郜舒竹 李碩楠

【摘? ?要】“平方厘米”一詞在數(shù)學課程內(nèi)容中表述的是一個面積單位，是從長度單位認識轉(zhuǎn)向面積單位認識的轉(zhuǎn)折點?！捌椒嚼迕住币辉~由“平方”和“厘米”兩個詞匯組合而成，因此容易產(chǎn)生的語義誤解，即平方厘米是特殊的厘米。因此在教科書編寫以及實際教學中，應重視對面積單位語義的分析，為此需要厘清平方厘米一詞中“平方”的意義，以及“平方厘米”與“厘米”的關(guān)系。

【關(guān)鍵詞】厘米;平方;平方厘米;面積;長度

本刊2022年第6期《“長寬”為什么等于“長方形的面積”》一文（以下簡稱“文1”）已經(jīng)闡明，平面圖形面積的測量與計算始于面積單位的選擇與確定。表達面積單位的詞匯通常表達為“平方+長度單位”，比如“平方厘米”等。望文生義地看，“平方厘米”似乎是特殊的厘米，因此從“平方厘米”的意義中容易產(chǎn)生“平方厘米是厘米”的誤解。在教科書編寫以及實際教學中，應重視對面積單位語義的分析，特別需要明晰“平方厘米”一詞中“平方”的意義，以及“平方厘米”與“厘米”的關(guān)系。

一、“平方厘米”是“厘米”嗎

在小學數(shù)學課程內(nèi)容中“平方”一詞并不單獨出現(xiàn)，是與類似于“厘米”的長度單位組合，用于表述諸如“平方厘米”的面積單位。由此產(chǎn)生的問題是：如何理解“平方厘米”與“厘米”的關(guān)系？與此類似組合而成的詞匯在日常語言中十分普遍。比如，“白馬”一詞，是“白”與“馬”的組合，表示“白顏色的馬”;“酒杯”表示用于飲酒的杯子;等等。類似的語言現(xiàn)象在數(shù)學課程內(nèi)容中同樣常見。比如，“平行四邊形”表示兩組對邊分別平行的“四邊形”;“等腰三角形”表示有兩條邊相等的“三角形”;等等。

如此表述的句式結(jié)構(gòu)可以簡寫為“ɑP是P”，其中字母“P ”表示前面示例中白馬的“馬”、酒杯的“杯”、平行四邊形的“四邊形”、等腰三角形中的“三角形”這樣的概念，指稱一類具有共同屬性的對象。字母“ɑ”是修飾或限定P的定語，描述P中一類對象的特殊屬性。比如白馬中的“白”是描述馬顏色的定語，指稱一類特殊的馬。平行四邊形中的“平行”是描述一類特殊四邊形的定語，對一類四邊形的特殊屬性進行限定，指稱兩組對邊分別平行的那些四邊形。酒杯和等腰三角形也是類似。

如果把概念P的外延，即這一概念所指稱對象看作一個類或集合，那么概念ɑP所指稱對象就是“P”所指稱對象的局部或子集，ɑP是對P中的一部分對象賦予ɑ的意義，因此ɑP是特殊的P。這樣的關(guān)系都可以表述為“ɑP是P”的句式。

概念P與ɑP的關(guān)系，在邏輯學概念分類中稱為“屬種關(guān)系”。外延較大的概念P是外延較小概念ɑP的“屬（Genus）”概念;反過來ɑP是P的“種（Species）”概念?！皑弧北磉_的是種概念的特殊屬性，可以看作是種概念相對于屬概念的差異，因此叫作“種差”。比如前面所說的平行四邊形就是相對于四邊形的種概念，反過來說四邊形是平行四邊形的屬概念，平行是種概念平行四邊形相對于屬概念四邊形的特殊屬性，也即二者的種差。種概念與屬概念所指稱對象（外延）具有包含與被包含的關(guān)系，即種概念含于屬概念或?qū)俑拍畎N概念（如圖1）。

