林金菊

深度教學(xué)理念是以發(fā)展性的教學(xué)價(jià)值觀、課程知識(shí)觀、學(xué)習(xí)觀、教學(xué)過(guò)程觀和學(xué)習(xí)環(huán)境觀為基礎(chǔ)，意在促進(jìn)發(fā)展的一整套教學(xué)理念和教學(xué)策略。實(shí)施深度教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)科的育人功能，有利于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生逐步會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界（簡(jiǎn)稱“三會(huì)”）。人教版初中數(shù)學(xué)教材在每章結(jié)束后均設(shè)有“數(shù)學(xué)活動(dòng)”欄目，筆者通過(guò)挖掘教材中的內(nèi)容，對(duì)適合“數(shù)學(xué)活動(dòng)課”教學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行整理、改編、補(bǔ)充、拓展、完善、再創(chuàng)造，把教材中靜態(tài)的文本變?yōu)榛顫娚鷦?dòng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)課的素材，充分發(fā)揮此課型在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面的育人價(jià)值。

一、添加梯度，促進(jìn)學(xué)生的層進(jìn)式學(xué)習(xí)

案例1：八年級(jí)下冊(cè)第十八章“實(shí)驗(yàn)與探究”的切割正方形問(wèn)題。

給你兩個(gè)大小不等的正方形，你能通過(guò)切割把它們拼接成一個(gè)大正方形嗎？（參考圖1）說(shuō)明你的拼法的道理。

此內(nèi)容很適合以活動(dòng)課的形式開(kāi)展圖形的切割拼接探究活動(dòng)。如何切割、如何拼接，這是學(xué)生的困惑點(diǎn)。由于學(xué)生沒(méi)有這方面的經(jīng)驗(yàn)，如果直接讓他們操作，他們會(huì)無(wú)所適從。因此教師需要增加活動(dòng)，并設(shè)置一系列的問(wèn)題串，添加活動(dòng)內(nèi)容的梯度，讓學(xué)生能拾階而上，循序漸進(jìn)地解決問(wèn)題。

增加活動(dòng)：如圖2，給你兩個(gè)大小相等的正方形，你能通過(guò)切割把它們拼接成一個(gè)大正方形嗎？你能提供幾種設(shè)計(jì)方案？

追問(wèn)1：以上方案的共同點(diǎn)是什么？（從“大正方形面積是小正方形面積的2倍”推知“大正方形邊長(zhǎng)是小正方形邊長(zhǎng)的倍”，以此找到大正方形的邊長(zhǎng)）

追問(wèn)2：如圖3，如果原來(lái)的兩個(gè)小正方形邊長(zhǎng)不等，又該怎么分割呢？如何表示這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)呢？剪拼得到的正方形面積和邊長(zhǎng)又分別是多少呢？（設(shè)原來(lái)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a和b，則拼成的新正方形的邊長(zhǎng)為、面積為a2+b2）

追問(wèn)3：圖中有長(zhǎng)度為的線段嗎？請(qǐng)你作出來(lái)。除此之外，還有長(zhǎng)度為的線段嗎？（利用平移的思想，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏的大正方形的邊）

追問(wèn)4：以一條線段作為邊，怎樣作一個(gè)正方形？你有幾種作法？（以圖形中任何一條長(zhǎng)度為的線段作正方形都能夠找出剪拼方案）

追問(wèn)5：請(qǐng)對(duì)比新的正方形與原來(lái)的正方形，將重疊部分并做好標(biāo)記，你能說(shuō)出你的剪拼方案嗎？（教師邀請(qǐng)學(xué)生代表上臺(tái)展示剪拼方案如圖4、圖5）

