宋友慧

摘要：在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，錯(cuò)誤的產(chǎn)生是不可避免的。作為數(shù)學(xué)教師，我們首先要正確看待錯(cuò)誤現(xiàn)象，同時(shí)也要善于挖掘錯(cuò)誤資源并充分利用錯(cuò)誤的教育價(jià)值，將其轉(zhuǎn)化為“錯(cuò)題資源”，引導(dǎo)學(xué)生在分析錯(cuò)誤、思考錯(cuò)誤和改正錯(cuò)誤的過程中不斷修正認(rèn)知，鞏固所學(xué)知識(shí)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的深化與發(fā)展，進(jìn)一步提升初中數(shù)學(xué)課堂的有效性。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);錯(cuò)題資源;思維品質(zhì)

很多教師會(huì)對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤持唯恐避之不及的態(tài)度，在解決方式上也是嚴(yán)厲批評(píng)學(xué)生，生硬地督促學(xué)生盡快訂正，卻很少引導(dǎo)學(xué)生對(duì)錯(cuò)題原因進(jìn)行剖析及分類整理。這樣的處理方式在很大程度上會(huì)使學(xué)生對(duì)“錯(cuò)誤”產(chǎn)生恐懼感，進(jìn)而對(duì)該學(xué)科的學(xué)習(xí)也產(chǎn)生排斥與畏懼心理，久而久之，造成的負(fù)面影響則是不可估量的。作為初中數(shù)學(xué)教師，我們要正確認(rèn)識(shí)并充分利用學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，將其轉(zhuǎn)化為促進(jìn)教師調(diào)整教學(xué)行為、引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的有力武器，以此提升數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)質(zhì)量，推動(dòng)學(xué)生的發(fā)展與進(jìn)步。因此，從這個(gè)方向出發(fā)，本文主要圍繞追本溯源、對(duì)比辨析、變式練習(xí)及反思聚合這幾個(gè)方面展開具體探討，以發(fā)揮錯(cuò)題資源在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)方面的積極作用，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維與素養(yǎng)。

1? ?追本溯源，培養(yǎng)深度思維

錯(cuò)題追本溯源是指要進(jìn)行錯(cuò)因剖析，這是非常重要的環(huán)節(jié)。只有在正確認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤原因的基礎(chǔ)上，教師才能及時(shí)發(fā)現(xiàn)教學(xué)中的薄弱環(huán)節(jié)，反思并糾正自己的教學(xué)行為。學(xué)生也能結(jié)合錯(cuò)因進(jìn)行針對(duì)性的查漏補(bǔ)缺，修正錯(cuò)誤認(rèn)知，不斷完善個(gè)人知識(shí)體系。在這個(gè)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也會(huì)獲得縱深發(fā)展，有利于促使學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

例如，以一道數(shù)學(xué)題目來講：已知關(guān)于x的方程（m-2）2 x2+（2m+1）x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（? ? ）？

A. m> 3/4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B. m≥ 3/4

C. m>3/4且m≠2? ? ? ? ? D. m≥3/4且m≠2

學(xué)生的解答過程是：由題意，得a=（m-2）2，b=2m+1，c=1，則Δ=b2-4ac=（2m+1）2-4（m-2）2×1=4m2+4m+1-4（m2-4m+4）=20m-15>0，解得m>3/4，便選擇了選項(xiàng)A。但是，這樣的答案是錯(cuò)誤的，教師可以讓學(xué)生再次讀題分析題意，看自己忽略了哪個(gè)條件。很明顯，學(xué)生的解答過程用到了根的判別式的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)題干后半句“方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”的條件，計(jì)算過程也沒有問題，錯(cuò)因就在于學(xué)生忽略了前半句話“關(guān)于x的方程”，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么此方程必為一元二次方程，所以二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)（m-2）2≠0，學(xué)生的錯(cuò)解就在于漏掉了m≠2這個(gè)隱含條件。通過對(duì)這道題的錯(cuò)因分析，學(xué)生也意識(shí)到這類題目很容易忽略根的判別式使用的前提條件是一元二次方程，在解題時(shí)，要牢記二次項(xiàng)系數(shù)不為零的條件，暴露出學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)不夠扎實(shí)，同時(shí)也了解了這類型題目的“陷阱”所在，效果較好。

一般來說，學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)題的原因包括對(duì)知識(shí)的基本概念不清楚，對(duì)知識(shí)掌握的熟練度不夠以及不善于對(duì)問題進(jìn)行整體系統(tǒng)思考，不能多維度地思考知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，還包括粗心大意、計(jì)算失誤等。針對(duì)不同的錯(cuò)因，采取的補(bǔ)救措施自然也不盡相同。因此，對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行追本溯源、尋根問底是教師要重視的環(huán)節(jié)，并要結(jié)合錯(cuò)因采取改進(jìn)措施，提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

