生紅

【摘要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn).相關(guān)習(xí)題能很好地檢驗(yàn)學(xué)生的理解以及分析問(wèn)題的能力.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)在為學(xué)生系統(tǒng)講解基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重提升學(xué)生解答二次函數(shù)習(xí)題的能力，為其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)的有效提升奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).本文圍繞二次函數(shù)與方程問(wèn)題、二次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題、二次函數(shù)綜合問(wèn)題展開(kāi)論述，以供參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);二次函數(shù);問(wèn)題解答

1 二次函數(shù)與方程問(wèn)題

例1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx-1的最小值為-2，則方程|ax2+bx-1|=2的不相同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）.

（A）2.（B）3.（C）4.（D）5.

該題較為典型，間接地考查了二次函數(shù)圖象問(wèn)題.解題時(shí)需要構(gòu)建已知條件與要求解問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，能夠聯(lián)系所學(xué)的二次函數(shù)圖象畫(huà)出帶有絕對(duì)值二次函數(shù)圖象，通過(guò)觀(guān)察圖象的交點(diǎn)得出根的個(gè)數(shù).

解析 求方程|ax2+bx-1|=2根的個(gè)數(shù)，可將其看成函數(shù)y=|ax2+bx-1|和y=2圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

其中y=|ax2+bx-1|圖象可由y=ax2+bx-1位于x軸下方的部分向上翻折得到.

因二次函數(shù)y=ax2+bx-1過(guò)定點(diǎn)（0，-1），且其最小值為-2，則可大致畫(huà)出其圖象，如圖1，則y=|ax2+bx-1|圖象的圖象如圖2：

y=2是和x軸平行的直線(xiàn)，由圖2可知兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為三個(gè)，即有三個(gè)不等實(shí)根，選擇B項(xiàng).

2 二次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題

例2 如圖3所示，某建筑物的截面圖由拋物線(xiàn)和矩形OAA′B構(gòu)成，其中矩形的長(zhǎng)、寬分別為16m、4m，構(gòu)建圖中坐標(biāo)系，則拋物線(xiàn)可表示為y=-116x2+bx+c表示，其中CD為一排和地面平行的燈帶.若燈帶的長(zhǎng)度至少為12m，求燈帶和拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的距離.

用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題是各類(lèi)測(cè)試以及中考的重要考點(diǎn).解答該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于能夠充分吃透題意，提煉出題干中的有用信息，通過(guò)合理的抽象將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)定理求解.

解析 因?yàn)镺B=16，OA=4，可知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（0，4），（16，4），將其代入解得c=4，-16+16b+4=4，b=1，則y=-116x2+x+4.

因?yàn)閥=-116x2+x+4=-116（x-8）2+8，

當(dāng)x=8時(shí)，拋物線(xiàn)取得最大值8.

因燈帶至少為12m，則可求得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為16-122=2.

將其代入到拋物線(xiàn)方程中可得

y=-116（x-8）2+8=-116×36+8=5.75，

即，C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5.75），則燈帶和拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的距離為8m-5.75m=2.25m.

3 二次函數(shù)綜合問(wèn)題

例3 如圖4所示，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象和x軸交于點(diǎn)A（-3，0），B（1，0）和y軸交于點(diǎn)C（0，3），其中C、D是二次函數(shù)圖象上一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)B、D兩點(diǎn).（1）寫(xiě)出二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值x的取值范圍.（2）設(shè)點(diǎn)E為直線(xiàn)BD和y軸的交點(diǎn)，連接AD、AE，求△ADE的面積.

函數(shù)綜合問(wèn)題考查的知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大.解答該類(lèi)問(wèn)題不能有知識(shí)漏洞，同時(shí)還需要具體問(wèn)題具體分析，注重運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，降低計(jì)算復(fù)雜度，尤其應(yīng)大膽的想象，通過(guò)做出合理的輔助線(xiàn)，確保問(wèn)題得以順利解決.

解析 問(wèn)題（1）由圖可知B點(diǎn)坐標(biāo)已知，則需要求出點(diǎn)D坐標(biāo).點(diǎn)C、D均在拋物線(xiàn)上則其關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng).

因拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），代入y=-x2+bx+c解得b=-2，c=3，即，y=-x2-2x+3，則其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1，

由C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），則D的坐標(biāo)為（-2，3），則滿(mǎn)足條件的x的取值范圍為x<-2或x>1;

問(wèn)題（2）設(shè)直線(xiàn)BD方程為y=kx+b，B（1，0）、D（-2，3）兩點(diǎn)坐標(biāo)已知，代入求得k=-1，b=1，則直線(xiàn)BD的方程y=-x+1，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）.

S△ADE=S△ABD-S△ABE

=12×AB×yD-12×AB×yE

=12×4×3-12×4×1

=6-2

=4.

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，結(jié)合具體例題探討二次函數(shù)常見(jiàn)習(xí)題類(lèi)型的解答過(guò)程，不僅鞏固了學(xué)生所學(xué)，加深了學(xué)習(xí)者對(duì)二次函數(shù)知識(shí)的理解，而且使其掌握了不同題型的突破思路以及在解題過(guò)程中應(yīng)把握的細(xì)節(jié)，幫助其積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo).

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