湯儉　宋麗輝

【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出要注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的評(píng)價(jià)，所以關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，特別是初一學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)過(guò)程，就成為了教師教學(xué)過(guò)程中的重點(diǎn)任務(wù)。在教學(xué)時(shí)，教師只要利用SOLO分類(lèi)理論對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行分類(lèi)，就能較精準(zhǔn)地把握學(xué)生的運(yùn)算能力層次，同時(shí)采用適合不同運(yùn)算能力層次學(xué)生的教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力的全面提升。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);SOLO分類(lèi)理論;初一學(xué)生;運(yùn)算能力

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2022）24-0027-03

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力作為核心素養(yǎng)之一，是指學(xué)生理解算理并尋求簡(jiǎn)潔、高效的運(yùn)算途徑解決數(shù)學(xué)問(wèn)

題[1]。怎樣幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力呢？本文嘗試從SOLO分類(lèi)理論的角度，幫助學(xué)生找出自己的運(yùn)算起點(diǎn)，理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得正確運(yùn)算結(jié)果，以此進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

1? ?SOLO分類(lèi)理論及其內(nèi)涵

香港大學(xué)教育心理學(xué)教授比格斯認(rèn)為，一個(gè)人的總體認(rèn)知結(jié)構(gòu)是一個(gè)純理論性的概念，是不可檢測(cè)的，而一個(gè)人回答某個(gè)問(wèn)題時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的思維結(jié)構(gòu)卻是可以檢測(cè)的，比格斯稱(chēng)之為“可觀察的學(xué)習(xí)成果結(jié)構(gòu)”，簡(jiǎn)寫(xiě)為SOLO。

根據(jù)SOLO分類(lèi)評(píng)價(jià)法，比格斯把學(xué)生對(duì)某個(gè)問(wèn)題的學(xué)習(xí)結(jié)果由低到高劃分為五個(gè)層次：前結(jié)構(gòu)層次、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次、拓展抽象結(jié)構(gòu)層次。

由此可見(jiàn)，比格斯提出的思維分類(lèi)結(jié)構(gòu)是一個(gè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的層次類(lèi)型，具體說(shuō)來(lái)就是從點(diǎn)、線、面、立體、系統(tǒng)的發(fā)展過(guò)程。思維結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，思維能力的層次也就越高，可見(jiàn)SOLO分類(lèi)的焦點(diǎn)集中在學(xué)生回答問(wèn)題的“質(zhì)”，而不是回答問(wèn)題的“量”[2]。

2? ?利用SOLO分類(lèi)理論對(duì)初一學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算表現(xiàn)和發(fā)展水平進(jìn)行分類(lèi)

2.1? 利用SOLO分類(lèi)理論對(duì)學(xué)生的運(yùn)算表現(xiàn)和發(fā)展水平進(jìn)行分類(lèi)

既然SOLO分類(lèi)理論能很好地反映出學(xué)生的思維表現(xiàn)，那么在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力上怎么發(fā)揮積極作用呢？《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)運(yùn)算能力的要求可以概括為正確、有據(jù)、合理、簡(jiǎn)潔這幾個(gè)層次，這幾個(gè)層次要求剛好與SOLO分類(lèi)理論的層次要求一一對(duì)應(yīng)。為此，本文利用SOLO分類(lèi)理論，將運(yùn)算能力分為以下5個(gè)層次水平（表1）。

2.2? 以初一“有理數(shù)混合運(yùn)算”為例說(shuō)明運(yùn)算能力水平的5個(gè)層次

初一的學(xué)習(xí)是為以后的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)的，掌握各種運(yùn)算方法，具備良好的運(yùn)算能力，對(duì)學(xué)生今后學(xué)習(xí)代數(shù)式運(yùn)算、函數(shù)運(yùn)算等至關(guān)重要，基于此，本文就以初一數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)為研究對(duì)象。

例：計(jì)算（-7）+3+（-3）+4。

單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次（水平一）：

原式=4+（-3）+4

在該解答中，可以看出學(xué)生能夠進(jìn)行一次計(jì)算7-3，但不明白異號(hào)兩數(shù)相加的算理，為了得到答案就急速收斂思維，不管結(jié)果對(duì)不對(duì)。