教師增加了一個(gè)活動(dòng)（邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)小正方形剪拼），學(xué)生初步感知剪拼的可行性，找到了問(wèn)題關(guān)鍵點(diǎn)（依據(jù)總面積不變與勾股定理找出正方形的邊長(zhǎng)），在問(wèn)題串的引領(lǐng)下，嘗試剪拼，思考成功或失敗的原因，發(fā)現(xiàn)剪拼規(guī)律（依據(jù)邊作出正方形并找到重疊部分，將不重疊部分剪拼填空），展示分享自己的解決方案。在這個(gè)活動(dòng)中，“學(xué)生的思維方式由簡(jiǎn)到繁，由淺到深，依次轉(zhuǎn)化，層層遞進(jìn)，其發(fā)展的各個(gè)階段是環(huán)環(huán)相扣、逐級(jí)上升的”，促進(jìn)了學(xué)生的層進(jìn)式學(xué)習(xí)，培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)態(tài)度。

二、豐富厚度，促進(jìn)學(xué)生的沉浸性學(xué)習(xí)

案例2：七年級(jí)上冊(cè)第一章“實(shí)驗(yàn)與探究”的幻方探秘。

傳統(tǒng)課堂強(qiáng)調(diào)的是幻方的求解方法。而在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，教師先介紹幻方起源于“洛書(shū)”：相傳，在夏禹治水時(shí)，洛水河中出現(xiàn)了一只巨大的神龜，背上刻有美妙的圖案，史稱洛書(shū)（如圖6）。我們用數(shù)字把龜背上的點(diǎn)表示出來(lái)，就成了幻方（如圖7）。學(xué)生欣賞洛書(shū)，了解幻方的歷史，增強(qiáng)民族自豪感。

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察幻方，引出幻方和幻和的概念，并引申出三階幻方、四階幻方、五階幻方、六階幻方，接著學(xué)生在獨(dú)立思考、小組交流、合作探究、自主構(gòu)造三階幻方后發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：（1）幻和=中間數(shù)×3;（2）與中間數(shù)對(duì)應(yīng)的上下、左右、對(duì)角兩數(shù)的和=中間數(shù)×2。

然后，教師介紹幻方的其他構(gòu)造法——楊輝斜排法（圖略），并補(bǔ)充：我國(guó)數(shù)學(xué)家楊輝早在公元13世紀(jì)就已經(jīng)編制出3-10階幻方。

本活動(dòng)增加了幻方的起源，讓學(xué)生感受到了祖國(guó)文化的深厚底蘊(yùn)。借助有理數(shù)的運(yùn)算探索規(guī)律，揭示三階幻方的本質(zhì)特征，學(xué)生感受幻方的對(duì)稱美。在嘗試構(gòu)造三階幻方中，學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的作用，提高了邏輯思維能力。最后的知識(shí)拓展（楊輝斜排法），豐富了內(nèi)容的厚度，繼承和弘揚(yáng)了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，開(kāi)闊了學(xué)生的視野，讓學(xué)生全身心投入探究活動(dòng)中，促進(jìn)了學(xué)生的沉浸性學(xué)習(xí)。

三、轉(zhuǎn)換角度，促進(jìn)學(xué)生的整合性學(xué)習(xí)

案例3：九年級(jí)下冊(cè)第二十六章“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的杠桿原理。

杠桿原理亦稱“杠桿平衡條件”，是物理學(xué)力學(xué)定理之一。在物理教學(xué)中強(qiáng)調(diào)杠桿的概念、要素、分類、動(dòng)態(tài)平衡分析以及應(yīng)用等。

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、運(yùn)用表格記錄結(jié)果、對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)杠桿平衡條件：動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂（用代數(shù)式表示為F1·L1=F2·L2）。題目已知F2=9.8，L2=25，則彈簧秤的示數(shù)F與距離L是反比例函數(shù)，即F=，根據(jù)已知條件得K=9.8×25=245，則 F=。最后，教師在計(jì)算軟件Geogebra上畫(huà)出F=的函數(shù)圖像并進(jìn)行演示。

