鄢學杰

［摘? 要］ 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出要引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界（簡稱“三會”）. 想要發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，先要達成“三會”目標. 如何立足“三會”，培養(yǎng)學生從數(shù)學的角度觀察與思考問題的能力呢？文章以幾道例題教學為例展開分析，以拋磚引玉.

［關鍵詞］ 三會；數(shù)學眼光；數(shù)學思維；數(shù)學語言

新課標背景下的高中數(shù)學教學，在“以生為本”的基礎上，倡導“立德樹人”教育教學理念，以期培養(yǎng)學生的“三會”能力. 史寧中教授在新課標的基礎上進一步說明了“三會”，即用數(shù)學眼光觀察世界的本質就是數(shù)學抽象，數(shù)學思維實則為邏輯推理過程，而數(shù)學語言的本質就是我們所熟悉的數(shù)學模型［1］. 想要培養(yǎng)學生的“三會”能力，實則培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、數(shù)學推理與數(shù)學建模能力.

[?] 用數(shù)學眼光觀察世界

什么是數(shù)學眼光？數(shù)學眼光是指人類從客觀的事物或現(xiàn)象中捕捉到數(shù)學特征或觀點的一種能力. 想要發(fā)展這種能力，離不開對現(xiàn)實事物的觀察、分析、比較、猜想與驗證等過程，這就需要帶領學生從客觀事物或現(xiàn)象的本質出發(fā)，讓學生基于數(shù)學的角度提出問題，并將這些問題數(shù)量化后用數(shù)學語言加以描述. 因此，這是一個數(shù)學抽象與數(shù)學創(chuàng)造的過程，體現(xiàn)了學生的創(chuàng)造意識.

如超市中大部分大瓶牛奶的包裝盒都是長方形，而大部分飲料的包裝盒卻是圓柱形，這是為什么呢？

超市是學生熟悉的場所，學生對于牛奶與飲料都非常熟悉，卻鮮有學生思考過這個問題. 若將這個問題引入到課堂中，不僅體現(xiàn)了生活與數(shù)學的聯(lián)系，還為學生提供了數(shù)學抽象的機會，讓學生學會用數(shù)學眼光觀察身邊的事物.

就以上這個問題，學生經過合作交流，普遍認為存在以下幾種可能：①人們習慣直接喝飲料，圓柱形包裝手感更舒適一些，同時圓柱形容器也容易制造，符合優(yōu)化原則；②大部分人習慣將牛奶倒出來喝，長方形的包裝便于傾倒，同時從超市物品排列的角度來看，長方形擺放在一起能節(jié)約貨架空間.

從以上角度分析這個生活問題，成功激發(fā)學生探索欲的同時，也鼓勵學生對生活常見的現(xiàn)象進行合理抽象和推導，用數(shù)學思想方法提升了認知技能. 因此，這種教學方式的應用，不僅讓學生切身感知到數(shù)學源于生活的真諦，還有效啟發(fā)了學生用數(shù)學眼光觀察世界的思維.

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開實踐操作、觀察與思考，這不僅是培養(yǎng)學生形成理性思維與批判能力的主要方式，還是促使學生形成用數(shù)學眼光觀察世界的重要手段. 學生親歷動手操作，常常能有效激活自身原有的認知經驗，通過知識的正遷移解決問題.

例1 操作要求：如圖1所示，準備圓形紙張，并于紙張上非圓心的位置任取一點F，折疊這張紙片，使得圓周過點F，而后展開紙片得到折痕l（可在紙上畫出）. 重復這種折疊方法，可得大量折痕，觀察折痕所圍成的輪廓（見圖2），要求學生感知最終得到了什么曲線.

學生實際操作過程：

（1）取出圓形紙張，設圓心為A，r為半徑，取圓內非圓心的點B；

（2）折疊圓形紙張，讓折疊后的圓弧過點B，重復此折疊步驟，獲得大量折痕（畫出）；

（3）觀察折痕所圍成的曲線，借助幾何畫板操作，視覺效果更好.

通過以上實踐操作，學生經過合作交流，獲得以下猜想：①折痕圍成一個分別以點A，B為焦點，r為長軸長的橢圓；②所得橢圓的焦點（一個）關于橢圓任意切線的對稱點構成圓，橢圓的另一個焦點為此圓的圓心，橢圓的長軸長為該圓的半徑.

以上均為猜想，想要驗證猜想是否合理，必須經過嚴謹?shù)淖C明. 因此，學生經過討論，提出了以下證明過程：

如圖3所示，第一步，證明橢圓上的任意一點都在某條折痕上.