多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次（水平二）：

原式=（-4）+（-3）+4

=（-7）+4

=-3

在該解答中，可以看出學(xué)生掌握了有理數(shù)加法的算理，能夠按照從左至右的順序進(jìn)行計(jì)算，且計(jì)算結(jié)果正確，但不能發(fā)現(xiàn)加數(shù)之間的特征和聯(lián)系，只是把每一個(gè)加數(shù)看成是互相孤立的數(shù)字，要進(jìn)行3次計(jì)算，3次符號(hào)的判斷算法死板，計(jì)算量大。

關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次（水平三）：

原式=（-7）+（-3）+3+4

=（-10）+7

=-3

在該解答中，可以看出學(xué)生的思維沒(méi)有急于收斂，注意到加數(shù)之間的聯(lián)系，并利用加法交換律將其分類(lèi)，減少了異號(hào)兩數(shù)相加時(shí)符號(hào)判斷的失誤率，減少了計(jì)算量。

拓展抽象結(jié)構(gòu)層次（水平四）：

原式=（-3）+3+（-7）+4

=（-7）+4

=-3

在該解答中，可以看出學(xué)生運(yùn)用了加法交換律，也注意到了“互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)和為零”，只需進(jìn)行2次計(jì)算、1次符號(hào)判斷就可以完成運(yùn)算，大大提高了正確率和效率。

3? ?利用SOLO分類(lèi)理論加強(qiáng)對(duì)初一學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)

3.1? 利用SOLO分類(lèi)理論對(duì)學(xué)生的運(yùn)算表現(xiàn)進(jìn)行合理評(píng)價(jià)

使用SOLO分類(lèi)理論對(duì)學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)的過(guò)程中，教師會(huì)發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生的運(yùn)算結(jié)果正確，但是運(yùn)算能力可能處于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次或者多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次;而有些學(xué)生的運(yùn)算結(jié)果不正確，反而其運(yùn)算能力處于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次或者關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次，這與教師平時(shí)只關(guān)注學(xué)生的運(yùn)算結(jié)果有很大不同，因?yàn)镾OLO分類(lèi)理論更注重學(xué)生運(yùn)算能力的層次，而不只是關(guān)注運(yùn)算結(jié)果。對(duì)于那些運(yùn)算能力處于相對(duì)高一層次的學(xué)生來(lái)說(shuō)，只要學(xué)生及時(shí)改正了錯(cuò)誤運(yùn)算觀念和不良運(yùn)算習(xí)慣，學(xué)生的進(jìn)步空間更大;而對(duì)于運(yùn)算能力層次較低的學(xué)生，教師則應(yīng)該幫助他們好好理解運(yùn)算法則和運(yùn)算方法，先不要求其在簡(jiǎn)便運(yùn)算上下功夫。

在具體的運(yùn)算教學(xué)中，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的運(yùn)算表現(xiàn)和運(yùn)算思維發(fā)展情況，對(duì)學(xué)生進(jìn)行分類(lèi)，找出學(xué)生運(yùn)算出錯(cuò)的原因，從而切實(shí)地制定出符合學(xué)生實(shí)際運(yùn)算水平和運(yùn)算起點(diǎn)的教學(xué)策略。

3.2? 利用SOLO分類(lèi)理論提高初一學(xué)生運(yùn)算能力的教學(xué)策略

3.2.1? 幫助學(xué)生理解運(yùn)算公式定理

在具體的運(yùn)算教學(xué)中，教師可以發(fā)現(xiàn)很多初一學(xué)生不知道選擇哪一個(gè)公式，或者只能生硬記憶某個(gè)運(yùn)算公式，可以完成簡(jiǎn)單的運(yùn)算，但解決不了稍微復(fù)雜的問(wèn)題，可見(jiàn)這類(lèi)學(xué)生的運(yùn)算能力大都處在前結(jié)構(gòu)層次或者單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次。對(duì)此，教師要注重運(yùn)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，提高對(duì)運(yùn)算法則的重視程度，只有學(xué)生親自動(dòng)手推導(dǎo)運(yùn)算公式，才能加深對(duì)公式的理解，從而在做題時(shí)熟練巧妙地運(yùn)用公式定理，不會(huì)因?yàn)楣降恼`用和混用而中斷運(yùn)算過(guò)程，這樣不僅可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算水平，也能鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

