周碩

［摘? 要］ 教材是教學的依據(jù)，也是培養(yǎng)學科核心素養(yǎng)的主要載體，如何挖掘數(shù)學教材所蘊含的內(nèi)隱性素材資源，讓這些資源為發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)服務呢？文章從以下三方面展開闡述：挖掘知識背景資源，催生數(shù)學核心素養(yǎng)；挖掘例題隱含資源，提升數(shù)學核心素養(yǎng)；挖掘知識邏輯關系，完善數(shù)學核心素養(yǎng).

［關鍵詞］ 核心素養(yǎng)；教材；隱性資源

通過數(shù)學教學培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)具有獨特的價值與意義，它能讓學生學會用數(shù)學的眼光看待世界，形成良好的數(shù)學思維品質(zhì)與追求數(shù)學美的精神，為形成正向的數(shù)學價值觀奠定基礎. 用于教學的各種資源為課程資源，主要存在外顯與內(nèi)隱兩類，其中內(nèi)隱性資源包括內(nèi)隱性條件與素材資源，教材內(nèi)隱性資源屬于內(nèi)隱素材資源［1］. 本文就如何開發(fā)教材內(nèi)隱性素材資源，提升數(shù)學核心素養(yǎng)談一些拙見.

[?]挖掘知識背景資源，催生數(shù)學核心素養(yǎng)

數(shù)學教材雖然為教學的載體，但它所呈現(xiàn)的知識都是以靜態(tài)的形式出現(xiàn)的，而數(shù)學課堂卻是動態(tài)發(fā)展變化的過程，處于課堂中的師生因地域、知識背景等的不同，呈現(xiàn)出較大差異. 教材編者只能依照大部分學生的認知水平為參考，編擬出適合大眾的教學內(nèi)容. 教師在實際教學時，要根據(jù)學情，充分挖掘知識的背景資源，以催生學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

1. 知識類比，啟發(fā)思維

教學過程中，教師應結合學生的實際認知水平，賦予教材一些現(xiàn)實的背景，使得教學內(nèi)容情境化；也可以結合編者的意圖，從學生的生活實際中尋找一些更契合學生認知的情境替代教材中呈現(xiàn)的知識背景.

當然，對教材知識背景的開發(fā)，不能局限于利用情境來替代原有的內(nèi)容，還應解讀教材知識的組織形式與來龍去脈，尋找出其背后所隱含的數(shù)學思想方法，思考編者如此編寫的實際意圖，尤其是對知識脈絡要有一個明確的認識，這樣才能讓教材助力實際教學.

案例1 “平面向量的實際背景及基本概念”的教學.

教材對于平面向量概念的概括，主要通過對物理現(xiàn)象中的力的大小與位移方向進行舉例、概括、抽象而來；同樣，“向量的加法運算及幾何意義”也是從這幾方面著手，通過對數(shù)的運算的類比，強化學生對向量的加法運算和性質(zhì)的理解.

鑒于此，本節(jié)課的教學設計，可從教材出發(fā)，結合學生的生活實際與平面向量的物理背景，將知識從自然現(xiàn)象中抽象而出，這也是類比思想方法的滲透過程，對啟發(fā)學生的思維具有直接影響.

2. 數(shù)學文化，健全人格

數(shù)學文化是教材所蘊含的背景資源之一，開發(fā)數(shù)學文化資源對學生的德育滲透與人格品質(zhì)的培養(yǎng)具有重要意義. 數(shù)學文化作為一個相對獨立的體系，具有豐富的內(nèi)涵與極高的教育價值，教師應注重對其開發(fā)與利用.

案例2 “方程的根與函數(shù)的零點”的教學.

課堂伊始，教師可從數(shù)學文化的角度出發(fā)，帶領學生領略知識的歷史進程，讓學生對本章節(jié)內(nèi)容產(chǎn)生積極的情感傾向，發(fā)自內(nèi)心地接納并內(nèi)化所學知識，同時感知數(shù)學發(fā)展的艱辛與神奇.

課堂導入：早在公元50—100年，《九章算術》對一元一次、一元二次與正系數(shù)的一元三次方程的求根方法作了記載；到11世紀，賈憲提出了一元三次及以上次數(shù)方程的解法；直至13世紀，秦九韶明確提出了解一元任意次方程的具體方法. 可見一元方程求解問題經(jīng)歷了漫長的歷史進程.

國外對方程求解的研究也經(jīng)歷了一個漫長的歷史演變過程，9世紀，人們首先發(fā)現(xiàn)了一元一次到一元四次方程的求根方法，直到19世紀挪威的阿貝爾突破了一元五次方程的求根問題，他證明了一元五次方程沒有代數(shù)一般解.