假設點H是橢圓上的任意一點，將AH連接且延長后與圓相交于點D，再連接BD. 設FG為線段BD的垂直平分線，那么FG就是一條折痕. 根據(jù)點H位于橢圓上的條件，可知HB+HA=r，同時HD+HA=AD=r，那么HB=HD，由此可確定點H位于線段BD的垂直平分線上，也就是點H位于折痕FG上.

第二步，證明任意一條折痕均與橢圓為相切的關系，實則證明FG和橢圓相切于點H.

若點J是FG上非點H的任意一點，因為JB+JA=JD+JA>DA=r，也就是點J位于橢圓外部，因此FG和橢圓的交點只有H，也可理解為FG和橢圓相切于點H.

值得注意的是：如果點B與點A為重合的關系，那么所有折痕圍成的曲線輪廓則是一個圓.

學生自主操作、觀察、分析與探索的過程，實則為學生用數(shù)學眼光分析世界的過程. 中學數(shù)學教學中，引導學生用數(shù)學眼光觀察世界，一般都建立在學生學情與教學內容的特點上，通過教師創(chuàng)設合適的問題情境，引導學生根據(jù)情境深入探索，讓學生逐漸形成用數(shù)學眼光觀察世界的能力與科學嚴謹?shù)奶剿髁晳T，為形成高質量的數(shù)學思維奠定基礎.

[?] 用數(shù)學思維分析世界

數(shù)學是思維的體操，數(shù)學思維不僅貫穿數(shù)學學習的整個生涯，還對學生的終身發(fā)展具有深遠的影響. 想要學好數(shù)學，就要學會用數(shù)學觀點去分析與思考生活中的現(xiàn)實問題，通過操作、觀察、比較、抽象、猜想與概括等手段，并應用各種推理方法準確地闡述自己對客觀現(xiàn)象的觀點與看法，辨明其中的數(shù)學關系，從而更加準確地認識客觀世界.

波利亞認為：生活是數(shù)學思維的起點，缺乏生活實際的思維是空洞且無依靠的，如果切斷生活與數(shù)學的聯(lián)系，那么數(shù)學思維則無處發(fā)展［2］. 生活實際能讓學生直觀形象地感知數(shù)學知識的抽象與推理，而抽象與推理又是數(shù)學思維的發(fā)展基礎. 因此，教師應結合學生的認知經驗，從生活實際出發(fā)，創(chuàng)設一些豐富的教學情境，讓學生的思維從感性認識提升到理性理解.

例2 如圖4所示，某海灣的半島上有一個停機坪，若跑道AB的長度是4.5千米，海岸線l（將海岸線視為直線）與跑道AB所在的直線形成60°的夾角，已知點B為跑道AB與海岸線距離最近的點，點B與海岸線的距離BC的長度為4千米，且點D是海灣一側海岸線CT上的一點. 假設CD=x千米，點D對跑道AB的視角是θ.

問題：（1）將tanθ表示為x的函數(shù)；

（2）若θ取最大值，則點D的位置是什么？

分析：（1）觀察圖4，可知θ=∠ADC-∠BDC，為求tanθ的值，可從tan∠ADC與tan∠BDC進行分析. 顯然，tan∠BDC=，接下來就是求tan∠ADC的值. 作AE⊥CD，E為垂足，不難發(fā)現(xiàn)，隨著x的取值變化，點E的位置會發(fā)生變化，點E的位置既可能位于線段CD上，也可能位于線段CD外（見圖5），且∠ADC存在銳角或鈍角兩種情況. 因此，此處需要進行分類討論.

作AF⊥CB與CB的延長線相交于點F，根據(jù)題意，可得AF=，此為分類討論的分界點. 通過先分后合，可得tanθ=（x>0）.

（2）求最大值的問題，可從以下兩種方法出發(fā)：第一種，因為分子為一次式，分母為二次式，因此可將分子中的“x+4”視為一個整體，將分子、分母同時除以“x+4”，而后通過基本不等式求解；第二種，通過導數(shù)法獲得最大值. 最終不難獲得：位于海灣一側的海岸線CT上與點C距離6千米的點D處，該跑道的視角最大.

對于學生而言，本題的教育價值遠遠高于獲得本題的結論，更重要的是學生的思維完整地經歷了從生活實際抽象到數(shù)學問題并順利解決問題的過程. 這種思維經驗無法通過教師的說教而獲得，必須通過學生的親身體驗與積累而來，學生的思考能力也隨著思維的發(fā)展而發(fā)展，直至形成用數(shù)學思維思考世界的能力.

學生掌握用數(shù)學思維思考世界的能力，從本質上來說，就是能夠精確地計算，定量地分析現(xiàn)實世界，并通過符號化或幾何直觀等具體抽象問題的共同特征，探索推導出解決一般問題的途徑. 學生一旦掌握了這種能力，則能在數(shù)據(jù)搜集、整理與分析中綜合判斷生活問題，為更好地推動社會發(fā)展奠定基礎.

