余炳鵬

(溫州大學(xué)數(shù)理學(xué)院，浙江溫州 325035)

Birnbaum-Saunders 分布（BS 分布）也稱疲勞壽命分布，是由Birnbaum 和Saunders[1]在1969年根據(jù)疲勞裂紋擴(kuò)展到可能導(dǎo)致斷裂的臨界尺寸所需的循環(huán)數(shù)而推導(dǎo)出的模型.BS 分布在產(chǎn)品的可靠性研究中有著廣泛應(yīng)用，尤其是在對電子產(chǎn)品的退化失效分析中.BS 分布比通常的壽命分布如威布爾分布和對數(shù)正態(tài)分布更適合描述一些由于疲勞而失效的產(chǎn)品的壽命規(guī)律，因此國內(nèi)外有許多學(xué)者對BS 分布進(jìn)行了大量研究，并提出了許多改進(jìn).

Desmond[2]在1985 年基于一個(gè)生物學(xué)模型給出了BS 分布更普遍的推導(dǎo)，并給出了雙參數(shù)BS 分布的累積分布函數(shù)的基本表達(dá)式.文獻(xiàn)[3]通過擴(kuò)展核分布的方式，將BS 分布擴(kuò)展為一系列核為橢圓分布族的廣義BS 分布族.文獻(xiàn)[4]將BS 分布的正態(tài)核替換為Laplace 核得到新的廣義BS 分布（LBS），并詳細(xì)研究了該分布的性質(zhì).BS 分布是作為一個(gè)受多種應(yīng)力和應(yīng)變模式影響的試樣的壽命模型而推導(dǎo)出來的，基本假設(shè)是試件的最終毀壞被認(rèn)為是由于材料中一個(gè)主要裂紋的增長，但因?yàn)榱鸭y擴(kuò)展的獨(dú)立性的假設(shè)從周期到周期的可能性是非常不現(xiàn)實(shí)的，因此，Owen[5]在2006 年通過放寬這一獨(dú)立性假設(shè)推導(dǎo)出一個(gè)新的模型，即將裂紋擴(kuò)展序列建模為一個(gè)長期記憶過程和特征，根據(jù)這個(gè)發(fā)展特點(diǎn)引入新的第三個(gè)參數(shù)，即得到了廣義BS 分布.

本文的推廣思路與文獻(xiàn)[5]的有相似之處，同樣是引入第三個(gè)參數(shù).考慮到BS 分布的核服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，本文將在正態(tài)核中加入原有的形狀參數(shù)α和尺度參數(shù)β外的第三個(gè)指數(shù)參數(shù)θ，仍然服從正態(tài)分布，使之?dāng)U展成為廣義Birnbaum-Saunders 分布（以下簡記為GBS 分布），從而使得GBS 分布對失效分析相較于BS 分布更加貼近實(shí)際情況.

本文從GBS 分布的推廣入手，首先介紹GBS 分布的定義，給出相應(yīng)的概率密度函數(shù)和失效率函數(shù)，并研究其圖像的性質(zhì)特征.然后根據(jù)第三類修正的貝塞爾函數(shù)及其性質(zhì)給出GBS 分布的原點(diǎn)矩和中心矩的表達(dá)式，再利用極大似然估計(jì)求出GBS 分布的點(diǎn)估計(jì).最后通過一個(gè)實(shí)例分析驗(yàn)證GBS 分布在實(shí)例應(yīng)用中的效果.

1 廣義Birnbaum-Saunders 分布

1.1 GBS 分布概率密度函數(shù)和失效率函數(shù)

首先來介紹Birnbaum-Saunders 分布.若隨機(jī)變量T的累積分布函數(shù)如以下（1）式所示：

相應(yīng)地，T的概率密度函數(shù)如以下（2）式所示：

本文所討論的GBS 分布，在形狀參數(shù)α和尺度參數(shù)β的基礎(chǔ)上增加了指數(shù)參數(shù)θ，其核仍服從正態(tài)分布，則GBS 的累積分布函數(shù)如以下（3）式所示：

其中α＞ 0為形狀參數(shù)，β＞ 0為尺度參數(shù)，θ＞ 0為指數(shù)參數(shù).

1.2 概率密度函數(shù)的圖像特征

GBS 分布概率密度函數(shù)的圖像如圖1-圖3 所示，總體趨勢為先遞增后遞減，存在一個(gè)極大值點(diǎn)，可總結(jié)為以下幾個(gè)基本特征.