本活動(dòng)中，教師整合了物理的杠桿原理、操作活動(dòng)、記錄表格、計(jì)算軟件演示等資源，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的角度深刻體會(huì)彈簧秤的示數(shù)F與距離L兩個(gè)變量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，轉(zhuǎn)換了原問(wèn)題在物理科目的思考角度，引導(dǎo)學(xué)生在跨學(xué)科的背景下用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的概念、關(guān)系和規(guī)律，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。

四、拓展廣度，促進(jìn)學(xué)生的意義性學(xué)習(xí)

案例4：九年級(jí)上冊(cè)第二十五章“數(shù)學(xué)活動(dòng)”。

關(guān)于概率初步知識(shí)，教材只設(shè)計(jì)了兩個(gè)活動(dòng)：（1）在A、B、C三個(gè)區(qū)域的靶型圖形中隨機(jī)撒一把豆子，求事件“豆子落在區(qū)域C中”的概率;（2）從只含有一張黑桃的三張撲克牌中抽牌，用頻率估計(jì)抽到黑桃的概率。

傳統(tǒng)課堂并沒(méi)有放手讓學(xué)生操作，只是運(yùn)用數(shù)學(xué)邏輯推理列舉其結(jié)果。課題組教師發(fā)現(xiàn)教材設(shè)計(jì)的這兩個(gè)活動(dòng)還不夠說(shuō)明用頻率估計(jì)概率的操作方法，也不夠貼近學(xué)生的生活，所以在處理教材時(shí)就增加了另外兩個(gè)活動(dòng)，一個(gè)是求同學(xué)在罰球線上投籃投中的概率，另一個(gè)活動(dòng)是重復(fù)多次拋一枚硬幣，驗(yàn)證正面向上的概率是二分之一。于是，教師提前一周分組、布置活動(dòng)任務(wù)，各組按分好的任務(wù)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)步驟，并用課余時(shí)間反復(fù)多次試驗(yàn)，收集試驗(yàn)數(shù)據(jù)后進(jìn)行分析整理計(jì)算，全過(guò)程錄像，并以小組為單位做好頻率估計(jì)概率的PPT課件，在課堂上進(jìn)行活動(dòng)匯報(bào)。

深度教學(xué)理論指出，“構(gòu)筑知識(shí)學(xué)習(xí)與學(xué)生發(fā)展之間的意義關(guān)系，是深度教學(xué)的質(zhì)的規(guī)定性”，增加的這兩個(gè)活動(dòng)更貼近學(xué)生的實(shí)際生活，調(diào)動(dòng)了他們參與活動(dòng)的積極性。通過(guò)分組試驗(yàn)，學(xué)生體會(huì)了用試驗(yàn)法求概率的全過(guò)程，加深了對(duì)“從收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)到描述數(shù)據(jù)等統(tǒng)計(jì)過(guò)程每一步操作”的理解，感悟了用頻率估計(jì)概率的方法和現(xiàn)實(shí)意義，形成了數(shù)據(jù)觀念。學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，促進(jìn)了學(xué)生的意義性學(xué)習(xí)。

五、增加“前傳”，促進(jìn)學(xué)生的生成性學(xué)習(xí)

案例5：七年級(jí)下冊(cè)第五章“兩平行線間的拐點(diǎn)”問(wèn)題。

如圖8至圖12，已知AB//CD，請(qǐng)用含∠A、∠C的式子表示∠E。

學(xué)生在學(xué)習(xí)了相交線和平行線等知識(shí)后，遇到兩平行線間的拐點(diǎn)問(wèn)題。傳統(tǒng)課堂上教師著重于題目的講解，至于這些圖形是怎么來(lái)的，學(xué)生無(wú)從得知。這個(gè)問(wèn)題在活動(dòng)課中又應(yīng)該如何處理？教師應(yīng)該增加數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，讓學(xué)生明晰研究?jī)?nèi)容的“來(lái)龍去脈”。

