邵愛國 文素珍

摘? 要：以“梅林水庫面積測量”為例，對(duì)IBDP國際課程評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)與我國高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中涉及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)建模能力的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行比較和融合，并設(shè)計(jì)指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生開展學(xué)習(xí)活動(dòng)，達(dá)到取長補(bǔ)短、尋求共同教學(xué)價(jià)值的目的．

關(guān)鍵詞：IBDP國際課程評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)；數(shù)學(xué)探究；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)融合

為了滿足部分學(xué)生選擇國際課程的需要，我校開設(shè)了具有較高學(xué)業(yè)水準(zhǔn)的國際文憑課程IBDP. 在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)IBDP課程提出的對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的培養(yǎng)與我國《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中提出的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)具有共同指向，兩者的培養(yǎng)目標(biāo)和實(shí)施形式也相近，但I(xiàn)BDP課程的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)和實(shí)施細(xì)則有更明確的要求，值得借鑒. 本文通過一個(gè)教學(xué)案例，對(duì)數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)建模進(jìn)行教學(xué)融合的探索.

一、數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)建模的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

在開展數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)之前，首先應(yīng)該明確活動(dòng)目標(biāo)，并確定活動(dòng)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).

IBDP課程的數(shù)學(xué)探究（因采用內(nèi)部評(píng)價(jià)Internal Assessment的方式，以下簡稱IA）是通過一篇12 ～ 20頁的學(xué)術(shù)論文展現(xiàn)學(xué)生個(gè)人進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的過程，占最終成績20%的權(quán)重. 經(jīng)過多年的課程改革，IBDP數(shù)學(xué)（分析與方法）2021年最新大綱優(yōu)化調(diào)整了IA的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，如表1所示.

從以上評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)可見，IBDP課程的IA鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合個(gè)人興趣在生活中發(fā)現(xiàn)問題，思考如何使用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，并在不斷檢驗(yàn)和反思中優(yōu)化解決問題的方法. 它強(qiáng)調(diào)在探究過程中多角度使用不同方法去分析和解決問題（評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)C），并及時(shí)反思、調(diào)整方法（評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)D），將自己探究思考的過程規(guī)范（評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)B）、清晰、有條理地（評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)A）在IA中呈現(xiàn)出來. 其中，分值最大的數(shù)學(xué)應(yīng)用（評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)E）重點(diǎn)不在于學(xué)生使用數(shù)學(xué)知識(shí)的難度，而是學(xué)生能否在文章中清晰、準(zhǔn)確地解析所使用的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，以此檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的概念理解和應(yīng)用能力. 由此可見，IA的目的不是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究所得出的結(jié)論，而是學(xué)生在數(shù)學(xué)探究過程中的收獲. 通過完成IA，使學(xué)生掌握科學(xué)探究的方法，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決實(shí)際問題的能力.

IA包括但不局限于數(shù)學(xué)建模，大部分學(xué)生在完成IA時(shí)都會(huì)使用數(shù)學(xué)建模的思想. 作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)建模在《標(biāo)準(zhǔn)》的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)中分別從以下四個(gè)方面劃分為三個(gè)水平層次：提出問題，發(fā)現(xiàn)問題；建立模型，求解模型；理解建模的意義，用數(shù)學(xué)語言表述建模的過程和結(jié)論；在交流的過程中，用數(shù)學(xué)模型闡述實(shí)際問題.