2? ?對(duì)比辨析，培養(yǎng)批判思維

在新課標(biāo)所倡導(dǎo)的教育理念中，學(xué)習(xí)不是教師將知識(shí)灌輸給學(xué)生，而是要讓學(xué)生自主建構(gòu)和獲取。同樣，對(duì)待錯(cuò)題，教師也應(yīng)讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)與探究問題所在，思考解決錯(cuò)誤、修正認(rèn)知的方法與策略。因此，教師可以利用對(duì)比辨析錯(cuò)題的方式引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生運(yùn)用批判性思維分析錯(cuò)題，突破思維障礙。

例如，以分析拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況的數(shù)學(xué)題目為例，題目一：拋物線y=2x2+4x+c與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則c的取值需要滿足的條件是______？題目二：拋物線y=2x2+4x+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則c的取值需要滿足的條件是______？這兩道題目非常相似，很多學(xué)生認(rèn)為這兩道題的解法都是應(yīng)用根的判別式，已知有兩個(gè)交點(diǎn)，則判別式△=b2-4ac>0=42-4×2×c>0，解得c<2。用這樣的解法解答題目二是沒有問題的，但用這樣的思路解題目一就大錯(cuò)特錯(cuò)了。教師讓學(xué)生細(xì)致地對(duì)比這兩道題的不同，學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)是與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)是與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這才恍然大悟，坐標(biāo)軸包括x軸和y軸，所以要解答題目理應(yīng)結(jié)合圖像分情況討論。具體包括兩種情況：二次函數(shù)過原點(diǎn)，也就是拋物線與x軸、y軸都有唯一交點(diǎn)，只需要將（0，0）代入解析式得c=0;再一個(gè)是△=0，拋物線與x軸與y軸各一個(gè)交點(diǎn)，解得c=2。就這樣，通過對(duì)比可以使學(xué)生更加直觀地認(rèn)識(shí)到這類題目的考點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)，有助于加深學(xué)生的印象。

也就是說，批判性思維可以促使學(xué)生透過錯(cuò)題現(xiàn)象洞悉知識(shí)本質(zhì)，形成良好的獨(dú)立思維判斷力。之所以很多學(xué)生會(huì)出現(xiàn)同類型錯(cuò)題反復(fù)出現(xiàn)的情況，一個(gè)很重要的原因就是學(xué)生缺乏對(duì)錯(cuò)題的深入思考與批判性認(rèn)知，仍停留在簡(jiǎn)單的訂正上，這樣產(chǎn)生的學(xué)習(xí)效果微乎其微，需要引起教師警覺，防止學(xué)生進(jìn)入無效訂正與刷題的惡性循環(huán)中。

3? ?變式練習(xí)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維

在經(jīng)過追本溯源、對(duì)比辨析的錯(cuò)誤反思環(huán)節(jié)之后，接下來要讓學(xué)生及時(shí)訂正錯(cuò)題，并通過多次變式訓(xùn)練、錯(cuò)題重考等形式加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握程度，避免同類型錯(cuò)誤反復(fù)出現(xiàn)。變式練習(xí)的方式可以幫助學(xué)生從多變的考查形式中理解知識(shí)的本質(zhì)，把握不變的規(guī)律，能起到幫助學(xué)生鞏固完善知識(shí)體系的作用。同時(shí)，教師在題目的形式變化上也可以創(chuàng)新，提升學(xué)生習(xí)題訓(xùn)練的興趣與積極性，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的品質(zhì)。

例如，以解三角形知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的易錯(cuò)題來說，學(xué)生很容易出現(xiàn)三角函數(shù)定義不清晰、邊角關(guān)系混淆的錯(cuò)誤，比如，在Rt△ABC中，如果將各邊長(zhǎng)都擴(kuò)大為原來的2倍，那么銳角A的正切值（? ?）？學(xué)生若給出擴(kuò)大2倍的答案則證明對(duì)三角函數(shù)的定義掌握得不夠，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用畫圖分析的方式進(jìn)行思考，明確三角函數(shù)在本質(zhì)上只是一個(gè)比值，銳角A的正切值不變。教師通過相應(yīng)的變式題目幫助學(xué)生針對(duì)性地鞏固了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，克服了思維障礙。

