）若AD=2DC，求?cos?∠ABC·

解析???（1）因?yàn)锽D?sin?∠ABC=a?sin?C，所以由正弦定理得，BD·b=ac，

又因?yàn)閎?2=ac，所以BD·b=b?2，又b>0，所以BD=b.

（2）由題知，AD=?2?3?b，CD=?1?3?b，BD=b，

所以?cos?∠ADB=??4?9?b?2+b?2-c?2?2·?2?3?b·b?=??13?9?b?2-c?2??4?3?b?2?，?cos?∠BDC=??1?9?b?2+b?2-a?2?2·?1?3?b·b?=??10?9?b?2-a?2??2?3?b?2?.

因?yàn)?cos?∠ADB+?cos?∠BDC=0，所以化簡(jiǎn)整理得13b?2-9c?2+20b?2-18a?2=0，

即3c?2+6a?2-11ac=0，方程兩邊同時(shí)除以a?2，得3?（?c?a?）??2-11（?c?a?）+6=0，

解得?c?a?=?2?3?或?c?a?=3.

當(dāng)?c?a?=?2?3?，即c=?2?3?a時(shí)， ?cos?∠ABC=?a?2+c?2-b?2?2ac?=?a?2+c?2-ac?2ac?=?7?12?，

當(dāng)?c?a?=3，即c=3a時(shí)， ?cos?∠ABC=?a?2+c?2-b?2?2ac?=?a?2+c?2-ac?2ac?=?7?6?>1 （舍去）.

綜上：?cos?∠ABC=?7?12?.

點(diǎn)睛???第（1）問(wèn)考查正弦定理中的“角化邊”的應(yīng)用，第（2）問(wèn)考查余弦定理，突破點(diǎn)在于：?cos?∠ADB+?cos?∠BDC=0，化簡(jiǎn)得出關(guān)于a，c的式子，然后構(gòu)造?c?a?并把它看作一個(gè)整體，進(jìn)而得出兩者之間的關(guān)系，最后根據(jù)情況討論.

5?建模思想

建模思想簡(jiǎn)言之就是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，通過(guò)建立相關(guān)數(shù)學(xué)模型將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題不斷抽象化的過(guò)程，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題求解的思想.三角函數(shù)問(wèn)題的解決，同樣可以通過(guò)建模來(lái)完成.運(yùn)用建模思想，可以把具體數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化在圖形上，分析解決圖形的過(guò)程就能夠解決三角函數(shù)的問(wèn)題.

例6????（全國(guó)甲卷·理8） 2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投A′，B′，C′滿足∠A′C′B′=45?°?，∠A′B′C′=60?°?.由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15?°?，BB′與CC′的差為100;由A點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為45?°?，則A，C兩點(diǎn)到水平面A′B′C′的高度差A(yù)A′-CC′約為（??）（?3?≈1.732）.

（?A?） 346.?（?B?）373.?（?C?）446.?（?D?）473.

解析???過(guò)C作CH⊥BB′，過(guò)B作BD⊥AA′;故AA′-CC′=AA′-（BB′-BH）=AA′-BB′+100，

由題易知△ADB為等腰直角三角形，所以AD=DBAA′-CC′=DB+100=A′B′+100，

因?yàn)椤螧CH=15?°?，所以CH=C′B′=?100??tan?45?°??.

在△A′B′C′ 中，由正弦定理得： ?A′B′??sin?45?°??=?C′B′??sin?75?°??=?100??tan?15?°??cos?15?°??=?100??sin?15?°??，

而?sin?15?°?=?sin?（45?°?-30?°?）

=?sin?45?°??cos?30?°?-?cos?45?°??sin?30?°?=??6?-?2??4??，

所以A′B′=?100×4×??2??2???6?-?2??=100（?3?+1）≈273，所以AA′-CC′=A′B′+100≈373.

點(diǎn)睛???本題以生活實(shí)踐情境—三角高量程測(cè)量法為載體，以正余弦定理為工具，還原了解三角形知識(shí)的綜合應(yīng)用過(guò)程.成功作答突破口在于將AA′-CC′的長(zhǎng)度通過(guò)作相關(guān)輔助線的方式轉(zhuǎn)化為A′B′+100，進(jìn)而放到一個(gè)三角形中來(lái)解答.通過(guò)這道來(lái)源于生活的數(shù)學(xué)問(wèn)題顯示了對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的考查.

以上這六種思想都是三角函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中需掌握的，且是高考考查的熱點(diǎn).數(shù)學(xué)思想滲透在三角函數(shù)解題的方方面面，只有在實(shí)踐中多練多想，結(jié)合三角函數(shù)自身總結(jié)相應(yīng)的解題技巧或解題模式，才能進(jìn)一步提高自己的數(shù)學(xué)思維水平和關(guān)鍵能力，形成終生受益的學(xué)科素養(yǎng).也只有在反復(fù)的實(shí)際運(yùn)用中才能使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才在數(shù)學(xué)思想的沃土中生根，收到事半功倍的效果.

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