從兩類課程的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)來看，在探究和建模的過程中，使用多種方法分析和規(guī)范數(shù)學(xué)語言表達(dá)兩個(gè)方面的要求最為相近. 同時(shí)，兩類標(biāo)準(zhǔn)都鼓勵(lì)學(xué)生使用信息技術(shù)手段進(jìn)行探究，體現(xiàn)出兩類課程在培養(yǎng)目標(biāo)中都非常重視科學(xué)創(chuàng)造性和學(xué)術(shù)規(guī)范性，且配合科技發(fā)展的需求. 但是，兩類標(biāo)準(zhǔn)又各有側(cè)重點(diǎn). IA的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)更傾向于對(duì)學(xué)生個(gè)人獨(dú)立完成的學(xué)術(shù)論文的寫作提出細(xì)節(jié)要求，且要求學(xué)生在探究過程的每個(gè)階段都對(duì)探究步驟進(jìn)行反思和調(diào)整，即反思不是只出現(xiàn)在探究活動(dòng)的末尾，而是貫穿整個(gè)探究活動(dòng)，以培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維.《標(biāo)準(zhǔn)》中的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)要求學(xué)生采取獨(dú)立完成或者小組合作的方式整理資料，撰寫研究報(bào)告或小論文，并進(jìn)行報(bào)告、交流和評(píng)價(jià)，因此更重視數(shù)學(xué)建模的階段性和系統(tǒng)性. 在其評(píng)價(jià)中，還使用除數(shù)學(xué)建模外的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析五個(gè)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分析賦分，多維度評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和核心素養(yǎng).

二、案例設(shè)計(jì)和探究活動(dòng)過程

定積分在高中階段最常見的應(yīng)用是求不規(guī)則圖形的面積，在學(xué)習(xí)了IBDP課程中的定積分的應(yīng)用后，結(jié)合IA的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，參考《標(biāo)準(zhǔn)》中數(shù)學(xué)建模的四個(gè)階段，我們以“梅林水庫面積測量”為主題開展本次數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

本次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，在教師指導(dǎo)下分四個(gè)階段以學(xué)生為主體分組進(jìn)行.

1. 發(fā)現(xiàn)和提出問題（第一階段，課堂進(jìn)行）

活動(dòng)目標(biāo)：討論可行的測量方法和收集數(shù)據(jù)的方式，并通過共享文檔共享數(shù)據(jù)信息和探究方法.

學(xué)生通過網(wǎng)上檢索，獲得梅林水庫的地圖及比例尺，并由文獻(xiàn)數(shù)據(jù)搜索獲得梅林水庫的面積為0.64平方千米. 學(xué)生分小組進(jìn)行頭腦風(fēng)暴，提出如下幾個(gè)簡易的測量方法.

（1）三角形劃分法.

如圖1，將水庫平面劃分為若干個(gè)三角形，通過地圖的直線距離測量功能獲得三角形的三條邊長. 利用海倫公式計(jì)算三角形的面積，最后將所有三角形的面積求和得到水庫的面積為0.591 546平方千米. 結(jié)論接近實(shí)際面積，但仍存在誤差，主要原因是部分三角形未能完全覆蓋或者過度覆蓋實(shí)際水庫平面.

（2）方格劃分法.

如圖2，通過在平面圖上劃分方格，粗略數(shù)出水庫所在區(qū)域共計(jì)222個(gè)方格，按照比例尺估算每個(gè)方格的面積，得出水庫總面積約為2.22平方千米，與水庫實(shí)際面積相差甚遠(yuǎn). 反思總結(jié)其原因，主要有：存在與三角形劃分法類似的覆蓋誤差問題；比例尺設(shè)置誤差. 與三角形劃分法相比，方格劃分法的優(yōu)勢在于計(jì)算量小，更容易操作.

（3）方格細(xì)分法.

方格細(xì)分法是方格劃分法的升級(jí). 通過縮小方格的面積，以減小覆蓋問題引起的誤差. 但隨之產(chǎn)生的新的問題是隨著方格數(shù)量的增加，探究的操作難度加大. 由此提出，使用較大的矩形將中間可確保完全覆蓋的區(qū)域進(jìn)行整體的面積計(jì)算，簡化操作難度，如圖3所示. 最終得到“水庫的面積為0.593 27平方千米”的結(jié)論. 結(jié)論更加接近水庫的實(shí)際面積，在精確度和可行性之間取得了一定的平衡.

通過共享文檔，各小組之間即時(shí)分享數(shù)據(jù)和探究方法. 在課堂上，學(xué)生討論不同方案的可行性和可靠性，并提出改進(jìn)方法. 例如，針對(duì)方格細(xì)分法，教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：在確保可行性的前提下，無論選用什么幾何圖形都可以估算面積，越細(xì)分越精確. 由此聯(lián)系到學(xué)過的梯形法則和黎曼和，從而引導(dǎo)學(xué)生提出使用定積分的方法解決問題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)和方法的遷移.