1）形狀參數(shù)α對概率密度函數(shù)圖像的影響.當(dāng)0＜α＜ 1時(shí)，α越小，函數(shù)圖像峰值越大，函數(shù)極值點(diǎn)越靠左；當(dāng)α＞ 1時(shí)，α越大，函數(shù)圖像峰值越大，函數(shù)極值點(diǎn)越靠右；無論形狀參數(shù)α取何值，函數(shù)圖像極值點(diǎn)所對應(yīng)的t的值的取值范圍都在(0,1)內(nèi).以上特征從圖1 可以看出.

圖1 α 變量密度函數(shù)對比圖

2）尺度參數(shù)β對概率密度函數(shù)圖像的影響.β越小，函數(shù)圖像峰值越大，極值點(diǎn)越靠左，函數(shù)遞減速度越快，尾部越窄；反之，β越大，函數(shù)圖像峰值越小，極值點(diǎn)越靠右，函數(shù)遞減速度越慢，尾部越厚.以上特征從圖2 可以看出.

圖2 β 變量密度函數(shù)對比圖

3）指數(shù)參數(shù)θ對概率密度函數(shù)圖像的影響.當(dāng)0＜θ＜0.5時(shí)，θ越小，函數(shù)圖像峰值越大，函數(shù)極值點(diǎn)越靠左；當(dāng)0.5＜θ＜ 1時(shí)，θ越大，函數(shù)圖像峰值越大，函數(shù)極值點(diǎn)越靠右；無論形狀參數(shù)θ取何值，函數(shù)圖像極值點(diǎn)所對應(yīng)的t的值的取值范圍都在內(nèi)(0,1)內(nèi).以上特征從圖3 可以看出.

圖3 θ 變量密度函數(shù)對比圖

1.3 失效率函數(shù)的圖像特征

失效率函數(shù)的表達(dá)式在上文中已經(jīng)給出，各參數(shù)在不同的范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)圖像呈現(xiàn)完全不同的變化趨勢，如圖4-圖6 所示.下文將分別討論形狀參數(shù)α、尺度參數(shù)β、指數(shù)參數(shù)θ對失效率函數(shù)的影響.

圖4 α 變量失效率函數(shù)對比圖

圖5 α 變量失效率函數(shù)對比圖

圖6 α 變量失效率函數(shù)對比圖

1）形狀參數(shù)α對失效率函數(shù)圖像的影響.當(dāng)α＜ 1時(shí)，函數(shù)圖像先上升之后維持在一個(gè)相對平穩(wěn)的狀態(tài)，α越小，函數(shù)圖像上升速度越慢，函數(shù)值越大.當(dāng)α＞ 1時(shí)，函數(shù)圖像先上升后下降，α越大，函數(shù)圖像峰值越大，函數(shù)極值點(diǎn)越靠左；反之，α越小，函數(shù)圖像峰值越小，函數(shù)極值點(diǎn)越靠右.以上特征從圖4 可以看出.

2）尺度參數(shù)β對失效率函數(shù)圖像的影響.β越小，函數(shù)圖像峰值越大，極值點(diǎn)越靠左，但函數(shù)圖像下降趨勢較緩，尾部較厚；反之，β越大，函數(shù)圖像峰值越小，極值點(diǎn)越靠右，函數(shù)圖像下降較快，尾部較薄.以上特征從圖5 可以看出.

3）指數(shù)參數(shù)θ對失效率函數(shù)圖像的影響.當(dāng)0＜θ＜0.5時(shí)，θ越小，函數(shù)圖像峰值越大，函數(shù)極值點(diǎn)越靠左，失效率函數(shù)圖像先上升后下降，函數(shù)圖像尾部較窄；當(dāng)0.5＜θ＜ 1時(shí)，θ越大，函數(shù)圖像峰值越大，函數(shù)極值點(diǎn)越靠右；失效率函數(shù)圖像先上升后下降，但下降趨勢較緩，函數(shù)圖像尾部較厚.

2 廣義Birnbaum-Saunders 分布的原點(diǎn)矩與中心矩

2.1 第三類修正的貝塞爾函數(shù)及其性質(zhì)

第三類修正貝塞爾函數(shù)（以下簡稱貝塞爾函數(shù)）對于GBS 分布的矩的計(jì)算和簡化具有重要的作用[6].在此，先簡單介紹貝塞爾函數(shù)及其部分性質(zhì).

第三類修正的貝塞爾函數(shù)：對于任意ν∈R，以ν為索引的貝塞爾函數(shù)可以表示為：

其中x＞ 0.以下3 個(gè)貝塞爾函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)[6]，有助于計(jì)算結(jié)果的簡化.

