陳六一 姚瑤

“綜合與實(shí)踐” “數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”，組成了義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的四大學(xué)習(xí)領(lǐng)域。其中，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）賦予“綜合與實(shí)踐”的目標(biāo)是：培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。筆者通過(guò)與以往版本課程標(biāo)準(zhǔn)（大綱）的變與不變的梳理、教育價(jià)值訴求的辨析，以及對(duì)課堂實(shí)踐的反思，試圖找尋一條實(shí)現(xiàn)“新課標(biāo)”目標(biāo)要求的切實(shí)路徑。

一、“新課標(biāo)”較于其他標(biāo)準(zhǔn)的主要變化及教育主旨

第一次將“實(shí)踐”與“綜合”兩個(gè)詞語(yǔ)并列在一起的是2001年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“課標(biāo)實(shí)驗(yàn)稿”），其要義是：“幫助學(xué)生綜合運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問(wèn)題，以發(fā)展他們解決問(wèn)題的能力，加深對(duì)數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的理解，體會(huì)各部分之間的聯(lián)系?！?/p>

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“2011年課標(biāo)”）則指出：“綜合與實(shí)踐是一類(lèi)以問(wèn)題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)。在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生將綜合運(yùn)用數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等知識(shí)和方法解決問(wèn)題。”

而自1950年頒布的《小學(xué)算術(shù)課程暫行標(biāo)準(zhǔn)（草案）》，到2000年的《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》，歷經(jīng)50年7次課程改革9個(gè)大綱，都未將“綜合與實(shí)踐”作為一個(gè)獨(dú)立的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，但在教學(xué)要求中有“綜合”“實(shí)踐”類(lèi)似的描述，且主要以應(yīng)用題的方式出現(xiàn)（見(jiàn)表1）。

由此可見(jiàn)，我國(guó)雖然一直重視“綜合與實(shí)踐”，但“綜合與實(shí)踐”沒(méi)有成為數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，只是在數(shù)與形的教學(xué)之后，以應(yīng)用題的形式將所學(xué)聯(lián)系起來(lái)，并在實(shí)際中加以拓展運(yùn)用。到第八次課程改革時(shí)，才將其專(zhuān)門(mén)列為一個(gè)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

由此帶來(lái)的第二個(gè)顯著變化是，“新課標(biāo)”中“綜合與實(shí)踐”有了更翔實(shí)的內(nèi)容，實(shí)例由“2011年課標(biāo)”的8個(gè)增加到17個(gè)（見(jiàn)表2）。概括來(lái)說(shuō)就是將“2011年課標(biāo)”“課標(biāo)實(shí)驗(yàn)稿”中原本屬于“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”領(lǐng)域中除長(zhǎng)度以外其他人為規(guī)定的量，移至“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域，且以主題活動(dòng)的形式呈現(xiàn)。較前兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，基于“新課標(biāo)”的“綜合與實(shí)踐”還需要多學(xué)時(shí)的持續(xù)性學(xué)習(xí)，而不像以往的一個(gè)課時(shí)的散點(diǎn)式點(diǎn)綴。

顯然，基于“新課標(biāo)”的“綜合與實(shí)踐”無(wú)論是教的方式，還是學(xué)的要求，都發(fā)生了很大的改變。但是，叩問(wèn)其教育主旨，卻是一脈相承的。通過(guò)表1可以窺見(jiàn)這50年里，應(yīng)用題教學(xué)不斷突破學(xué)科界限，試圖用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決日常問(wèn)題、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)問(wèn)題、其他學(xué)科問(wèn)題，讓學(xué)生在思維提升中培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力，在問(wèn)題的解決過(guò)程中培養(yǎng)創(chuàng)造力。而“新課標(biāo)”正是基于這些愿景，再賦予數(shù)學(xué)育人的內(nèi)涵。結(jié)合中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，以及與學(xué)生密切相關(guān)的校園生活、社會(huì)生活，讓不同基礎(chǔ)、不同需求的學(xué)生都可以參與活動(dòng)，發(fā)展模型意識(shí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。

二、可能的教學(xué)挑戰(zhàn)