師：縱觀方程求解的發(fā)展史，可見從方程的角度著手研究方程的求解問題，確實存在很大的難度，若想繼續(xù)研究下去，我們可以怎么做呢？面對以上結論，我們究竟該怎樣求方程的根呢？現(xiàn)在請大家思考以下幾個問題：

問題1：說一說方程2x+x=0是否存在實根. 如果存在，請說出其中一根大致位于哪兩個正數(shù)之間.

問題2：分析二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）的圖像跟x軸有幾個交點，交點坐標與方程的根之間存在聯(lián)系嗎？

分析完以上兩個問題后，再從特殊轉(zhuǎn)化為一般，引出本節(jié)課的教學重點——“函數(shù)的零點”問題.

教材對概念的陳述，一般只有核心概念與典型例題，教師若根據(jù)教材所提供的資源進行授課，顯然缺失了概念的形成與發(fā)展歷程，于學生而言就是概念的機械性記憶與應用，這種教學方式必然會降低學生對概念的學習熱情，乏味的概念學習只會讓他們覺得數(shù)學是一門抽象、枯燥的學科.

為了調(diào)動學生學習的積極性，突出知識的重要性與學習的必要性，教師可適當?shù)匾胫R形成的歷史背景. 通過挖掘數(shù)學文化，與如今的課堂教學內(nèi)容自然而然地進行銜接，首先就能從情感上征服學生，無疑會增強學生的探究熱情. 激情、奮志、引疑、啟思的方式，可成功地激起學生原有認知經(jīng)驗與情境之間的矛盾，讓學生對知識的來龍去脈產(chǎn)生更深刻的理解，這能對后繼教學起到事半功倍的效果.

再從精神、思維品質(zhì)與價值觀的角度來看，深挖教材中數(shù)學文化的教育價值，不僅能讓學生感知為什么要學習這部分知識，還能成功地推動學生的學習動機，讓他們?nèi)ニ妓鳌拔以撛趺磳W”與“我該學什么”等問題. 帶著這些疑慮去學習，不僅能讓學生更好地掌握課堂知識，還能促進學生個性、心智、價值觀等方面有效發(fā)展.

隨著新課標的深入推行，如今的數(shù)學教材大幅度增加了數(shù)學文化的介紹，如“等比數(shù)列”章節(jié)，將“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”作為引例；“等比數(shù)列求和”問題以國際象棋起源的故事來引入，而且像謝賓斯基三角形，畢達哥拉斯學派所研究的正方形數(shù)、三角形數(shù)，斐波那契數(shù)列等，均在教材中出現(xiàn). 這些數(shù)學文化的滲透對培養(yǎng)學生的人生觀與價值觀有著不可估量的重要意義. 教材受篇幅限制，而教師卻可以在此基礎上加以拓展與延伸，以開闊學生的視野，為培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)奠定基礎.

[?]挖掘例題隱含資源，提升數(shù)學核心素養(yǎng)

教學講究過程與結果的平衡，想讓學生獲得結論，必須帶領學生經(jīng)歷豐富的教學活動過程. 簡而言之，就是讓學生經(jīng)歷結論的獲得過程. 這句話的實質(zhì)是讓學生親歷觀察、抽象、建模等過程，自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，形成一定的數(shù)學能力，提升數(shù)學核心素養(yǎng).

教材知識都是靜態(tài)且冰冷的，若想將冰冷的教材知識轉(zhuǎn)化為火熱的數(shù)學思考，需要教師精心設計與引導，這也是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的主要途徑. 鑒于此，教師在課堂中應留下充足的時間與空間讓學生去探索，親歷觀察、實踐、交流、猜想、歸納、反思等過程，踐行過程性知識的開發(fā). 教材例題是教學的依托，教師在教學過程中可深挖例題的隱含資源，讓學生在真正意義上感知例題的實際教學意義.

案例3 例題教學.

問題：求證12+22+…+n2=.

教學方案1：①復習歸納法；②利用歸納法證明；③練習訓練.

教學方案2：

①提出問題：大家思考一下，可以用什么方法求出數(shù)列｛n2｝的前n項和？

②交流：是否可用等差數(shù)列或等比數(shù)列求和公式的推導方法來解決這個問題？（實踐證明，效果不佳）

③討論：從特殊情況出發(fā)，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律. 假設S=1+2+…+n=，S=12+22+…+n2，求出其前n項和（見表1）.

通過觀察發(fā)現(xiàn)=，=，=，…，猜想=. 由此可得S=S·=.

④利用歸納法證明以上猜想.

教學方案3：結合學生的生活經(jīng)驗，將原題改編成一個與學生生活實際相關的問題，探索過程與方案2相同.

教學方案4：

①在教學方案3的基礎上，鼓勵學生通過合作交流，自主探尋其他解題途徑，如將（n+1）3=n3+3n2+3n+1（n∈N*）的前n個式子進行疊加.

②附加一個開放性問題，要求學生求出S=13+23+…+n3的值.

以上4種教學方案是一個不斷改進、不斷創(chuàng)新的教學過程.