3.2.2? 重視算理，提高運(yùn)算能力

算理是指運(yùn)算過(guò)程中的思維方式，主要回答“為什么這樣算”的問(wèn)題[3]。學(xué)生只有理解了運(yùn)算的道理，才能理解和掌握運(yùn)算方法，從而正確迅速地進(jìn)行運(yùn)算。所以運(yùn)算教學(xué)必須從算理開(kāi)始，只有以算理思維為導(dǎo)向，才能避免思路混亂，使得解答步驟的關(guān)聯(lián)緊密。下面以初一“解一元一次方程”的運(yùn)算教學(xué)為例，說(shuō)明不同運(yùn)算層次的運(yùn)算表現(xiàn)的根源和應(yīng)該采用哪種運(yùn)算教學(xué)策略。

第一，前結(jié)構(gòu)層次的典型表現(xiàn)是什么都不做，或者亂做一氣。說(shuō)明學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)不求甚解，是混亂的，甚至是空白的，這時(shí)教師首先要喚醒學(xué)生的運(yùn)算意識(shí)和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，然后引導(dǎo)學(xué)生記憶一些常用的、必須掌握的、基礎(chǔ)的運(yùn)算公式和法則。

第二，單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次的典型表現(xiàn)是算理糊涂，算法不清，法則出錯(cuò)。說(shuō)明學(xué)生在知識(shí)層面就出現(xiàn)了錯(cuò)誤，鑒于初一學(xué)生還處在形象思維向抽象邏輯思維的過(guò)渡階段，教師可以多用具體的事物或者現(xiàn)實(shí)情境使其明白算理，如異號(hào)兩數(shù)相加，可以通過(guò)“收為正，支為負(fù)”“升高為正，降低為負(fù)”等實(shí)例抽象出算式，然后對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行解釋?zhuān)ㄟ^(guò)多道簡(jiǎn)單的計(jì)算題目進(jìn)行鞏固，直到學(xué)生熟練掌握為止。

第三，多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次的典型表現(xiàn)是算理明白，算法死板。學(xué)生基本掌握計(jì)算方法，但急于算出答案，沒(méi)有充分觀察題目的特征就開(kāi)始解答。其原因有兩個(gè)：一是單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次積累的運(yùn)算數(shù)量不夠，如前例，沒(méi)有充分體會(huì)到“互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)和為零”“同號(hào)兩數(shù)相加，取相同符號(hào)”的便利;二是學(xué)生的解題習(xí)慣是只求快、不求對(duì)，忽視審題，這時(shí)教師則可以多展示不同學(xué)生的不同解法，比較優(yōu)劣，分析算法背后依據(jù)的數(shù)學(xué)規(guī)律，再輔以適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算練習(xí)，同時(shí)在運(yùn)算練習(xí)中要求學(xué)生先思考，讓學(xué)生多注意觀察運(yùn)算中各部分的聯(lián)系，為進(jìn)入關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次做積極準(zhǔn)備。

第四，關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次的典型表現(xiàn)是算理明確，算法靈活。學(xué)生能充分審題，注意題目的特點(diǎn)，不急于收斂思維，往往不只觀察一步，而是觀察考慮好幾步，從中選出較為簡(jiǎn)潔的算法。達(dá)到此層次的學(xué)生可以在經(jīng)驗(yàn)的積累中進(jìn)行自我評(píng)價(jià)和反思，體現(xiàn)出一定的數(shù)學(xué)能力。對(duì)這一層次的學(xué)生的運(yùn)算能力的培養(yǎng)不能以量取勝，應(yīng)該注重思考、觀察和比較，多采用分享、交流和討論的自主學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生在運(yùn)算中思考、體會(huì)和感悟，最終進(jìn)入拓展抽象結(jié)構(gòu)層次，以促進(jìn)運(yùn)算能力的提高。

第五，拓展抽象結(jié)構(gòu)層次的典型表現(xiàn)是算理清楚，算法優(yōu)秀，愿意進(jìn)行各種方式的檢驗(yàn)，善于找出和改正自己的錯(cuò)誤，并重新進(jìn)行計(jì)算和思考，直至找出問(wèn)題所在。這一層次的學(xué)生往往對(duì)知識(shí)的接受能力比較強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)的領(lǐng)悟比其他學(xué)生要快、要深、要廣，對(duì)此，教師應(yīng)該讓他們自己挖掘運(yùn)算的特點(diǎn)和規(guī)律，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算的方法，積累運(yùn)算的技巧和心得，并鼓勵(lì)他們發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，解釋新問(wèn)題，創(chuàng)新學(xué)習(xí)方法。