“新課標(biāo)”要求“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的教學(xué)活動(dòng)，以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主。對(duì)于跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，歐雷姆等人認(rèn)為“是一種以學(xué)生為中心，不拘于一個(gè)學(xué)科來(lái)運(yùn)作廣泛主題探究的模式。”李祖祥認(rèn)為“通過(guò)發(fā)揮學(xué)生的主體建構(gòu)性和主觀能動(dòng)性，以多個(gè)學(xué)科的主題探索來(lái)實(shí)現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展?！庇纱?，“跨學(xué)科學(xué)習(xí)”和“主題學(xué)習(xí)”有著相同的教育意蘊(yùn)。但現(xiàn)實(shí)是教師習(xí)慣于只有數(shù)學(xué)的學(xué)科教學(xué)，為此必然帶來(lái)至少以下幾個(gè)挑戰(zhàn)。

1.教的不確定性?！熬C合與實(shí)踐”的教學(xué)，解決的是現(xiàn)實(shí)世界問(wèn)題。因?yàn)槭乾F(xiàn)實(shí)問(wèn)題，就不會(huì)直接給明數(shù)據(jù)，也沒(méi)有影響問(wèn)題解決的數(shù)量關(guān)系，這就要求學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的關(guān)鍵要素，分析要素之間的關(guān)系與規(guī)律，從而形成方案。因?yàn)闂l件、關(guān)系的不明朗，學(xué)生在尋找問(wèn)題要素的過(guò)程中，就會(huì)“自說(shuō)自話”，教學(xué)也就充滿著不確定性，這極大地考驗(yàn)著教師的教學(xué)機(jī)智。

2.去數(shù)學(xué)的誤解。一提到跨學(xué)科，很多教師想到的是一邊增加主題中其他學(xué)科內(nèi)容，一邊減少數(shù)學(xué)知識(shí)的參與程度。其實(shí)，數(shù)學(xué)是跨學(xué)科的基礎(chǔ)，喪失數(shù)學(xué)味的主題就會(huì)讓“四基”沒(méi)有著力點(diǎn)，沒(méi)有“四基”，學(xué)生很難形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維，更難使現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化。

3.過(guò)程與結(jié)果的平衡。平常的數(shù)學(xué)教學(xué)，過(guò)程是開(kāi)放的，但結(jié)果一般是唯一的;其結(jié)果的唯一，也保證了思想開(kāi)放是有導(dǎo)向的。但主題學(xué)習(xí)，不僅過(guò)程是開(kāi)放的，學(xué)習(xí)結(jié)果也是開(kāi)放的，有的是“圖畫(huà)”，有的是“論文”，有的是“報(bào)告”，這就需要“圖畫(huà)”“論文”“報(bào)告”等學(xué)習(xí)結(jié)果要體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型，不能讓“圖畫(huà)”成為山水畫(huà)，讓“論文”變成小說(shuō)。

三、可行的教學(xué)路徑

1.聯(lián)結(jié)學(xué)科內(nèi)部。既然數(shù)學(xué)是通過(guò)對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象及其關(guān)系，那么數(shù)學(xué)可以說(shuō)在一定程度上是一種“關(guān)系學(xué)”。所以在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)看上去不同的內(nèi)容，卻因?yàn)閿?shù)學(xué)本質(zhì)而產(chǎn)生了關(guān)聯(lián)。關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)性越強(qiáng)、關(guān)聯(lián)的范圍越廣泛，就意味著知識(shí)得以壓縮。壓縮后的知識(shí)面對(duì)新問(wèn)題時(shí)，啟動(dòng)解壓后就具有舉一反三的效能。

例如“歡樂(lè)購(gòu)物街”的教學(xué)，其主題是通過(guò)購(gòu)物活動(dòng)，在進(jìn)行定價(jià)、付錢(qián)和找錢(qián)中，掌握人民幣的相關(guān)知識(shí)。要讓學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)世界的“物”，可以用“量”來(lái)描述其屬性，如一維的長(zhǎng)短，可以用幾厘米、幾米描述，二維的大小可以用幾平方厘米、幾平方米描述，質(zhì)量維度可以用幾克、幾千克描述，“物”的價(jià)值則一樣可以度量，就是幾元、幾角。這樣，通過(guò)數(shù)學(xué)思維的定量就將難以言說(shuō)的“物”表達(dá)了出來(lái)，而且今后的學(xué)習(xí)，都可以從不同的側(cè)面去度量“物”的大小、多少。同時(shí)，在用量來(lái)描述的時(shí)候，需要進(jìn)一步抽象為數(shù)，為了數(shù)出數(shù)，自然想到統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，以小量大，兩個(gè)量間存在倍數(shù)關(guān)系，最好進(jìn)率是10，因?yàn)檎麛?shù)計(jì)數(shù)是十進(jìn)制的。當(dāng)然，其他進(jìn)率均有存在的理由，但其原理又與十進(jìn)制相同。

