王劍

[摘? 要] 拋物線與直線綜合題型常作為壓軸題在中考中出現(xiàn)，該類問(wèn)題往往條件信息眾多，數(shù)形結(jié)合緊密. 問(wèn)題突破建議深入分析問(wèn)題條件的特點(diǎn)，立足知識(shí)考點(diǎn)開(kāi)展思路突破. 同時(shí)注重解后反思，全面認(rèn)識(shí)問(wèn)題，強(qiáng)化解題方法. 文章以2021年連云港市的中考拋物線壓軸題為例，開(kāi)展解題探究，并提出了相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 拋物線;幾何;面積;角度;拓展;轉(zhuǎn)化

考題呈現(xiàn)，問(wèn)題解讀

考題? （2021年江蘇省連云港市中考卷第26題）如圖1所示，拋物線y=mx2+（m2+3）x-（6m+9）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，已知B（3，0）.

（1）求m的值和直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;

（2）P是拋物線上的一點(diǎn)，若S△PBC=S△ABC，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）Q為拋物線上的一點(diǎn)，若∠ACQ=45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解讀? 本考題以拋物線與直線相交為背景，設(shè)定了拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，第（1）問(wèn)探求m的值和函數(shù)解析式，實(shí)則考查待定系數(shù)法;第（2）問(wèn)和第（3）問(wèn)則設(shè)定了拋物線上的點(diǎn)，構(gòu)建了三角形和45°角，屬于函數(shù)與幾何的結(jié)合，實(shí)則考查學(xué)生在函數(shù)曲線中構(gòu)建幾何模型. 問(wèn)題的綜合性極強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的邏輯推理、模型構(gòu)建、轉(zhuǎn)化運(yùn)算能力有著較高的要求.

思維推理，過(guò)程突破

問(wèn)題突破需要把握關(guān)鍵點(diǎn)，定位考點(diǎn)，結(jié)合知識(shí)點(diǎn)來(lái)構(gòu)建模型，轉(zhuǎn)化條件，準(zhǔn)確運(yùn)算，下面筆者逐問(wèn)探究.

突破1：待定系數(shù)法求解析式

求拋物線解析式中的參數(shù)及直線BC的函數(shù)解析式的核心解法是待定系數(shù)法，因?yàn)閽佄锞€的解析式為一般式，所以可以直接代入點(diǎn)的坐標(biāo)求參數(shù). 將點(diǎn)B（3，0）代入y=mx2+（m2+3）x-（6m+9）中，化簡(jiǎn)后可得m2+m=0，解得m=-1或m=0（舍去），所以拋物線的解析式為y=-x2+4x-3. 因?yàn)镃為拋物線與y軸的交點(diǎn)，所以C（0，-3）.

設(shè)直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別代入，可得3k+b=0，

b=-3，可解得k=1，

b=-3，所以直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x-3.

突破2：等面積轉(zhuǎn)化求坐標(biāo)

該問(wèn)設(shè)定P為拋物線上的點(diǎn)，求S△PBC =S△ABC時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，而△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均為定點(diǎn)，故為固定的三角形，可直接結(jié)合面積公式來(lái)分析.

可將△ABC視為是以BC為底邊，A為頂點(diǎn)的三角形，而△PBC為以BC為底邊，P為頂點(diǎn)的三角形，則只需滿足點(diǎn)P到直線BC的距離等于點(diǎn)A到直線BC的距離即可.

從幾何視角來(lái)突破，利用“平行線之間的距離相等”來(lái)確定點(diǎn)P所在直線，有兩種情形. 情形①為直線PA與直線BC相平行，此時(shí)點(diǎn)P位于直線BC的上方;情形②為點(diǎn)P所在直線與情形①中的直線PA關(guān)于直線BC對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)P所在直線在BC的下方. 下面筆者結(jié)合幾何知識(shí)求點(diǎn)P的坐標(biāo).