從IA的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)來看，鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度使用不同方法對(duì)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)探究是評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)C（個(gè)人參與度）的重要體現(xiàn). 因此，在數(shù)學(xué)探究的過程中，鼓勵(lì)學(xué)生大膽試錯(cuò)并完整記錄數(shù)據(jù)和思路，讓學(xué)生充分享受探究的過程. 在進(jìn)行多種探究嘗試后，根據(jù)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)D（反思），要求學(xué)生批判性分析每種方法的利弊，從而確定進(jìn)一步探究的方式，體現(xiàn)對(duì)學(xué)生批判性反思能力的培養(yǎng).

參照《標(biāo)準(zhǔn)》的要求：學(xué)生能使用不同幾何圖形面積之和的方法解決不規(guī)則圖形的面積計(jì)算問題，并在圖形的形狀和大小上進(jìn)行分析和改進(jìn)，可以認(rèn)為學(xué)生能達(dá)到直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模水平一的要求；學(xué)生能從簡單的幾何圖形面積之和問題聯(lián)想到使用定積分進(jìn)行計(jì)算，可以認(rèn)為學(xué)生能達(dá)到數(shù)學(xué)抽象水平一的要求.

2. 建立和求解模型（第二階段：課上或課下完成）

活動(dòng)目標(biāo)：建立模型，確定參數(shù)，擬合函數(shù)，求解計(jì)算.

解決方案基本確定為通過建立平面直角坐標(biāo)系，把水庫平面圖的邊緣曲線分為上下兩個(gè)部分，確定邊界點(diǎn)坐標(biāo)，利用上部邊緣曲線與x軸圍成的圖形面積減去下部邊緣曲線與x軸圍成的圖形面積求得水庫面積，如圖4所示.

根據(jù)曲線的變化趨勢，將邊緣曲線分成若干段，確定每一段的端點(diǎn)坐標(biāo)，分組完成分段擬合函數(shù)，分別使用定積分求面積.

問題分解1：延伸課堂學(xué)習(xí)，獲得選取擬合函數(shù)類型的新知識(shí).

IA的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)C（個(gè)人參與度）的一項(xiàng)重要體現(xiàn)就是鼓勵(lì)學(xué)生自主探究課外知識(shí)以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)探究過程中所需要的理論支撐.《標(biāo)準(zhǔn)》中也提到教師應(yīng)該優(yōu)化課堂教學(xué)，轉(zhuǎn)變教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式，為學(xué)生探索規(guī)律啟發(fā)思路，為學(xué)生解決問題提供直觀，引導(dǎo)學(xué)生自主獲取資源. 選取擬合函數(shù)對(duì)學(xué)生來說是一項(xiàng)新的挑戰(zhàn). 對(duì)邊緣曲線擬合函數(shù)，若用IBDP課程中的線性回歸模型進(jìn)行擬合顯然會(huì)導(dǎo)致較大的誤差. 因此，引導(dǎo)學(xué)生自主查閱了解非線性模型的類型，以及如何用擬合值[R2]來選取最適合的函數(shù)模型. 常用的幾種非線性擬合函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)）都是課程范圍內(nèi)的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生也比較容易進(jìn)行自主學(xué)習(xí).

問題分解2：選取技術(shù)工具，確定利用定積分求面積的方法和步驟.

兩類標(biāo)準(zhǔn)皆鼓勵(lì)學(xué)生注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，適當(dāng)、合理借助科技手段（如計(jì)算機(jī)軟件或科學(xué)計(jì)算器等）進(jìn)行數(shù)據(jù)處理. 尤其在數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)建模的過程中，經(jīng)常會(huì)涉及大量的數(shù)據(jù)處理，熟練使用信息技術(shù)手段解決問題顯得尤為重要. IBDP課程在課程設(shè)置和考核方式上對(duì)學(xué)生熟練使用圖形計(jì)算器的要求較高. 圖形計(jì)算器、Desmos繪圖軟件和Excel軟件都是IBDP課程中常用的技術(shù)工具.