2.“四基”深度卷入?；A(chǔ)知識(shí)、基本技能是實(shí)踐的根本，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、基本思想方法是綜合的抓手。

例如，在“蘇州穹窿山平面圖”的教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)這些活動(dòng)：第一，了解穹窿山山名的來(lái)歷，查找與穹窿山有關(guān)的歷史典故、主要景點(diǎn)，以自傳的形式匯報(bào);第二，視頻欣賞，為穹窿山設(shè)計(jì)宣傳語(yǔ);第三，繪制平面圖，與景區(qū)導(dǎo)覽圖對(duì)比，給景區(qū)提出個(gè)性化的導(dǎo)覽圖設(shè)計(jì)建議;第四，分享作品，介紹設(shè)計(jì)過(guò)程的得失。四次活動(dòng)中的第一、第二兩項(xiàng)，未涉及數(shù)學(xué)，但激發(fā)了學(xué)生設(shè)計(jì)的熱情，產(chǎn)生了一股用數(shù)學(xué)表達(dá)美的沖動(dòng)。但是情緒需要付出理性思考的代價(jià)，將實(shí)際景物縮小到圖上，如何構(gòu)建比例尺？形狀不規(guī)則，如何測(cè)量？實(shí)際景點(diǎn)的方位，如何把空間中的景物關(guān)系抽象為平面圖形及其位置關(guān)系？讓學(xué)生更加明晰數(shù)學(xué)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的工具性作用，數(shù)學(xué)的應(yīng)用直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值，推動(dòng)生產(chǎn)力的發(fā)展。

3.融合超越現(xiàn)實(shí)。從數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，在與其他學(xué)科的融合理解中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己還可以突破認(rèn)知局限，看見(jiàn)更智慧、更有靈性的自己。

例如，在“度量衡故事”的教學(xué)中，首先，讓學(xué)生查閱有關(guān)度量衡的資料，了解度量衡的歷史與發(fā)展，知道秦始皇統(tǒng)一度量衡的故事，古代計(jì)量單位和現(xiàn)代計(jì)量單位的差別;其次，指導(dǎo)學(xué)生查閱工具書(shū)，學(xué)習(xí)與度量衡有關(guān)的成語(yǔ)，如“不積跬步無(wú)以至千里”“半斤八兩”等，將這些計(jì)量單位換算成現(xiàn)代計(jì)量單位;接著組織學(xué)生將自己的作品集中展覽。最后，關(guān)聯(lián)計(jì)量單位進(jìn)率與十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。很多學(xué)生以為語(yǔ)文和數(shù)學(xué)之間很難產(chǎn)生交集，比如學(xué)生記住了“半斤八兩”指的是彼此水平相當(dāng)?shù)囊馑?，但他們不知道其?shí)古時(shí)半斤等于八兩，正因?yàn)樵跀?shù)學(xué)上半斤等于八兩，“半斤八兩”才會(huì)有文學(xué)上勢(shì)均力敵的解釋。而在現(xiàn)代，一斤是10兩，那半斤則是5兩，由此讓學(xué)生在10進(jìn)制與16進(jìn)制之間轉(zhuǎn)化，正是文學(xué)性與理性?xún)煞N思維方式，讓學(xué)生沖破了自己認(rèn)知的藩籬，從而用不同的進(jìn)制體驗(yàn)不同的生活。進(jìn)一步體會(huì)到秦始皇統(tǒng)一度量衡的意義所在，甚至想到人們不斷精確1米到底有多長(zhǎng)，唯有拋棄實(shí)際的器物，用數(shù)學(xué)的形式化定義才能精準(zhǔn)表達(dá)。而這也是數(shù)學(xué)求真的精神所在，也是學(xué)習(xí)綜合與實(shí)踐的育人價(jià)值所在。

綜上所述，世界上只有尚未認(rèn)識(shí)的事物，沒(méi)有不可認(rèn)識(shí)的事物。一旦用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，事物就在數(shù)與形的刻畫(huà)中，可度量，可直觀感受。不過(guò)，對(duì)世界的認(rèn)識(shí)不是一次完成的，而是一個(gè)不斷反復(fù)、不斷數(shù)學(xué)化的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程，便是綜合與實(shí)踐的過(guò)程。換句話說(shuō)，正是綜合與實(shí)踐，讓數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)成為可能，讓數(shù)學(xué)創(chuàng)造成為可能。

（作者單位：南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校）