情形①——點(diǎn)P位于直線BC的上方

該情形為圖2所示的直線P1A，設(shè)直線P1A的解析式為y=kx+b. 若P1A∥BC，則兩直線解析式的k相等，即k=1. 由拋物線的解析式可知點(diǎn)A（1，0），B（3，0），將點(diǎn)A代入y=x+b中，可得y=x-1，聯(lián)立直線與拋物線的解析式，可得點(diǎn)P1（2，1）.

情形②——點(diǎn)P位于直線BC的下方

該情形下點(diǎn)P所在直線應(yīng)與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖2所示的點(diǎn)P2和P3，同理可知直線P2P3與BC平行，解析式中k=1. 對(duì)于其中的對(duì)稱關(guān)系，可通過(guò)直線平移來(lái)實(shí)現(xiàn)，即直線P1A向下平移線段DC得到直線BC，再平移等長(zhǎng)線段得到直線P2P3，故可推知CD=CE. 其中點(diǎn)D（0，-1），點(diǎn)C（0，-3），則CD=CE=2，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，-5）. 結(jié)合k=1及點(diǎn)E坐標(biāo)可求得直線P2P3的解析式為y=x-5. 聯(lián)立直線y=x-5與拋物線解析式，可求得點(diǎn)P2

，，P3

，.

綜上可知，滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)，分別為（2，1），

，

，

，.

突破3：模型構(gòu)建求坐標(biāo)

該問(wèn)設(shè)定點(diǎn)Q為拋物線上的點(diǎn)，探究生成∠ACQ=45°時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，筆者采用數(shù)形結(jié)合的方法，構(gòu)建幾何模型，利用模型確定Q所在直線上的第2點(diǎn)，具體過(guò)程如下.

取點(diǎn)Q，連接CQ，過(guò)點(diǎn)A作CQ的垂線，垂足為D（如圖3所示）. 過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，再過(guò)點(diǎn)C作CE⊥FD交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則圖中存在“一線三直角”全等模型，由模型及∠ACQ=45°可知△CDE≌△DAF，由全等性質(zhì)可得AF=DE，CE=DF.

可設(shè)DE=AF=a，則CE=DF=a+1，由OC=3可得DF=3-a，即a+1=3-a，可解得a=1，所以點(diǎn)D（2，-2）. 結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)可得直線CD的解析式，即y=x-3. 聯(lián)立直線CD與拋物線的解析式即可求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即Q

，

-.

反思總結(jié)，解法拓展

1. 反思總結(jié)

上述對(duì)一道拋物線綜合題進(jìn)行了思路突破，整個(gè)過(guò)程充分把握問(wèn)題特征，探索解法，下面筆者深入反思，賞析解法.

上述考題第（1）問(wèn)的思維過(guò)程極具連貫性，可概括為“拋物線參數(shù)→點(diǎn)坐標(biāo)→直線解析式”，即構(gòu)建了“直線或曲線解析式?點(diǎn)的坐標(biāo)”的推理關(guān)系，這也是待定系數(shù)求解的知識(shí)核心，該思維方法在函數(shù)綜合題第（1）問(wèn)求參數(shù)、點(diǎn)的坐標(biāo)、解析式問(wèn)題中應(yīng)用廣泛.

第（2）問(wèn)可歸為等面積問(wèn)題，其突出特征是所涉兩三角形可視為是同底三角形，該條件為上述平行或重合轉(zhuǎn)化提供了基礎(chǔ). 而在求對(duì)稱直線時(shí)所采用的平行構(gòu)建策略，避免了繁復(fù)的代數(shù)運(yùn)算，極大地簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.

第（3）問(wèn)給出特殊的45°角，同樣求點(diǎn)的坐標(biāo)，確定點(diǎn)所在直線的解析式是關(guān)鍵，上述基于45°角構(gòu)建了“一線三直角”全等模型，利用模型特性來(lái)推導(dǎo)點(diǎn)坐標(biāo). 其中的等腰直角三角形、全等關(guān)系是該模型的核心，也是思路構(gòu)建的關(guān)鍵.

2. 解法拓展

上述考題的第（3）問(wèn)的思維過(guò)程可概括為：把握45°角→定位“一線三直角”全等模型→模型性質(zhì)求線段→確定關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo). 將“∠ACQ=45°”轉(zhuǎn)化為模型中的特殊三角形，再由幾何知識(shí)確定點(diǎn)坐標(biāo). 但其推理過(guò)程的難度較大，后續(xù)還需多步運(yùn)算，實(shí)則可對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，可避免無(wú)用計(jì)算.