經(jīng)過討論，學(xué)生確定先借助TI圖形計(jì)算器或Desmos繪圖軟件在水庫平面圖中描點(diǎn)并獲取各點(diǎn)的坐標(biāo). 再利用Excel軟件或Desmos軟件的擬合函數(shù)功能，通過輸入數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)形成散點(diǎn)圖，進(jìn)而擬合函數(shù)，并通過觀察擬合值[R2]選取最恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型. 確定函數(shù)模型后，使用TI圖形計(jì)算器完成較復(fù)雜的定積分計(jì)算.

以第四組的一段邊緣曲線擬合過程為例. 經(jīng)觀察，出現(xiàn)曲線形狀符合四次多項(xiàng)式函數(shù)圖象特征. 通過在Excel軟件中選取四次多項(xiàng)式函數(shù)，得到擬合值[R2≈][0.738]. 學(xué)生嘗試將擬合函數(shù)類型調(diào)整為五次多項(xiàng)式函數(shù)，如圖5所示. 得到擬合函數(shù)[y=0.071 7x5-5.266 7x4+]

由于五次多項(xiàng)式函數(shù)的擬合值趨近于1，故學(xué)生決定選取五次多項(xiàng)式函數(shù)為該段曲線的擬合函數(shù). 利用TI圖形計(jì)算器進(jìn)行定積分計(jì)算，得到

每個(gè)小組都通過描點(diǎn)、選取擬合函數(shù)和定積分計(jì)算完成了本組的面積求解任務(wù). 在此過程中，教師提醒學(xué)生思考并討論取點(diǎn)的數(shù)量和計(jì)算結(jié)果的精確度可能對(duì)結(jié)果誤差的影響. IA的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)B（數(shù)學(xué)表達(dá)）要求學(xué)生根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)選取適當(dāng)?shù)木_度.

在此階段，教師要求學(xué)生在課堂上詳細(xì)描述選取某種函數(shù)模型進(jìn)行擬合的原因. 例如，觀察到某段曲線有水平漸近線，所以選擇具有水平漸近線的指數(shù)函數(shù)模型，并進(jìn)一步參考其擬合值[R2]. 在IA的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)E（數(shù)學(xué)應(yīng)用）中，要求學(xué)生深刻理解所使用的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而恰當(dāng)?shù)貙⑵鋺?yīng)用到解決問題的過程中. 對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，并不只是正確的計(jì)算和解答，而是要給出解釋，即為什么選用這類數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題. 同時(shí)，對(duì)使用的數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解也體現(xiàn)了IA的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)C（個(gè)人參與度），深刻理解后展開的批判性思考則體現(xiàn)了IA的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)D（反思）. 三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)環(huán)環(huán)相扣，相互依存.

根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分析，學(xué)生通過圖形初步判斷擬合函數(shù)的類型，經(jīng)歷通過圖形建立直觀猜想、通過計(jì)算驗(yàn)證結(jié)論的思維與操作過程，提升了直觀想象和邏輯推理素養(yǎng). 此階段需要收集數(shù)據(jù)，利用技術(shù)手段選取擬合函數(shù)，并使用定積分進(jìn)行計(jì)算. 在探究過程中，有個(gè)別小組利用微積分基本定理寫出了求定積分的步驟，可以認(rèn)為學(xué)生能達(dá)到數(shù)據(jù)分析水平一的要求，以及直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模水平二的要求.

3. 檢驗(yàn)和完善模型（第三階段：課堂完成）

活動(dòng)目標(biāo)：各小組分享探究和計(jì)算的結(jié)果，并提出在探究過程中遇到的問題，討論改進(jìn)模型的方法.