也就是說，變式練習(xí)是對(duì)學(xué)生普遍存在的錯(cuò)題進(jìn)行不同角度、不同層次、不同情形的變式，通過暴露問題的本質(zhì)特征深化學(xué)生認(rèn)識(shí)的一種教學(xué)策略。教師要善于通過變式練習(xí)等方式培養(yǎng)學(xué)生思考問題、分析問題和解決問題的能力，讓學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新創(chuàng)造，對(duì)問題進(jìn)行多角度、多渠道的思考，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，這樣才能幫助學(xué)生消除思維定式的影響，有效訓(xùn)練學(xué)生思維的完整性與創(chuàng)造性。

4? ?反思聚合，培養(yǎng)建構(gòu)思維

在建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論中，學(xué)生學(xué)習(xí)的過程不是由教師向?qū)W生的傳遞，而是自己建構(gòu)知識(shí)的意義，獲得思維發(fā)展的過程。那么，建構(gòu)思維就可以理解為學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷進(jìn)行思考，通過理解和建構(gòu)新的知識(shí)和信息豐富原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)新的認(rèn)知平衡的思維方式。這就啟示教師要重視錯(cuò)題反思的重要性，讓學(xué)生從錯(cuò)題中收獲知識(shí)的鞏固與思維的深化，使之形成再生資源，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

例如，二次函數(shù)相關(guān)的題目是初中數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)內(nèi)容，教師在平時(shí)的訓(xùn)練中不僅要指導(dǎo)學(xué)生分析與訂正錯(cuò)題，同時(shí)也要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行分類整理，總結(jié)常出現(xiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)并記錄下來，形成體系。如二次函數(shù)考查題目中的易錯(cuò)點(diǎn)包括忽略字母系數(shù)的限制條件，學(xué)生常出現(xiàn)的錯(cuò)誤還包括判斷二次函數(shù)y=ax2的增減性時(shí)未分類討論、忽略頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k中的符號(hào)、函數(shù)圖像平移時(shí)出現(xiàn)方向錯(cuò)誤、求二次函數(shù)最值時(shí)忽略自變量的取值范圍等。教師要利用好這些易錯(cuò)題資源，帶領(lǐng)學(xué)生歸納總結(jié)，幫助學(xué)生以分類整理錯(cuò)題的方式系統(tǒng)地完善與充實(shí)個(gè)人的知識(shí)體系。

心理學(xué)家蓋耶認(rèn)為：“誰(shuí)不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過最富成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻?！卞e(cuò)誤本身并不可怕，它的出現(xiàn)可以暴露學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)的知識(shí)漏洞，或者缺乏把知識(shí)內(nèi)化的能力。針對(duì)不同的錯(cuò)誤，教師要引導(dǎo)學(xué)生深刻地反思與剖析，對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分析和總結(jié)，以減少在同類題型或者同一知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)錯(cuò)誤的頻次，進(jìn)而幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率，并對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)進(jìn)行調(diào)整與優(yōu)化。

5? ?分解推理，培養(yǎng)邏輯思維

推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本方式。很多學(xué)生出現(xiàn)數(shù)學(xué)錯(cuò)題的原因就在于對(duì)問題本身未進(jìn)行有效的挖掘與推理，對(duì)題目中的信息不能充分利用。因此，教師在帶領(lǐng)學(xué)生剖析錯(cuò)題的時(shí)候，要注重引導(dǎo)學(xué)生樹立捕捉信息、處理信息的意識(shí)，強(qiáng)化信息處理能力與推理能力，在此基礎(chǔ)上推動(dòng)學(xué)生逐步形成與發(fā)展邏輯思維意識(shí)與能力。

例如，對(duì)于定理分析的數(shù)學(xué)題目來說，需要學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定義及概念進(jìn)行深入剖析，將定理及相關(guān)推論真正理解透徹。下列說法錯(cuò)誤的是（? ? ）？

A過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行

B.平行于同一條直線的兩條直線平行

C.若a□b，b□c，c□d，則a□d

D.同一平面內(nèi)，若一條直線與兩平行線中的一條相交，那么它與另一條也相交

在解答這道題目的時(shí)候，很多學(xué)生選擇的選項(xiàng)是B或者C，這暴露出的就是學(xué)生對(duì)于平行公理及其推論沒有理解透徹。教師要讓學(xué)生逐一理解選項(xiàng)，首先我們來看A選項(xiàng)，看似表述跟平行定理非常相似，但卻少了至關(guān)重要的一個(gè)條件，那就是“過一點(diǎn)”一定要為“直線外一點(diǎn)”，否則就和已知直線重合了，這時(shí)過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行就不成立，所以A選項(xiàng)的說法是錯(cuò)誤的。B選項(xiàng)和C選項(xiàng)都是平行定理的推論，如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行，且對(duì)三條或三條以上的平行線都具有傳遞性，所以B選項(xiàng)和C選項(xiàng)都是對(duì)的。D選項(xiàng)中同一平面內(nèi)，若一條直線與兩平行線中的一條相交，那么它與另一條也相交，根據(jù)相交與平行的關(guān)系可得也是正確的。所以，通過逐一分解推理可得，選項(xiàng)A的說法是錯(cuò)誤的。教師在剖析這類型錯(cuò)題時(shí)，不僅要關(guān)注學(xué)生的答案是否正確，還要讓學(xué)生逐一解釋每個(gè)選項(xiàng)為什么正確，錯(cuò)誤的錯(cuò)在什么地方，這樣才能有效加深學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)定理及推論的理解與記憶，加深對(duì)知識(shí)的印象。