以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫圓，再過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線，與☉A的交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為F，如圖4所示. 可知△ACD為等腰直角三角形，圖中有“一線三直角”全等模型，可證△ADF≌△CAO，由全等性質(zhì)可得AF=OC=3，DF=AO=1，從而可得點(diǎn)D（4，-1），可求得直線CD的解析式為y=x-3，直線CD與拋物線的交點(diǎn)就為點(diǎn)Q，直線與拋物線聯(lián)立即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

，

-.

評(píng)析? 上述“橫向”構(gòu)建了“一線三直角”全等模型，教師可直接利用線段長(zhǎng)確定CQ所在直線上的點(diǎn)D的坐標(biāo)，有效避免了線段長(zhǎng)的推導(dǎo). 其中的隱圓是實(shí)現(xiàn)等線段轉(zhuǎn)化的重要策略，而構(gòu)建垂直線段則呈現(xiàn)了特殊的模型.

解后反思，教學(xué)建議

上述對(duì)一道拋物線綜合題進(jìn)行了思路突破，充分呈現(xiàn)了解題的思維過(guò)程，有利于幫助學(xué)生掌握綜合性問(wèn)題的分析方法，下面筆者基于教學(xué)進(jìn)一步反思.

1. 關(guān)注問(wèn)題特點(diǎn)，分析轉(zhuǎn)化策略

綜合性問(wèn)題的條件信息較為豐富，挖掘問(wèn)題特點(diǎn)，開(kāi)展條件轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，將直接影響解題思路的構(gòu)建. 如上述第（2）問(wèn)中給出了等面積條件，把握兩三角形共底的特征，則可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩線平行問(wèn)題. 故解題教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)問(wèn)題特點(diǎn)，提取條件特征，然后結(jié)合特征來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題. 同時(shí)問(wèn)題條件的轉(zhuǎn)化過(guò)程，也是對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)探索. 常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化策略較多，除了上述平移轉(zhuǎn)化等面積條件外，還有旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化、對(duì)稱轉(zhuǎn)化、線段截取轉(zhuǎn)化等.

2. 立足問(wèn)題條件，合理構(gòu)建模型

數(shù)學(xué)模型在綜合性問(wèn)題中有著重要應(yīng)用，模型的特征結(jié)論可降低思維難度，提升解題效率. 本題第（3）問(wèn)中充分應(yīng)用了“一線三直角”全等模型，利用模型呈現(xiàn)了45°角，并由模型結(jié)構(gòu)推導(dǎo)了線段長(zhǎng)，為后續(xù)的求解提供了條件. 實(shí)際教學(xué)中教師應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)模型的總結(jié)歸納，尤其是常用的幾何模型，如“一線三等角”模型、“手拉手”模型、“將軍飲馬”模型、“半角”模型等. 引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注模型特征，掌握模型結(jié)論的應(yīng)用思路，豐富學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備.

3. 重視方法拓展，提升綜合素養(yǎng)

上述考題來(lái)源于中考真題，問(wèn)題的解法策略有著極高的應(yīng)用價(jià)值，解題教學(xué)不僅要引導(dǎo)學(xué)生探索問(wèn)題的常規(guī)解法，還應(yīng)注重方法的拓展，如上述完成第（3）問(wèn)的解法探究后，筆者進(jìn)一步對(duì)模型進(jìn)行了優(yōu)化，使得學(xué)生可直接利用模型結(jié)論求關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo). 解法拓展不僅可以使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)問(wèn)題，豐富解題方法，還可以鍛煉學(xué)生思維，提升學(xué)生的綜合能力. 在實(shí)際探究中，建議教師立足優(yōu)秀的中考真題，依托考題分析方法，思考方法的拓展方向. 同時(shí)注重學(xué)生的思維引導(dǎo)，給學(xué)生留足思考空間，以培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)為教學(xué)目標(biāo).