經(jīng)過一周的課下分組擬合函數(shù)，學(xué)生在課堂上共享計(jì)算結(jié)果并展開討論. 學(xué)生提出了一個(gè)有趣的問題：因?yàn)橛^察到曲線有多個(gè)拐點(diǎn)，大多數(shù)小組都選取了多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行擬合，并通過比較擬合值[R2]的大小選取最恰當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式函數(shù)模型. 然而，有兩個(gè)小組在使用函數(shù)模型計(jì)算定積分的過程中卻得到了負(fù)數(shù)的結(jié)果. 這顯然與面積為正數(shù)相矛盾. 經(jīng)過學(xué)生反復(fù)檢查，確定定積分的計(jì)算過程是正確的，顯然問題出在函數(shù)模型的選取中. 很快，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)小組為了簡化步驟都選擇了較長的一段邊緣曲線使用一個(gè)函數(shù)模型來擬合，在比較[R2]大小選取函數(shù)模型的時(shí)候，都根據(jù)最佳的擬合度選取了較高次數(shù)（五次或六次）的多項(xiàng)式函數(shù)模型. 放大函數(shù)圖象可以發(fā)現(xiàn)，雖然選取的較高次數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合度高，但是函數(shù)圖象在此區(qū)間內(nèi)有較多部分在[x]軸下方，導(dǎo)致求出的結(jié)果為負(fù)值. 學(xué)生反思后總結(jié)：擬合函數(shù)時(shí)不能一味追求擬合值[R2]接近1，而應(yīng)該結(jié)合實(shí)際問題考慮選取適合的方法. 在分段擬合邊緣曲線時(shí)，每一段盡量少包含一些拐點(diǎn)，以一到兩個(gè)為宜（如圖6），這樣可以減少以上錯(cuò)誤發(fā)生的可能性.

另外，還有小組分享了使用不同的取點(diǎn)方法比較同一段曲線，使得擬合函數(shù)的類型有差異，進(jìn)而引出結(jié)果的誤差.

第三階段在IA的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)D（反思）中屬于過程性反思，培養(yǎng)了學(xué)生的批判性思維能力，即在探究過程中通過不斷反思改進(jìn)和調(diào)整方案. IBDP課程將反思作為十大培養(yǎng)目標(biāo)之一，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中運(yùn)用批判性思維肯定積極行為，發(fā)現(xiàn)存在的問題并解決問題. 在數(shù)學(xué)探究中，應(yīng)用反思是優(yōu)化問題解決方案的最佳推動(dòng)力，在《標(biāo)準(zhǔn)》中，反思行為是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建?；具^程中檢驗(yàn)結(jié)果的重要手段. 隨著反思的深入，可以根據(jù)其程度認(rèn)為學(xué)生能達(dá)到邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的水平二的要求，甚至水平三的要求.

4. 分析和解決問題（第四階段：課堂完成）

活動(dòng)目標(biāo)：展示結(jié)論，總結(jié)反思，問題延伸.

各小組對(duì)自己的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)整和優(yōu)化后，基本能得到接近官方數(shù)據(jù)0.64平方千米的結(jié)論. 然而，在這一階段，最重要的并不是結(jié)論，而是對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)探究過程的反思和延伸. 探究過程流程圖，如圖7所示.

在分享時(shí)，各小組從各個(gè)角度提到了本組選取的方法的局限性. 例如，測量和計(jì)算的誤差問題，擬合函數(shù)模型的選取問題. 還有學(xué)生分享了用其他軟件（如Matlab，Origin）擬合函數(shù)的方法. 教師鼓勵(lì)學(xué)生思考本次數(shù)學(xué)探究的方法還可以用來解決什么實(shí)際問題，學(xué)生各抒己見. 例如，有學(xué)生提到可以測量自己手掌面積的大小.