學(xué)生的學(xué)習(xí)是連貫的，相互影響較大，一道綜合性的題目可能會(huì)涉及不同年級(jí)、不同階段的知識(shí)點(diǎn)，這就對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力及靈活應(yīng)用知識(shí)的能力提出了很高的要求。作為初中數(shù)學(xué)教師，我們不僅要利用錯(cuò)題資源幫助學(xué)生培養(yǎng)邏輯思維能力，還要將其融匯在日常教學(xué)過程中，從點(diǎn)滴做起，為學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

6? ?聯(lián)系對(duì)比，培養(yǎng)發(fā)散思維

在糾錯(cuò)、改錯(cuò)上，如果學(xué)生只是錯(cuò)一道題、改一道題，不對(duì)同類型的題目進(jìn)行有意識(shí)的聯(lián)系對(duì)比，那么就很容易出現(xiàn)相同錯(cuò)誤反復(fù)發(fā)生的情況，學(xué)生也很難得到長(zhǎng)足的進(jìn)步與思維能力的提升。因此，要想將錯(cuò)題拓展為有效的教學(xué)資源，教師就要善于引導(dǎo)學(xué)生就相似的錯(cuò)題展開對(duì)比分析，從中總結(jié)該類型題目的“陷阱”所在，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的良性遷移。

例如，以實(shí)數(shù)相關(guān)的內(nèi)容來說，題目是這樣的：一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根是2a-1和a-5，求這個(gè)非負(fù)數(shù)______？很多學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)解是9或81，原因就在于錯(cuò)誤地理解了問題中對(duì)應(yīng)的情況，誤認(rèn)為此時(shí)有兩種情況，2a-1和a-5相等或者2a-1和a-5互為相反數(shù)。但通過對(duì)題目的推理，要滿足一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根是2a-1和a-5，只存在一種情況，那就是（2a-1）+（a-5）=0，解得a=2，所以這個(gè)非負(fù)數(shù)是（2a-1）2=（2×2-1）2=9。在此基礎(chǔ)上，教師可以趁熱打鐵，再讓學(xué)生通過習(xí)題訓(xùn)練辨析和理解這類型題目，如已知a-1和5-2a都是m的平方根，求a和m的值。這種題目就需要學(xué)生進(jìn)行分情況推理分析。所以我們綜合兩道題目來看，一方面是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)判斷情況，選擇正確的情況求解;另一方面則需要學(xué)生綜合考慮題目中的條件，學(xué)會(huì)分情況討論。這樣的易錯(cuò)題訓(xùn)練對(duì)于促進(jìn)學(xué)生的發(fā)散思維能力發(fā)展有很大幫助。

學(xué)生在就錯(cuò)題展開聯(lián)系對(duì)比、拓展延伸的時(shí)候，其發(fā)散性思維能力也能得到一定的發(fā)展。在這個(gè)過程中，學(xué)生的思路要不拘泥于一個(gè)途徑、一個(gè)方法，向各種可能的方向擴(kuò)散，從而有利于促使其從不同角度、不同方面和不同關(guān)系去思考問題，厘清問題的易錯(cuò)點(diǎn)，準(zhǔn)確分析錯(cuò)誤及其成因，真正發(fā)揮錯(cuò)題資源的價(jià)值，幫助學(xué)生掃除思維死角，探究有效的糾錯(cuò)措施。

總而言之，通過對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行針對(duì)性分析與訂正，可以在培養(yǎng)深度思維、批判思維、創(chuàng)新思維及建構(gòu)思維方面發(fā)揮積極作用。當(dāng)然，這只是教師轉(zhuǎn)化與利用錯(cuò)題資源的一個(gè)方向，其與初中數(shù)學(xué)課堂的融匯點(diǎn)還有很多，需要教師在具體的教學(xué)實(shí)踐中不斷思考與探索，這樣才能巧妙合理地利用錯(cuò)題資源，讓學(xué)生在糾錯(cuò)中發(fā)散思維，獲得進(jìn)步，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和教師的數(shù)學(xué)教學(xué)能力。

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