丁錦榮

曹才翰先生在《曹才翰數(shù)學(xué)教育文選》中指出：“應(yīng)把有理數(shù)一章的基礎(chǔ)知識的教學(xué)、基本技能的價值提高到代數(shù)教學(xué)的首要地位?！苯Y(jié)合蘇科版教材七年級有理數(shù)一章的教學(xué)現(xiàn)狀，筆者認為這句話有非?，F(xiàn)實的指導(dǎo)意義。

一、有理數(shù)教學(xué)基本內(nèi)容

1.有理數(shù)的基本概念。

在數(shù)的概念發(fā)展史上，學(xué)生往往對新數(shù)系有個適應(yīng)和接納的過程。雖然學(xué)生可以掌握個別概念，但對于概念間的內(nèi)在聯(lián)系卻不易明確。比如，教材上引入有理數(shù)的概念，通過生活情境讓學(xué)生知道引入負數(shù)的必要性，然后將所學(xué)過的一些數(shù)（如正整數(shù)、自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、負數(shù)、小數(shù)）羅列出來，最后劃分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，并將其統(tǒng)稱為有理數(shù)。不少教師順勢將有理數(shù)進行分類板書，讓學(xué)生記錄、整理課堂筆記，然后跟進一些有理數(shù)的歸類識別，學(xué)生似乎也能較好地掌握（識別數(shù)的類型，解題不出錯）。然而，作為教師，理解還不能止于這樣的認識程度，在相關(guān)習(xí)題練習(xí)、課后反思和有理數(shù)單元回顧時，教師有必要向?qū)W生講授有理數(shù)更本質(zhì)的定義，即“形如[ba]（其中b為整數(shù)，a為正整數(shù)）的數(shù)稱為有理數(shù)”。這樣是基于舊概念（學(xué)生已有整數(shù)概念）來定義新概念（定義有理數(shù)，即“可比數(shù)”），數(shù)系就是這樣不斷擴充而來的。

2.數(shù)軸。

數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的重要工具，是學(xué)生進入初中后引入的第一個重要工具。緊隨有理數(shù)概念之后就介紹數(shù)軸，主要是為了“數(shù)形結(jié)合”，讓學(xué)生形象直觀地學(xué)習(xí)和定義相反數(shù)，并比較有理數(shù)的大小。教師對于數(shù)軸的理解不能止步于“一個定義、三個要素、大量練習(xí)”的層次，可以在例題教學(xué)時，介紹數(shù)軸在數(shù)形結(jié)合上的作用。數(shù)軸是一個具有發(fā)展前途的數(shù)學(xué)工具，比如兩根數(shù)軸垂直相交，且原點重合時，便“升級”得到了平面直角坐標(biāo)系，而平面直角坐標(biāo)系則可以用來研究函數(shù)圖像。

3.相反數(shù)及倒數(shù)。

教材上相反數(shù)的概念非常好懂，然而這個概念并沒有深刻揭示相反數(shù)的本質(zhì)。在相反數(shù)的復(fù)習(xí)階段，教師可以向?qū)W生介紹相反數(shù)的另一種定義方式，即若數(shù)a、b的和為零，則稱a、b互為相反數(shù)。相應(yīng)地，倒數(shù)也可以這樣定義，若a、b的積為1，則稱a、b互為倒數(shù)。這樣的定義方式可以在有理數(shù)范圍內(nèi)得到體現(xiàn)，比如，在后續(xù)學(xué)習(xí)和探究有理數(shù)運算法則時，就可借助相反數(shù)的定義進行推理，包括有些解題依據(jù)，也可提示學(xué)生回到相反數(shù)的定義去理解。

二、有理數(shù)運算法則的教學(xué)研究

1.有理數(shù)加、減法運算法則的教學(xué)研究。

筆者認為，有理數(shù)加法法則的教學(xué)研究要重視加法法則從何而來，兩個有理數(shù)相加的情況也要分類研究。小學(xué)階段的運算類型可“一帶而過”;初中階段引入負數(shù)之后的運算類型，則需借助相反數(shù)的性質(zhì)（互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加為0）進行推理、歸納運算法則。最后，教師進行加法法則的小結(jié)梳理，借此過程讓學(xué)生知道新知從何而來，又示以學(xué)生運算思維，讓學(xué)生知道面對新的運算情況，可以通過一些變形、轉(zhuǎn)化實現(xiàn)運算。