教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生改變維度，將計(jì)算不規(guī)則圖形面積的二維計(jì)算問題引申為探究不規(guī)則圖形的周長和體積問題. 例如，利用定積分求曲線長度的方法測量水庫周長. 教師抓住學(xué)生的好奇心，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步查閱學(xué)習(xí)著名的海岸線長度問題. 有學(xué)生提到，能不能從探究水庫面積延伸到探究水庫的容積，還向大家展示了他查到的水庫蓄水位和總庫容的數(shù)據(jù)，提出能否用圓柱或者圓臺(tái)的體積公式近似求水庫的容積，從而引起學(xué)生針對(duì)不規(guī)則立體圖形的容積問題展開了新一輪的討論. 教師在此適時(shí)提醒學(xué)生，定積分可以用于求不規(guī)則圖形的面積，也可以用于求旋轉(zhuǎn)體的體積，那么非旋轉(zhuǎn)體的體積如何求呢？教師引導(dǎo)并鼓勵(lì)學(xué)生查閱二重積分的相關(guān)內(nèi)容.

在第四階段中，教師重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)探究方法進(jìn)行總結(jié)和延伸. 在內(nèi)化探究的過程中，使學(xué)生在獲得知識(shí)和技能的同時(shí)提升發(fā)散性思維，將IA的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)延伸到不同的情境中. 評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)D（反思）和評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)E（數(shù)學(xué)應(yīng)用）中都提到鼓勵(lì)學(xué)生思考如何將探究方法進(jìn)行拓展. 而在《標(biāo)準(zhǔn)》的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)中，則可以認(rèn)為學(xué)生在此階段能達(dá)到邏輯推理和數(shù)學(xué)建模水平三的要求.

三、收獲與反思

1. 探究過程比獲得結(jié)果更重要

在這堂課的最后，大部分學(xué)生會(huì)重點(diǎn)關(guān)注數(shù)學(xué)探究的結(jié)論及其局限性. 教師應(yīng)該及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)探究進(jìn)一步延伸，提升數(shù)學(xué)探究的開放性，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的習(xí)慣. 同時(shí)，回歸《標(biāo)準(zhǔn)》中提出的新課程理念，即教師應(yīng)整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從類比、模仿到自主創(chuàng)新、從局部實(shí)施到整體構(gòu)想，經(jīng)歷“選題、開題、做題、結(jié)題”的活動(dòng)過程，積累發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成獨(dú)立思考與合作交流的習(xí)慣.

2. 主動(dòng)建構(gòu)比被動(dòng)接受更高效

建構(gòu)主義提倡在教師指導(dǎo)下的以學(xué)習(xí)者為中心的學(xué)習(xí)，學(xué)生是信息加工的主體、是意義的主動(dòng)建構(gòu)者，而不是外部刺激的被動(dòng)接受者和被灌輸?shù)膶?duì)象. 由此可見，無論是IBDP課程的數(shù)學(xué)探究還是《標(biāo)準(zhǔn)》的數(shù)學(xué)建模，都是讓學(xué)習(xí)者在一定的情境中借助其他人（包括教師和學(xué)習(xí)伙伴）的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料和工具，通過意義建構(gòu)的方式形成新的認(rèn)知. 其過程符合知識(shí)獲得的本質(zhì)和規(guī)律.

3. 融合旨在實(shí)現(xiàn)有效融通

在條件允許的情況下，把IBDP課程與國家課程中的相關(guān)內(nèi)容在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行符合國情的融合處理是一種開放式的有益嘗試. 教師和學(xué)生可以從不同的課程體系中博采眾長、取長補(bǔ)短. 從這個(gè)課例中不難看出，數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)建模都指向?qū)W生素養(yǎng)的提升，可謂異曲同工、殊途同歸. 在融合中借鑒，尋找教學(xué)價(jià)值取向的融通，豐富了我們的教學(xué)方式和教學(xué)內(nèi)涵，這是世界課程改革的大勢所趨.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］高文，徐斌艷，吳剛. 建構(gòu)主義教育研究［M］. 北京：教育科學(xué)出版社，2008.

收稿日期：2022-09-26

基金項(xiàng)目：2021年度廣東省教育科學(xué)研究院中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究專項(xiàng)課題——構(gòu)建“以學(xué)生為主體”的高中數(shù)學(xué)課堂的研究與實(shí)踐（GDJY-2021-M089）.

作者簡介：邵愛國（1964— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)實(shí)踐研究.