教學方案1是典型的傳統(tǒng)設計，教師并沒有帶領學生挖掘教學內(nèi)容的內(nèi)隱性資源，只是為了完成教學目標，要求學生掌握基礎知識與技能，獲得一定的邏輯思維能力.

教學方案2體現(xiàn)了數(shù)學“發(fā)現(xiàn)—證明—應用”的過程，揭示了特殊到一般的數(shù)學思想方法，對培養(yǎng)學生的合情推理能力具有直接影響，且例題的內(nèi)隱性資源的開發(fā)取得了較大進展.

教學方案3在以上基礎上進行了改進，將知識與生活實際掛鉤，彰顯了知識與生活實際的聯(lián)系，不僅有效開發(fā)了例題的內(nèi)隱性資源，還增強了學生的學習體驗，使知識、體驗與能力形成了“三位一體”的關系.

教學方案4增加了合作探究、變式和開放性問題，不僅增強學生對知識的理解程度，還注重學生反思能力與創(chuàng)新意識的培養(yǎng). 這一方案涉及多維目標，對例題的內(nèi)隱性資源進行了全面開發(fā)，學生的數(shù)學核心素養(yǎng)在該方案的實施中得以快速提升.

[?]挖掘知識邏輯關系，完善數(shù)學核心素養(yǎng)

如今的高中數(shù)學教材編排不僅考慮到知識的邏輯發(fā)展順序，還兼顧到學生的心理發(fā)展特征等綜合因素，將課堂內(nèi)容分成若干模塊，有些章節(jié)因更多關注到學生的認知水平，無形中就弱化了知識間的邏輯關系［2］. 因此，教師在教學過程中應注重滲透這部分知識間的邏輯關系. 而數(shù)學思想方法的應用，能有效整合知識間的邏輯關系.

數(shù)學思想方法隱藏在知識間的邏輯關系中，且具有一定的同一性［3］. 教學過程中，教師可將蘊藏在知識間的這種“同一思想”總結出來，讓學生對知識產(chǎn)生更加全面深刻的認識.

案例4 “等差數(shù)列通項公式”的教學.

教材利用高斯巧算引出了首尾配對法，學生利用這種方法自主計算S=1+2+…+（n-1）+n時，發(fā)現(xiàn)仍存在障礙. 此時，教師常會引導學生應用倒序相加法來推導首項是a，公差是d的等差數(shù)列的前n項和公式. 若教師的引導到此結束，則當學生遇到與它類似的問題時，如“已知f（x）=，求f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）”，依然無法自主解決. 因為以上推導過程所涉及的倒序相加法僅僅是一種解題技巧，并非廣泛使用的數(shù)學思想方法.

本節(jié)課的教學，可以高斯故事為切入口，通過歸納高斯方法的本質(zhì)，獲得等差數(shù)列的性質(zhì)，而后再應用這種方法獲得1+2+…+n的和，此處需要分類討論（n為奇數(shù)或偶數(shù)），最后過渡到一般的等差數(shù)列求和公式的研究中去. 學生在此過程中會遇到從特殊到一般的數(shù)學思想，感悟到數(shù)學化歸思想方法的價值.

在學生探索n的奇偶性時，引導學生分析是否有辦法避免分類討論. 如將公式S=（a+a）轉(zhuǎn)化為2S=n（a+a）后，根據(jù)其性質(zhì)就可獲得S. 鑒于此，“倒序求和”就是倒過來分析，而非求和公式所反映出來的數(shù)學思想方法. 而化異同為相同、化無限為有限的數(shù)學思想，才是教師在執(zhí)教過程中需要深挖的數(shù)學思想方法. 帶領學生感知數(shù)學知識間的邏輯關系，領悟數(shù)學思想方法，不僅可以體現(xiàn)教師本人的教學水平與基本功，還是提高課堂效率、完善學生數(shù)學核心素養(yǎng)的前提.

總之，教材中所蘊含的內(nèi)隱性素材資源有很多. 教師首先應提高自身的認知水平與素養(yǎng)，充分了解教材的結構與知識間的邏輯關系，從宏觀的角度來分析教材、利用教材；其次應著手挖掘知識的背景，充分發(fā)揮數(shù)學文化價值，為培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)與價值觀夯實基礎；再次應轉(zhuǎn)變教學觀念，將目光從“教學結果”轉(zhuǎn)移到“教學過程”，讓學生充分體驗知識的形成與發(fā)展歷程，真正意義上提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］? 吳立寶，沈婕，王富英. 數(shù)學教科書隱性三維結構分析［J］. 教育理論與實踐，2017，37（35）：33-36.

［2］? 林崇德. 學習與發(fā)展：中小學生心理能力發(fā)展與培養(yǎng)（修訂版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2011.

［3］? 吳維維，邵光華. 邏輯推理核心素養(yǎng)在小學數(shù)學課堂如何落地［J］. 課程·教材·教法，2019，39（03）：88-95.