用這樣的眼光看“平方厘米”，如果字母ɑ表示“平方”，字母P表示“厘米”，那么“平方厘米”這一詞匯同樣具有ɑP的結(jié)構(gòu)“[平方a厘米P]”。依據(jù)前面的經(jīng)驗，對平方厘米自然而然直覺的認識是用“平方”修飾或限定“厘米”，厘米與平方厘米似乎也應當是包含與被包含的屬種關(guān)系。按照“ɑP是P”的句式，自然就會形成“平方厘米是厘米”的認識。

從“文1”可以知道，“平方厘米”與“厘米”量綱不同，厘米是一維的長度單位，平方厘米是因厘米而衍生出來的二維面積單位。在國際度量單位體系（SI）中，所有量的單位分為三類：基本單位、輔助單位和導出單位。其中長度單位屬于基本單位，面積單位屬于導出單位[1]。因此平方厘米不是厘米，二者并非屬種關(guān)系。無論是教科書編寫還是實際教學，都應對此引起足夠重視。從認識長度單位到認識面積單位，教師需要設計相關(guān)的學習活動，讓學生經(jīng)歷從厘米衍生出平方厘米的過程，真正理解二者之間的關(guān)系。為了厘清這樣的關(guān)系，首先需要明晰平方厘米中的“平方”是什么意思。

二、平方厘米中的“平方”是什么意思

作為數(shù)學課程內(nèi)容中的術(shù)語，“平方”一詞通常表示一種運算。在人教版《義務教育教科書數(shù)學（七年級上冊）》中，“平方”一詞出現(xiàn)于“有理數(shù)的乘除法”單元中，把兩個因數(shù)相同的乘法“[2×2]”記作“[22]”，讀作“2的平方”。而在表示面積單位時，“[厘米2]”讀作“平方厘米”，而不是“厘米的平方”。這就表明“平方”一詞具有多義的特征。把“[2×2]”記作“[22]”，讀作“2的平方”，可以看作是運算的意義。除此之外，還有幾何圖形形狀的意義，用平方表示“正方形”這一幾何圖形，相對于“立方”所表示的正方體。

查閱我國歷史文獻可以發(fā)現(xiàn)，“平方”一詞源于對幾何圖形的命名。針對幾何圖形進行系統(tǒng)命名的早期著作，當屬明代徐光啟與意大利傳教士利瑪竇合作翻譯的《幾何原本》，其中發(fā)明了許多描述圖形形狀與性質(zhì)的術(shù)語。比如，如今所說的平行四邊形、長方形和正方形在當時分別叫作：

徐光啟、利瑪竇所譯《幾何原本》中并未出現(xiàn)“平方”一詞[2]。到了清代及民國時期，用“平方”一詞表達正方形的說法逐漸盛行。清代早期何夢瑤（1693—1764）所著《算迪》一書中，對“平方”一詞定義為：“平方即方面也，其邊則長闊相等?！边@句話的意思是：平方即是平面上長與寬（闊）相等的方形，就是現(xiàn)在所說的正方形。1894年由商務印書館編寫并出版的《數(shù)學教科書》中，把現(xiàn)在所說的長方形和正方形分別叫作“直角方形”和“平方”，先定義直角方形，而后用直角方形定義平方。

民國初期由中華書局出版并發(fā)行的《中華算術(shù)教科書》將面積單位定義為：“計物體表面之大小者，曰面積。而以每邊之一尺或一寸之平方形為單位，名此單位曰平方尺、平方寸?！逼渲械摹捌椒叫巍本褪侨缃袼f的“正方形”。

綜上，面積單位“平方厘米”中的“平方”具有獨立的意義，指向的是正方形。按照這樣的理解，平方厘米中的“平方”并非是“厘米”的定語，而是反過來，用厘米限定平方（正方形），是“厘米平方”的意思。因此所謂“1平方厘米”的意思是邊長1厘米的平方（正方形），簡略地表達為“1厘米平方”更為貼切。法語中表達“平方厘米”的語序就是厘米在前，平方在后：“centimètre carré”。下面進一步解釋為什么要把“1厘米平方”表述成“1平方厘米”。