當然，實際教學中，教師對“數(shù)學思維”的理解更應深刻、全面、合理一些. 古往今來，任何數(shù)學知識的形成與發(fā)展都不是孤立的，各種知識的形成都經歷了漫長的過程. 在此過程中，有很多知識的發(fā)展是相輔相成、互相關聯(lián)的. 正是這種互相關聯(lián)的存在，才讓數(shù)學學科成為一門系統(tǒng)性的學科，呈現(xiàn)在我們面前的是一種結構化的形式.

鑒于此，教師引導學生用數(shù)學思維思考世界時，應對知識進行縱橫雙向聯(lián)系與對比，引導學生從宏觀的角度發(fā)現(xiàn)知識的結構性與系統(tǒng)性，從而建構完整、條理清晰的認知結構. 簡而言之，就是能高屋建瓴地認識數(shù)學這門學科，能站到一定的高度去學習數(shù)學，以凸顯每個知識的重要價值.

[?] 用數(shù)學語言表達世界

數(shù)學語言包括文字語言、圖形語言與符號語言三大類，不論哪一類數(shù)學語言都具有簡潔性、嚴謹性、抽象性、通用性等特征. 數(shù)學語言作為數(shù)學思維的載體，是用來進行數(shù)學交流的主要工具. 教學中，教師可引導學生用數(shù)學語言交流自己的想法，鼓勵學生通過敘述法表達數(shù)學思維過程，并用合適的語言表達對問題的看法、疑惑或解決方法等. 這不僅是鍛煉學生數(shù)學語言表征能力的過程，也是促進師生、生生之間進行交流學習，獲得體驗與感悟的過程.

新課標明確提出，操作實踐、自主探究、合作交流為數(shù)學學習的基本形式. 若要實現(xiàn)有效交流，需建立在對數(shù)學語言深刻理解與靈活應用上.

例3 已知三個平面為兩兩相交的關系，據(jù)此可得三條線，求證：三條線相交于一點或互相平行.

分析：此為一道典型的文字語言命題，如何實現(xiàn)“文字語言—圖形語言—符號語言”的轉化呢？

三個平面兩兩相交，可轉化成“α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c”；待求結論可轉化為“求證：a，b，c相交于一點P或a∥b∥c”.

究竟該從什么角度進行證明呢？

如圖6所示，因為α∩β=a，β∩γ=b，所以直線a，b?平面β，則a∩b=P或a∥b.

如果a∩b=P，那么P∈a，α∩β=a，所以P∈α. 同理，因為P∈γ，所以P∈γ∩α=c，也就是a，b，c相交于點P.

如果a∥b，b?γ，a?γ，可得a∥γ. 又a?β，γ∩α=c，所以a∥c. 由此可確定a∥b∥c.

證明該命題，學生將文字語言成功地轉化為圖形語言與符號語言，反映了學生良好的表達能力與邏輯思維能力. 解題中，遇到用數(shù)學語言表達的問題，一方面能讓學生擁有更多交流的機會，讓學生的邏輯思維變得更加清晰，語言表達得更加準確，這對發(fā)展學生的理解能力具有直接影響；另一方面，可培養(yǎng)學生的符號意識，當學生再遇到生活實際問題時，能自然而然地引進數(shù)學符號理解與表達問題，形成用符號程序解決問題的能力.

用數(shù)學語言表達世界的能力，體現(xiàn)在從直觀形象向抽象概括的發(fā)展過程上，以及自然語言過渡到數(shù)學語言的過程，是靜態(tài)描述轉向動態(tài)描述的必經之路. 經過長期訓練，學生能從多維度發(fā)展數(shù)學表達能力，提高交流效率，為更好地解決問題奠定基礎.

蘇霍姆林斯基認為：每個人的內心深處都期望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者［3］. 用數(shù)學眼光觀察世界，并用數(shù)學思維思考世界，從本質上來說就是用數(shù)學語言完整地表達事物所處的狀態(tài)、形態(tài)、關系與過程，通過合理地判斷、運算與推導等獲得結論，也就是將數(shù)學作為一種“工具”來研究生活現(xiàn)實問題的體現(xiàn).

參考文獻：

［1］? 史寧中. 試論數(shù)學推理過程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理［J］. 數(shù)學教育學報，2016，25（04）：1-16.

［2］? G·波利亞. 數(shù)學的發(fā)現(xiàn)［M］. 劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯. 北京：科學出版社，2006.

［3］? 蘇霍姆林斯基. 蘇霍姆林斯基的教育箴言［M］. 朱永新，譯. 北京：教育科學出版社，2017.