由此可知，無(wú)論哪種運(yùn)算能力層次的學(xué)生都需要加強(qiáng)對(duì)算理的理解，只有算理清楚，才能在具體的運(yùn)算中更好、更快、更簡(jiǎn)潔地運(yùn)算。算理主要體現(xiàn)在求解問(wèn)題的步驟中，通過(guò)步驟就可以了解學(xué)生對(duì)運(yùn)算知識(shí)的理解和認(rèn)知程度，所以在日常運(yùn)算練習(xí)中，教師可要求學(xué)生運(yùn)用算理思維寫(xiě)出解題的具體步驟，不能只寫(xiě)出一個(gè)結(jié)果。

3.2.3? 加強(qiáng)運(yùn)算檢驗(yàn)和估算

通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在運(yùn)算后都沒(méi)有主動(dòng)檢查的習(xí)慣和意識(shí)，而在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中又特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生要有驗(yàn)算和估算的能力。為此，教師在平時(shí)的運(yùn)算教學(xué)中，一定要注重培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)驗(yàn)算的意識(shí)和能力，否則長(zhǎng)期下來(lái)，學(xué)生就會(huì)積累一些錯(cuò)誤的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，導(dǎo)致后繼運(yùn)算出現(xiàn)意想不到的錯(cuò)誤，更重要的是影響學(xué)生思維能力的進(jìn)一步提高和發(fā)展。對(duì)于運(yùn)算能力處在單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次和關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次的學(xué)生，尤其要重視反思和驗(yàn)算，因?yàn)檫@些層次的學(xué)生往往運(yùn)算水平相對(duì)較低，對(duì)自我要求不高，自身的運(yùn)算素養(yǎng)也有待提高，所以只有他們?cè)谶\(yùn)算時(shí)有意識(shí)地進(jìn)行反思和及時(shí)糾錯(cuò)，才能使他們的運(yùn)算水平提升到更高層次[4]。

4? ?反思與感悟

運(yùn)用SOLO分類(lèi)理論進(jìn)行運(yùn)算教學(xué)時(shí)，筆者遇到了很多困難，如在提高不同能力層次學(xué)生運(yùn)算能力的教學(xué)策略梳理上，出現(xiàn)了低效或無(wú)效的情況，浪費(fèi)了不少時(shí)間和精力;培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的過(guò)程中，筆者的耐心不足，導(dǎo)致學(xué)生的信心動(dòng)搖等。從學(xué)生多次出現(xiàn)運(yùn)算問(wèn)題來(lái)看，說(shuō)明習(xí)慣的改變不是一朝一夕的，即使進(jìn)行了分層，也制定了適合學(xué)生實(shí)際情況的策略，仍然不能達(dá)到理想的效果，還需要進(jìn)一步優(yōu)化策略。

因此，利用SOLO分類(lèi)理論進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)時(shí)，教師要先根據(jù)能力層次分類(lèi)原則將學(xué)生的運(yùn)算能力分類(lèi)，并進(jìn)行規(guī)范、科學(xué)的示范和指導(dǎo)，讓學(xué)生長(zhǎng)期堅(jiān)持運(yùn)算，進(jìn)而為學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力的提高奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]曹才翰.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1999.

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[3]劉艷美.對(duì)初中生數(shù)學(xué)運(yùn)算錯(cuò)誤的研究[D].石家莊：河北師范大學(xué)，2014.

[4]張亞平.初中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力現(xiàn)狀調(diào)查研究[D].南京：南京師范大學(xué)，2015.

【作者簡(jiǎn)介】

湯儉（1977～），女，漢族，廣東廣州人，本科，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師。研究方向：初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)。

宋麗輝（1981～），女，湖南東安人，本科，中學(xué)數(shù)學(xué)二級(jí)教師。研究方向：初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)。

*基金項(xiàng)目：本文系廣東省教育技術(shù)中心2020年度教育信息化應(yīng)用融合創(chuàng)新專(zhuān)項(xiàng)課題“基于智慧課堂的初中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的教學(xué)模式研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：20JX07003）的研究成果;廣州教育學(xué)會(huì)2021年教育科研課題“注重知識(shí)建構(gòu)的初中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：202114005）研究成果;越秀區(qū)教育局教育科研規(guī)劃2018年課題“SOLO分類(lèi)理論下提高初中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的策略研究”（課題編號(hào)：越教類(lèi)【2018】01號(hào)）研究成果;2022年廣東省中小學(xué)教師信息技術(shù)應(yīng)用能力提升工程2.0專(zhuān)項(xiàng)科研立項(xiàng)課題“基于智慧教學(xué)平臺(tái)的初中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計(jì)研究”研究成果。