如果用“1厘米平方”表示“邊長1厘米的正方形面積”，其中的數(shù)字“1”指向的是邊的長度，是對長度單位“厘米”的限定。以此類推，如何理解“2厘米平方”呢？其中的數(shù)字“2”同樣應當表達正方形邊長，限定長度單位“厘米”?！?厘米平方”就應當解釋為邊長2厘米的正方形面積，而邊長2厘米的正方形面積并不等于“2平方厘米”，而是[2×2=4]平方厘米。

描述面積的名數(shù)中包含數(shù)及其所指稱的面積單位，其中的數(shù)指向的是面積，而不是長度。如果把“1厘米平方”視為“邊長1厘米的正方形面積”，命名為“1平方厘米”，那么“2厘米平方”中的2，就容易誤認為是正方形的邊長為2厘米。為了避免這樣的誤解，就把面積單位的命名規(guī)則規(guī)定為“平方+長度單位”，而不是“長度單位+平方”。

中華人民共和國國務院依據(jù)“國際單位制（SI）”，于1984年發(fā)布關(guān)于在我國統(tǒng)一實行法定計量單位的命令，特別強調(diào)“平方厘米”不能寫為或叫作“厘米平方”[3]，或許就是為了避免出現(xiàn)這樣的誤解。因此，無論是教科書編寫還是實際教學，都應特別注意：“1平方厘米”中的數(shù)字“1”，指向的是邊長為1厘米正方形的面積。

接下來需要進一步探討的問題是：面積單位“1平方厘米”與長度單位“1厘米”是如何建立聯(lián)系的？

三、“1平方厘米”與“1厘米”如何建立聯(lián)系

20世紀荷蘭著名數(shù)學教育家漢斯·弗賴登塔爾（Hans Freudenthal，1905—1990）在《作為教育任務的數(shù)學》一書中，用自身兒時的經(jīng)驗論述長方形面積公式的意義：對于長為5、寬（原文用詞為“Height”，意為“高”）為4的長方形面積，真正重要的不是知道結(jié)果等于20，而是人為地把長方形橫向分為“5條”，縱向分為“4條”，使得橫向每一條與縱向每一條交叉后出現(xiàn)了小方格（原文為“子長方形（Sub-Rectangle）”。這樣的做法使得原本無結(jié)構(gòu)的長方形出現(xiàn)了“建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化（Constructive Structuration）”，也就是在原本空無的長方形中，構(gòu)造出了新的對象（子長方形）（如圖2）。弗賴登塔爾認為，這種建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化過程是重要的，是學生必須經(jīng)歷的[4]。

弗賴登塔爾所說的“建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化”，實際是建立兩個集合之間對應關(guān)系的過程。假定圖2中橫向線段長度是5厘米，縱向線段長度是4厘米，5厘米視為是“5段”構(gòu)成的集合，4厘米視為是“4段”構(gòu)成的集合。將段與段配對，也就是橫向長邊5段中的每一段與縱向4段中的每一段配成一對，構(gòu)造出一個小正方形，可以有“5[×]4=20（種）”配對的方法，因此共出現(xiàn)了20個小正方形，這樣20個小正方形構(gòu)成了一個新的集合，弗賴登塔爾稱之為“配對集合（Pairs Set）或偶對集”[5]。

數(shù)學中把這樣的過程看作是集合與集合之間的乘法運算，常用的名稱是“笛卡爾積（Cartesian Product）”，指的是兩個集合A和B，如果集合A包含ɑ個元素，集合B包含b個元素，那么集合A與B的笛卡爾積就是一個新的集合，這個新集合中的元素是A與B中元素配對形成的，可以用“[A×B]”表示，其中包含“ɑ[×]b”個元素。笛卡爾積可以成為許多實際問題的數(shù)學模型，比如小學數(shù)學課程內(nèi)容中的“搭配問題”：

l5件上衣和4條褲子，可以搭配出多少套衣服？

用A表示5件上衣的集合，B表示4條褲子的集合，兩個集合構(gòu)成配對集合“[A×B]”，表示上衣與褲子配對所形成的整套衣服的集合，其中的元素數(shù)就是“5上衣[×]4褲子=20（套）”，搭配的過程可以用長方形模型表示出來（如圖3）。