有理數(shù)減法法則，則可借助加、減運算互為逆運算進行轉(zhuǎn)化，將有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為“減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”實現(xiàn)加、減的統(tǒng)一運算。

2.有理數(shù)乘、除運算法則的教學(xué)研究。

有理數(shù)乘法運算法則的教學(xué)引入主要難點在于“負負得正”。這個教學(xué)難點在很多教材上的引入方式都不一樣，也有很多數(shù)學(xué)教育學(xué)者給出了各自的教學(xué)理解。筆者認為，不管哪種教學(xué)方式的引入，都是向?qū)W生傳遞“負負得正”這種運算規(guī)則與其他運算法則、運算通性之間的一致性。此外，通過推理、歸納的方式，學(xué)生知道數(shù)學(xué)教材上的“基本事實”“規(guī)定”都是前輩數(shù)學(xué)家們集體智慧的產(chǎn)物，并不是隨意而定的，他們向?qū)W生展示追求數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科精神。

基于學(xué)生對加、減互逆運算的經(jīng)驗，有理數(shù)除法法則也可以從乘法逆運算的角度直接得出。除法運算時，教師要提醒學(xué)生以下幾點，比如：0不能作為除數(shù);1除某數(shù)仍等于1;1除以一個數(shù)等于該數(shù)的倒數(shù);沒有除法的交換律、結(jié)合律、分配律;除法轉(zhuǎn)化為乘法時要注意不能漏掉符號等。

3.有理數(shù)乘方運算法則的教學(xué)研究。

有理數(shù)乘方運算是相同因數(shù)相乘的簡化表達，被稱為有理數(shù)的第五種運算。教師引出有理數(shù)乘方運算時，可類比有理數(shù)乘法源于加法的簡化表達，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)乘方運算出現(xiàn)的必要性。在進一步探究有理數(shù)乘方運算法則時，可結(jié)合有理數(shù)乘法運算來歸類探究，比如底數(shù)為正數(shù)或負數(shù)時，分類討論指數(shù)的奇、偶性，從而確定冪的符號。可見，對于底數(shù)為負的乘方運算，仍然要確立“符號優(yōu)先”的運算意識。通過幾組必要的練習(xí)鞏固后，學(xué)生還可進一步梳理、總結(jié)更多的乘方運算經(jīng)驗。比如，互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們的偶次冪相等，奇次冪互為相反數(shù);1的任何次冪還是1等。這些經(jīng)驗不僅有利于學(xué)生深刻理解乘方運算，而且對今后學(xué)習(xí)開方運算也會有很大的幫助。

三、幫助學(xué)生筑牢運算基礎(chǔ)

學(xué)生進入初中之后要過的第一關(guān)就是“運算關(guān)”，而運算的真正難點是混合運算。因為有理數(shù)的混合運算在本質(zhì)上是綜合題，學(xué)生要兼顧的點很多，運算能力不強的學(xué)生常常是顧此失彼。有些學(xué)生出現(xiàn)錯誤，如果教師不加以點撥，直接讓學(xué)生訂正，他們即使訂正多次，也還是反復(fù)出錯;甚至有時訂正后，學(xué)生也不知道真正的錯因何在，這時簡單歸因到“運算不細心”是不行的。根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，在有理數(shù)混合運算開始前，教師要告訴學(xué)生不要急于下手運算，而要培養(yǎng)審題的習(xí)慣，即認真審讀、觀察算式的結(jié)構(gòu)特點，有哪幾種運算，括號位置如何，看清辨明運算類型、運算順序后，再構(gòu)思從哪些“局部算式”逐個突破，這樣才能達到較好的運算效果。此外，教師還要特別重視針對學(xué)生的個別情況開展糾錯與究錯，對那些混合運算能力較差的學(xué)生，要安排他們利用“數(shù)學(xué)寫作”的方式整理錯題，剖析錯因，把每一種運算的錯誤原因查找出來，進行錯因備注，這樣可以防止下次再出現(xiàn)類似的運算錯誤。

（作者單位：江蘇省海安市城南實驗中學(xué)）