教師結(jié)合題目特點(diǎn)，自主開(kāi)發(fā)教學(xué)用具（如圖12）：在一塊矩形的硬紙板上，畫(huà)出兩條平行直線AB∥CD，在點(diǎn)A、C處分別鉆一個(gè)小孔，穿上一條拉直的橡皮筋A(yù)C，這樣學(xué)具就做好了。課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生分析學(xué)具特點(diǎn)并思考：在AC上任取一點(diǎn)E，向不同的方向拉動(dòng)點(diǎn)E，能得到幾種不同的圖形？你能把這些圖形進(jìn)行分類嗎？新穎的學(xué)具，激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，他們?cè)趯?shí)物模具上操作，動(dòng)手動(dòng)腦動(dòng)筆，畫(huà)出了相應(yīng)的圖形，并展示在黑板上。學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)E在兩直線的位置關(guān)系不同，導(dǎo)致圖形不一樣，于是圖形分類的問(wèn)題迎刃而解。自主探究體驗(yàn)到的成功感鼓舞了學(xué)生，提高了課堂學(xué)習(xí)效率。

生成性即建構(gòu)性，是主體自我的建構(gòu)過(guò)程，生成彰顯了教學(xué)的過(guò)程屬性和過(guò)程價(jià)值。學(xué)生在操作學(xué)具探究的過(guò)程中，通過(guò)觀察、比較、聯(lián)想、分析、歸納、大膽猜想和概括，識(shí)別了基本圖形，理清解題思路，體會(huì)圖形之間變化及聯(lián)系，提高了圖形建構(gòu)能力。

六、續(xù)寫“后傳”，促進(jìn)學(xué)生的理解性學(xué)習(xí)

案例6：八年級(jí)下冊(cè)第十七章“拓廣探索”的“螞蟻爬行圓柱體表面”問(wèn)題。

圓柱體的底面周長(zhǎng)為18cm，高AC為12cm ，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)B，試求出爬行的最短路程。（圖略）

此題目在傳統(tǒng)課堂教學(xué)中教師往往只是講授或者進(jìn)行模型展示，學(xué)生被動(dòng)接受和理解，但是把它設(shè)計(jì)成數(shù)學(xué)活動(dòng)課，學(xué)生就可以對(duì)圓柱體模型進(jìn)行動(dòng)手操作，把圓柱體的側(cè)面展開(kāi)成矩形，標(biāo)注出A、B兩點(diǎn)，多次嘗試后，發(fā)現(xiàn)線段AB就是最短路徑（學(xué)生畫(huà)出線段AB后，還會(huì)把矩形重新卷回圓柱體模型，多次反復(fù)操作以驗(yàn)證結(jié)果），再運(yùn)用“勾股定理”解決問(wèn)題。

接著，把上述活動(dòng)中的圓柱體先后分別換成以下物體：（1）棱長(zhǎng)為1cm的正方體盒子;（2）長(zhǎng)、寬、高分別為6cm、3cm和12cm的長(zhǎng)方體;（3）每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別等于20cm、3cm和2cm的三級(jí)臺(tái)階。螞蟻沿著表面從A點(diǎn)爬行到B點(diǎn)的最短路程又是多少呢？

所謂數(shù)學(xué)思考，就是在遇到各種各樣問(wèn)題情境時(shí)，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想去分析、探究，從而發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學(xué)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)律，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法加以解決的過(guò)程。從圓柱體延伸到正方體、長(zhǎng)方體和三級(jí)臺(tái)階，學(xué)生在對(duì)以上模型進(jìn)行動(dòng)手操作的過(guò)程中，體會(huì)到不變的是：需要把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”和“勾股定理”解決問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生體會(huì)到了轉(zhuǎn)化思想，鍛煉了分類討論的意識(shí)，提高了邏輯思維能力，豐富了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，拓展了知識(shí)廣度、深度和關(guān)聯(lián)度。

教師要尊重教材、理解教材、拓展教材、活用教材，讓教材成為數(shù)學(xué)活動(dòng)課設(shè)計(jì)的重要素材及載體。開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)課，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、實(shí)踐活動(dòng)等形式來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，有利于促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

責(zé)任編輯 羅 峰