用配對的眼光看長方形的面積，分別將長與寬等分為若干“段”，而后建立“長中之段”與“寬中之段”的配對關(guān)系，每一對構(gòu)成一個小格。如果長中之段與寬中之段長度相等，那么這個小格的形狀就是正方形，也就是面積單位。因此所謂“1平方厘米”，可以看作是兩個方向的“1厘米”長的線段配對而成的。1厘米與1厘米配對的結(jié)果不再是長度單位的厘米，而是一個新的對象，即邊長1厘米正方形的面積，命名為“1平方厘米”。正如“1件上衣”與“1條褲子”配對后的結(jié)果，既不是上衣，也不是褲子，而是“1套衣服”這樣新的對象。

用配對的眼光看“長方形面積=長[×]寬”，其中的“[×]”具有“以數(shù)生數(shù)”的意義[6]，是對乘法意義的拓展。如果長方形長與寬的長度分別為3厘米和2厘米，那么“3厘米[×]2厘米”的意義是將3厘米中的每一個1厘米與2厘米中的每一個1厘米配對成為1平方厘米，這樣可以配出“3[×]2=6”對，也就是6平方厘米（如圖4）。

圖4把上面3個1厘米視為一個集合，下面2個1厘米視為另外一個集合，兩個集合中每一個元素配成一對，用連線表示，一共出現(xiàn)6條連線，即配對方法有6種。每一對命名為1平方厘米，那就共有6平方厘米。與3件上衣與2條褲子配對成為6套衣服的過程是一致的。

平方厘米并不是厘米，而是因厘米而生的新對象。從認知的角度看，可以把1平方厘米看作是兩個方向上的1厘米線段搭配而成的，表達的是邊長1厘米的正方形面積。在教科書編寫與實際教學中，可以將搭配問題與面積單位的認識結(jié)合起來，利用弗賴登塔爾所說的“建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化”，讓學生經(jīng)歷從1厘米“搭配出”1平方厘米的過程。這樣的過程可以幫助學生進一步理解“文1”所論及的內(nèi)容：為什么“長[×]寬”等于長方形的面積？

總之，“平方厘米”表達的是面積單位，與長度單位“厘米”有著本質(zhì)的差異，對“平方厘米”的認識切不可望文生義，誤認為平方厘米是特殊的厘米。作為面積單位的“平方厘米”與長度單位“厘米”實質(zhì)是一種因果關(guān)系，平方厘米是因厘米而產(chǎn)生的新對象，是兩個方向的長度單位配對成面積單位，如果把長度單位“厘米”視為是基本單位，那么面積單位“平方厘米”就是因此而產(chǎn)生的衍生單位。關(guān)于面積單位的討論仍未結(jié)束，需進一步研究的問題是：

l如何理解教科書中關(guān)于“1平方厘米”的定義？

l在認識“1平方厘米”的基礎(chǔ)上，如何認識“2平方厘米”？

l如何認識“平方”在運算方面的意義？

這些問題貌似簡單，實際其中蘊含著豐富的思想和方法，同時反映了教師和學生存在著認知困難與誤解，是教科書編寫以及實際教學中需要重視的細節(jié)。囿于篇幅所限，將續(xù)文繼續(xù)討論。

參考文獻：

[1]SALISBURY F B. Standardizing with SI units[J]. BioScience， 1998，48（10）： 827-835.

[2]紀志剛.從拉丁語到古漢語：漢譯《幾何原本》卷一“界說”的翻譯分析[J].自然辯證法通訊，2017，39（2）：1-9.

[3]薛新法.量和單位系列講座? 第五講? 法定計量單位的使用（一）[J].中國計量，2013（5）：50-51.

[4]FREUDENTHAL H. Mathematics as an educational task[M]. Dordrecht： D. Reidel Publishing Company， 1973： 250.

[5]弗賴登塔爾.作為教育任務的數(shù)學[M].陳昌平，唐瑞芬，等譯.上海：上海教育出版社，1995：196.

[6]郜舒竹.“乘”的想法始于哪兒[J].教學月刊·小學版（數(shù)學），2020（9）：4-9.

（1.首都師范大學初等教育學院? ?100048

2.首都師范大學教育學院? ?100048）