2.2 廣義Birnbaum-Saunders 分布的原點(diǎn)矩

廣義Birnbaum-Saunders 分布的概率密度函數(shù)表示為：

其中α＞ 0，β＞ 0，θ＞ 0.利用貝塞爾函數(shù)及其性質(zhì)可以計(jì)算GBS 分布的m階原點(diǎn)矩μm.

定理1 若隨機(jī)變量T～GBS(α,β,θ)，則m階原點(diǎn)矩μm可以表示為：

特別地，GBS 分布的期望和方差具體表達(dá)式如下：

3 廣義Birnbaum-Saunders 分布的極大似然估計(jì)

設(shè)有n個(gè)觀測值T(t1,t2,t3…,tn)～ GBS(α,β,θ)，其中GBS 分布的概率密度函數(shù)為：

則其極大似然函數(shù)為：

似然函數(shù)取對數(shù)，得到對數(shù)似然函數(shù)：

這個(gè)計(jì)算過程相對復(fù)雜，需要采用數(shù)值解法（如BFGS 準(zhǔn)牛頓法）來完成，由此得到GBS 分布的3 個(gè)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，數(shù)值結(jié)果將在下一節(jié)的實(shí)例分析中展示.

4 實(shí)例論證

本數(shù)據(jù)最早來源于Proschan[7]在1963 年發(fā)表的成果中，后來Cordeiro[8]在2011 年分析過該數(shù)據(jù)，研究的對象是由13 架波音720 飛機(jī)組成的機(jī)隊(duì)中每架飛機(jī)的空調(diào)系統(tǒng)連續(xù)故障數(shù)組成的數(shù)據(jù)集，如表1 所示.利用該數(shù)據(jù)集分別估計(jì)出BS 分布的兩個(gè)參數(shù),以及GBS 分布的三個(gè)參數(shù)的估計(jì)值以及兩個(gè)分布的AIC 值和BIC 值（見表2）.

表1 空調(diào)系統(tǒng)連續(xù)故障次數(shù)

表2 不同分布的數(shù)據(jù)分析

其中k表示參數(shù)個(gè)數(shù)，n表示樣本容量，ln(L)表示對數(shù)似然函數(shù).

由表2 數(shù)據(jù)可以看出，GBS 分布相較于BS 分布AIC 值更小，因此可以認(rèn)為在權(quán)衡估計(jì)模型復(fù)雜度和擬合數(shù)據(jù)優(yōu)良性的情況下，GBS 分布更加優(yōu)良.BAC 值與AIC 值作用相似，但相比AIC值增加考慮了樣本容量的影響，此時(shí)GBS 分布在這組數(shù)據(jù)下相較于BS 分布仍然具有較小的BAC值，這驗(yàn)證了GBS 分布在這個(gè)實(shí)例應(yīng)用中具有更加優(yōu)良的擬合性能.

圖7 展示了GBS 分布以及BS 分布的概率密度函數(shù)（PDF）的函數(shù)圖與頻率分布直方圖，圖8 展示了GBS 分布以及BS 分布的累積分布函數(shù)（CDF）圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖.

圖7 密度函數(shù)對比圖

圖8 分布函數(shù)對比圖

從圖7 可以看出，GBS 分布的概率密度函數(shù)圖像基本穿過直方塊的中點(diǎn)處，整體趨勢也更加符合實(shí)際數(shù)據(jù)的分布情況，因此可以判斷為GBS 分布相對于BS 分布具有更優(yōu)良的擬合性質(zhì).

從圖8 可以看出，GBS 分布的圖像與真實(shí)數(shù)據(jù)的分布更為接近，擬合效果明顯優(yōu)于BS 分布，結(jié)合AIC 值和BAC，值的比較可以認(rèn)為GBS 分布在這個(gè)實(shí)例應(yīng)用中擁有更優(yōu)良的擬合效果.

5 結(jié) 論

本文主要研究了GBS 分布及其統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，通過拓展BS 分布的核分布，引出了GBS 分布的定義，給出了GBS 分布的概率密度函數(shù)和失效率函數(shù)，并研究了其圖像變化的基本特征.關(guān)于GBS 分布的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，本文根據(jù)第三類修正的貝塞爾函數(shù)及其性質(zhì)推導(dǎo)出了GBS 分布的原點(diǎn)矩和中心矩的表達(dá)式.利用極大似然估計(jì)法求出GBS 分布的參數(shù)點(diǎn)估計(jì).最后本文通過一個(gè)實(shí)例應(yīng)用，展示了GBS 分布相較于BS 分布擬合效果的優(yōu)越性，充分說明GBS 分布在某些特定領(lǐng)域相較于BS 分布更加貼近實(shí)際數(shù)據(jù)的狀態(tài)，具有廣闊的研究前景和良好的實(shí)用價(jià)值.